在親歷探究中建構數學知識

張秀花

【摘要】教師從實際出發，提出具有思考性的問題，引導學生探究新知；抓住有關內容，給學生充分的時間和空間，經歷知識的探究過程；引導、追問，引發深層次思考，提升學生思維能力。

【關鍵詞】探究發現建構提升

這部分內容是在學生知道倍數和因數的含義、能在1—100的自然數中找出10以內某個數的所有倍數的知識基礎上得出2和5的倍數的特征，認識偶數和奇數的含義，進一步滲透2和5的公倍數的特征。讓學生經歷探究2、5的倍數的特征的活動，明確探究方法，為進一步探究其他數的倍數特征做好學法準備。

一、 復習舊知，設疑導入

1. 復習回顧。

（1） 在上節課的學習中，我們認識了倍數與因數，誰來舉例說一說什么是倍數？什么是因數？

（2） 關于倍數，你還知道什么知識？你能舉例說明嗎？

[設計意圖：通過復習讓學生用語言表述并舉出具體的例子，幫助學生重點回顧找一個數的倍數的方法，多數學生能表達出上節課學習的因數與倍數的知識，能夠舉例表述倍數與因數的含義；能夠說出一個數的最小倍數是它本身，沒有最大倍數，一個數的倍數的個數是無限的；能舉例說明找一個數的倍數的方法，為本節課的學習做出知識準備。]

2. 創設情境，設疑導入。

（1） 同學們說出了這么多關于倍數的知識，老師也想和大家玩個猜倍數的游戲。請你們任意說出一個自然數，不管是幾位數，我都能快速地判斷出它是否是2或5的倍數。不信可以試試看。

（2） 學生報數，老師答，同時用除法知識進行驗證。

（3） 你們想知道老師為什么不計算就能馬上判斷出來嗎？學了今天的知識，你們就知道老師猜數的奧秘了。（板書課題：2、5的倍數的特征）

[設計意圖：創設一個小小的游戲情境，學生報數老師猜是不是2或5的倍數，教師快速又準確的判斷，讓學生感到很神奇，設置了懸念。既調動了學生學習的積極性，又激發學生探索新知的欲望。]

二、 探究新知，自主建構

（一） 探索5的倍數的特征

1. 出示例題，呈現百數表。

2. 請同學們拿出百數表，在這些數中找出5的倍數，涂上紅色。

3. 交流匯報，集體核對。（展示一名學生的涂色結果）

4. 觀察表中5的倍數，看看你有什么發現？同桌之間可以互相說一說。

5. 交流：誰愿意和大家來分享你的發現？

6. 指出：通過大家的仔細觀察，我們發現個位上是0或5的數都是5的倍數。

7. 驗證：除這些數以外，其他5的倍數也有這樣的特征嗎？請同學們任意舉出一個三位數或者四位數甚至更大的數來驗證我們的發現。（學生說相應的數，引導學生用除法來檢驗是不是5的倍數）

追問：怎樣的數一定是5的倍數？（板書：個位是0或5的數都是5的倍數）

[設計意圖：學生獨立找出100以內的5的倍數并不困難，在學生獨立探索發現5的倍數的特征時，有些學生并沒有意識到去觀察個位上的數，從而發現5的倍數的共同特征。在教師的引導下，讓學生把關注點放在觀察個位上的數，借助百數表通過找一找、涂一涂、比一比、想一想、議一議等活動，應用不完全歸納法來總結5的倍數的共同特征。為了完善學生的認知，教師讓學生任意舉出一個符合要求的更大的數，來驗證特征的可行性。]

8. 針對性練習。

（1） 出示：下面哪些數是5的倍數？請你說出判斷的理由。（21、45、70、86、97、110、1005、5722）

（2） 學生獨立思考，在練習本上寫出是5的倍數的數。

（3） 反饋：學生判斷，并說出判斷的理由。

（4） 小結：看來應用5的倍數的特征，可以判斷哪些數是5的倍數。

追問：如果一個數不是5的倍數，它的個位上會是0或5嗎？可能是哪些數？

[設計意圖：在學生掌握5的倍數的特征后讓學生及時進行鞏固性練習，一方面便于反饋學生對5的倍數的特征的理解與掌握情況，另一方面也可以促使學生應用5的倍數的特征解決問題，盡快將知識內化形成技能。]

（二） 探索2的倍數的特征

1. 提出探究問題。

師：在這些數中，哪些是2的倍數呢？你能很快地找到嗎？看來我們需要探究2的倍數特征。回憶一下，剛才我們是怎樣探究出5的倍數特征的？

[設計意圖：通過談話激活學生探究5的倍數特征的活動經驗，可以更好地促進探究方法的遷移，學生回顧5的倍數特征的探究過程，很自然地想到先找出百數表內所有5的倍數，再比較觀察這些數個位上的數，從而發現5的倍數特征。讓學生運用5的倍數特征的探究方法，進一步探索2的倍數特征。]

師：根據研究5的倍數特征的經驗，猜一猜2的倍數可能會有什么特征呢？

學生自由表達自己的意見。

追問：大家的猜測是否正確呢？你準備怎樣驗證？

明確：借助百數表，找出2的倍數，再通過觀察比較驗證猜想。

[設計意圖：知識的正遷移，受5的倍數特征的影響，學生猜測2的倍數特征，很容易想到一個數個位上是某些數時，這個數就是2的倍數。牛頓說過：“沒有大膽的猜測，就做不出偉大的發現。”通過引導學生大膽猜測2的倍數的特征，引發學生自主探究2的倍數特征的內在需要，并主動設計探究2的倍數特征的基本思路。從建立猜想到自主設計探究思路驗證猜想，無不體現學生學習的主體性。]

2. 小組探究2的倍數的特征。

結合學生的回答出示學習菜單：

（1） 將百數表中2的倍數涂上黃色。

（2） 觀察2的倍數，看看有什么發現？

（3） 在小組內和同學交流你的發現。

（4） 總結2的倍數的特征，小組內成員每人舉例進行驗證。

學生4人一組，每組一名組長。組員獨立完成第1個學習要求后，組長組織在組內核對，再獨立思考第2個學習要求。在組長的組織下，小組成員進行交流，探究2的倍數的特征。

3. 小組學習成果交流匯報。

（1） 交流匯報統一認識。（板書：個位上是0、2、4、6、8的數都是2的倍數）

（2） 觀察2的倍數的特征，看看你剛才的猜測是不是正確。

（3） 交流驗證情況：其他2的倍數也有這樣的特征嗎？

4. 追問：2的倍數有什么特征？

[設計意圖：學生已經有探究5的倍數特征的活動經驗，探究2的倍數的特征時，完全可以給學生提供一個較大的發現問題、探究問題的空間，放手讓學生自主探究。學生根據學習菜單，通過獨立思考與小組交流，完全能夠探究發現并驗證2的倍數的特征。小組合作交流既可以借助同伴互助的力量，幫助學困生學習，也能夠在交流中準確發現2的倍數的特征，小組成員間的舉例驗證更能體現合作學習的價值。]

5. 試一試。

師：現在你會判斷之前的這些數是不是2的倍數了嗎？

出示： 21、45、70、86、97、110、1005、5722

學生集體依次判斷，并指名說出判斷的理由。

追問：如果一個數是2的倍數，個位上可能是哪些數？個位上是哪些數時，這個數肯定不是2的倍數？

[設計意圖：學生理解掌握2的倍數的特征后，再回到之前的練習中，讓學生應用所學知識解決問題，感受學習的價值，體驗成功的喜悅。及時的鞏固練習也能幫助學生內化所學知識，形成技能。]

（三） 認識偶數與奇數

1. 如果一個數是2的倍數，它還有一個名字呢？想知道嗎？

學生自學課本偶數和奇數的知識。

2. 反饋自學情況。

師：2的倍數，我們可以叫作什么呢？（板書：2的倍數——偶數）

師：通過自學，你還知道了什么？（板書：0也是偶數，不是2的倍數——奇數）

[設計意圖：認識了2的倍數的特征后，教學偶數和奇數的概念，符合學生的認知規律。對于2的倍數還稱作什么，學生有一定的好奇心，可以通過自學認識偶數、奇數的概念。通過學生自學的方式認識偶數、奇數的概念，比教師直接傳授講解的效果要好。如此培養了學生的自學能力，又體現了學生的主體性。]

3. 鞏固練習。

（1） 說出幾個偶數和幾個奇數，同桌互評。

（2） 快速判斷：你的學號是奇數還是偶數？同桌交流。

師：請學號是偶數的同學起立，你們學號的個位上是哪些數？坐著的同學，你們的學號都是奇數嗎？為什么？

追問：有沒有一個學號，既不是奇數又不是偶數？為什么？

指出：一個整數，不是奇數就是偶數。

[設計意圖：及時的鞏固練習，幫助學生深入理解偶數、奇數的含義。讓學生應用奇數、偶數的知識辨認自己的學號，一方面學生體會到學號不是奇數就是偶數，初步感知自然數的分類，另一方面學生也感受到數學知識的廣泛應用。]

三、 多層練習，拓展提升

1. 完成“做一做”。

（1） 學生先完成前兩個問題，用不同的符號分別標出2、5的倍數。

（2） 反饋交流，集體核對。

比較：判斷一個數是不是2或5的倍數，都是看什么？

小結：判斷一個數是不是2或5的倍數，都需要看這個數個位上的數。

（3） 哪些數既是2的倍數又是5的倍數？（引導學生觀察標了兩種符號的數）

師：你有什么發現？同桌之間相互說一說。

指出：個位上是0的數，既是2的倍數又是5的倍數。

追問：一個數既是2的倍數又是5的倍數，它有什么特征？你還能找出這樣的數嗎？

[設計意圖：“做一做”運用2、5的倍數的特征解決問題，既鞏固了2、5倍數的特征，又通過直觀的觀察對比滲透了2和5的公倍數的特征。在練習時，注重知識間對比與聯系，讓學生意識到2、5的倍數判斷方法的共性。]

2. 有0、1、5、6四張數字卡片，請選擇兩張卡片組成符合以下條件的數。

① 組成的數是5的倍數。

② 組成的數是偶數。

③ 組成的數是既是2又是5的倍數。

（1） 學生拿出課前準備的數字卡片按①要求組成兩位數，試試能組成幾個這樣的數。

交流組成哪些5的倍數。明確可以用0或5做個位上的數，可以組成5個這樣的兩位數。

（2） 學生完成第②題。

交流得出個位上可以是0或6，說出符合要求的數。

（3） 學生完成第③題。

明確個位上只能0，說出組成的3個數。

[設計意圖：用數字卡片組成符合要求的數，是本節課知識的綜合應用。讓學生結合所學習的數的特征，靈活應用。學生可以借助卡片的操作得出答案，也可以直接在頭腦中思考得出結果，應該因材施教，不作統一的要求。無論哪種思考方式，學生都要意識到要組成符合條件的數，必須根據數的特征確定個位上的數，還要進行有序的思考。]

四、 回顧小結，延伸課外

現在，你們知道老師猜數的奧秘了嗎？通過今天的學習，你有什么收獲？同學們還想研究哪個數倍數的特征？讓學生暢所欲言，自主梳理本課知識。

設計思路

一、 精心設計，激發興趣，誘發樂學

“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。”興趣是學生學習的動力，它在學生學習過程中起著巨大的推動作用。在教學例題之前，教師設計了這樣一個游戲情境：讓學生任意說一個數，教師快速判斷是否是2或5的倍數。學生感到神奇的同時，教師說：“你們想知道老師為什么不計算就能馬上判斷出來嗎？學了今天的知識，你們就知道老師猜數的奧秘了。”簡單的幾句話，激發了學生的學習興趣和探索新知的強烈欲望，學生以積極樂學的心態投入到新知的學習中。在教師的引導下，學生掌握了2、5的倍數的特征并能活學活用。

二、 經歷探究，自主發現，驗證結論

建構主義學習理論認為，知識不僅僅是通過教師傳授獲得的，而是學習者在一定的情境下，借助他人（包括教師和學習伙伴）的幫助，利用必要的學習資源，通過意義建構的方式獲得的。在教學中，我們也要抓住有關內容，給學生充分的時間和空間，讓學生經歷知識的探究過程。

教學5的倍數的特征，學生對這樣的探究方法接觸得還比較少，所以在教師引導幫扶下，學生完成提供素材—自主探究—歸納結論—舉例驗證的探究過程，為后面2的倍數特征的學習明確了探究方法。因此教學2的倍數的特征時，運用知識的正遷移，教師可完全放手讓學生自主探究。教師為學生的探究活動提供充分的時間和空間，學生通過獨立思考和小組合作相結合的學習方式，經歷猜測—探究—歸納—驗證的完整的探究過程。自主探究的學習過程充分體現了學生的主體性，培養了學生多方面的學習能力，增強了學生的學習自信心。

三、 講練結合，及時反饋，掌握知識

講練結合，精講精煉。在本節課的設計中，每學習一個新的知識點，教師都設計了相應的知識練習，通過練習幫助學生掌握所學知識點。講練穿插進行，一方面促使學生對學習的知識理解更透徹，及時鞏固所學知識。另一方面及時檢測學生對知識的理解掌握情況，教師根據學生的練習情況，及時發現、糾正學生存在的問題，讓學生腳踏實地地掌握每一個知識點。

四、 適時追問，引發思考，提升思維

學生的思維由問題開始，又在解決問題中得到發展。我們要根據教學重點和學生實際提出具有思考性的問題，引導學生積極思考，在思維的碰撞中提升思維能力。學生完成5的倍數的特征基本練習時，教師追問：“如果一個數不是5的倍數，它的個位上會是0或5嗎？可能是哪些數？”學生掌握了2的倍數的特征后，教師追問：“如果一個數是2的倍數，個位上可能是哪些數？個位上是哪些數時，這個數肯定不是2的倍數？”學生能正確辨認奇數和偶數時，進一步啟發學生思考：“有沒有一個學號，既不是偶數又不是奇數？為什么？”在掌握基本知識的基礎上，教師這一系列的引導、追問，引發學生展開深層次的思考，通過正確的思維方法，學生主動得出結論，提升了思維能力。

（上接第10頁）

些具體的數的找尋，逐步演化為對某種量的探究，不知不覺中孩子們已經意識到，當某種量的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論。

四、 枚舉教學拓展，衍生集合思想

集合思想就是運用集合的概念、邏輯語言、運算、圖形等來解決數學問題或非純數學問題的思想。小學采用直觀手段，利用圖形和實物滲透集合思想。蘇教版第九冊《解決問題的策略——一一列舉》一課中最后一道題是這樣的：一張靶紙共三圈，投中內圈得10環，投中中圈得8環，投中外圈得6環。小華投中兩次，可能得到多少環？（列舉出所有可能的答案）我根據教材內容創設了一個真實的打靶游戲情境，學生既看得見，又摸得著，小學生好動、好說、好玩、好勝的性格特征在這個環節中一覽無余。第一輪的男女生代表比賽投鏢，使學生消除了新知探究時的疲勞，重新燃起了參與激情；第二輪的背對大家投中兩鏢再讓大家猜環數，則增添了神秘感，拓展了想象的空間，使學生的思維迅速聚焦于分類、一一列舉；第三輪實際也就是拓展環節：告知孩子老師課前投了2環，投“中”改為投“了”，孩子們在激烈的討論中明白：“投了2環”既含有了上題中“投中2環”，又含有“投中1環”，還含有“沒投中”三類情況。“中”改“了”一字點睛，經濟高效，集合思想在這里生根，教育價值在這里延伸。

五、 植樹教學拓展，升華對應思想

圖2對應是人們對兩個集合因素之間的聯系的一種思想方法，小學數學一般是一一對應的直觀圖表，并以此孕伏函數思想。蘇教版第七冊《找規律》一課中，主要研究的是植樹問題，一般說來有這樣幾種情況：

（1） 非封閉線的兩端都有“點”，如圖2。

點數=段數+1

點數=段數

融合上述種種情況，在拓展環節中我出示了一道開放題：“一個長方形池塘（圖略），長80米，寬40米，要在池塘邊上栽一些樹。運用新學知識想一想，可以怎么栽？要多少棵樹？”經過小組合作后，孩子們拿出了各自的方案，有長邊或短邊上栽的，其中又分兩端都栽、兩端不栽、只栽一端；有四周栽的，其中又有間隔栽的等等，各種情況紛繁復雜。如果光憑對四種規律的死記，必然會生搬硬套、張冠李戴，這時需要一種統領全局的思想，那就是對應思想，將兩個集合因素進行一一對應，看看是否正好一一對應，如果不是正好對應余下的又是什么，回答了這個問題一切便會迎刃而解。有了這樣一個對應的思想統領，學生才能領悟到植樹問題的實質，在解決一個個實際問題的過程中，學生的對應思想逐步清晰完善。

數學思想是數學的精髓。數學課程改革的核心是促進學生全面、持續、和諧地發展。數學課上教師應加強知識間的聯系與滲透，設計、實施具有知識張力和思維廣度的拓展方案，讓思想從這里起飛，智慧在這里積淀。