巧用幾何直觀解決實際問題

【摘要】“列方程解決稍復雜的百分數實際問題1”是解決實際問題的重要內容之一。本文結合蘇教版小學數學教材六年級上冊“列方程解決稍復雜的百分數實際問題1”一課的教學，巧用線段圖，以“理解題意、分析數量關系、列方程解答、檢驗反思”為線索，引導學生經歷解決問題的全過程，對一線教師的數學課堂具有一定的借鑒意義和參考價值。

【關鍵詞】方程線段圖解決實際問題百分數

教學內容

蘇教版小學數學六年級上冊P102～103例10及練習十七第1～3題。

教學目標

1. 引導學生在已學會的一些基本的百分數實際問題的基礎上，引出列方程來解一些稍復雜的百分數實際問題的方法。

2. 能根據題中的信息，熟練地找出基本的數量關系，培養學生觀察、比較、分析、綜合、概括等能力，積累解決問題的經驗，提高應用所學知識解決實際問題的能力，增強應用意識。

3. 使學生經歷解決有關百分數實際問題的過程，進一步體會數學與生活的密切聯系。

教學重點

列方程解決稍復雜的百分數的實際問題。

教學難點

根據等量關系列出方程。

教學準備

多媒體課件。

教學過程

一、 圖形導入，復習鋪墊

師：同學們，猜猜老師給你們帶來了什么？（出示一條線段）

生：一條線段。

師：如果在線段的中間點一點（見圖1），現在你想到哪個百分數？（50%）怎么理解這個百分數？

圖2師：其中一段的長是全長的50%。這里是將其中一段的長度與線段全長相比較，線段全長是參照量，線段全長可看作單位“1”。

師：注意這點在變，現在你想到哪個百分數？怎么理解它？（見圖2）

讓學生猜測并用百分數表示，說一說自己想到的百分數的意義。

2. 簡單的百分數乘法問題。

圖3出示數據，看圖分析（見圖3）。

師：圖中你了解到哪些數學信息？

生：一共長15米，剪去了40%。剪去了多少米？

師：怎樣列式求剪去的米數？（15×40%）

3. 用含有字母的式子表示百分數。

師：（出示圖4右）現在求什么問題？一共a米，剪去了40%的a米，你會表示剩下的米數嗎？你是怎么想的？

讓學生說一說，引導學生小結。

剩下的米數：a-40%a=60%a，出示數量關系式：總米數-剪去的米數=剩下的米數。

師：我們可以用含有字母的式子表示數。從線段圖中，我們還能看出數量之間的關系呢。同學們，今天我們繼續研究：百分數的實際問題。（板書課題：百分數的實際問題）

【評析：線段圖以其形象、直觀的特點，在數學教學中廣泛應用。袁老師在課的一開始，就直接運用學生比較熟悉的線段引入，通過線段上一點的變化，尋找百分數，說明百分數的意義，分析單位“1”，激發了學生學習的興趣。通過線段圖的不斷變化，一一讓學生復習了簡單的百分數乘法實際問題、用字母表示數、數量關系式等舊知，為這節課解決百分數實際問題做了很好的鋪墊。圖與文字的結合、動與靜的結合，創新性的復習形式大大提高了這節課的課堂教學效率。】

二、 操作實踐，新知建構

師：同學們會不會畫線段圖？下面我們自己來畫線段圖。

（一） 理解題意

讀題并理解題意。（見圖5）

師：同學們，你們讀完了嗎？讀懂了嗎？誰來說一說題目中告訴我們什么？要求什么？

師：你是怎么理解“已運走60%”的？它是把哪個數量看作單位“1”？

生：“已運走60%”表示已經運走的糧食噸數是糧食總噸數的60%。把糧食的總噸數看成單位“1”。

師：圖中的這條線段你想表示什么呢？（糧食的總噸數）

師：你能畫圖表示題中的條件和問題嗎？

學生動手操作，搜集2位學生的畫圖進行展示分析。

師：請你介紹一下你畫的線段圖。

生：這一段表示已運走的60%，另一段表示剩下的48噸，總長就表示這批糧食的噸數，就是單位“1”。

師：剛才我們通過畫線段圖，表示出題中的已知條件和問題。在解決百分數實際問題時，我們一定要理解題意，找準單位“1”。（板書：理解題意）

【評析：解決百分數的實際問題，首先是讓學生理解題意，符合學生的認知特點。通過學生自己動手畫線段圖，形象、直觀地表示題中的已知條件和問題，有助于學生分析數量關系，為后面的研究學習做好鋪墊?！?/p>

（二） 分析數量關系

師：從線段圖中我們看出，這里有哪些量？用手勢比劃。（板書：糧食的總噸數、運走的噸數、剩下的噸數）

師：這3個量之間有什么樣的數量關系呢？請學生說一說。

運走的噸數+剩下的噸數=糧食的總噸數；

糧食的總噸數-剩下的噸數=運走的噸數。

師：同學們想一想，哪些量是已知的，哪些是未知的？

生：剩下的噸數是48噸，這個是已知的。運走的只是60%，不是一個具體的量，它的單位“1”是糧食的總噸數，現在也是未知。

師：我們理解了題意，找出了3個量，分析了這3個量存在的3種不同的數量關系。（板書：分析數量關系）

【評析：分析數量關系是解決稍復雜的百分數實際問題的重要環節。引導學生看線段圖，找出3個量并研究這3個量之間的數量關系，有利于學生找出解決問題的方法?！?/p>

（三） 列方程解答

1. 列方程。

師：當單位“1”未知時，我們可以怎樣解決這個問題？

生：用方程來解。

師：如果列方程解，這里的糧食總噸數和已運走糧食的噸數都是未知，2個未知量，你打算設哪個未知量為X？另一個量怎樣表示？

生：題中糧食的總噸數為單位“1”，設總噸數是X，那么已經運走的噸數就是60%X。

師：請同學們選擇合適的數量關系式，在學習單上列出方程，不解答。

2. 選方程。

交流同學們不同的方程，可能有：（見圖7）

X-60%X=4860%X+48=XX-48=60%X

師：哪些同學列的是第一種X-60%X=48？哪些同學列的第二種？第三種呢？為什么這么多同學都選擇X-60%X=48這樣的方程呢？

生：因為X-60%X=48方便。

生：因為X-60%X=48這樣的方程好解。

師：仔細觀察這道方程的特點，你還有什么發現？

生：等號左邊表示的糧食總噸數和已運走的噸數都是未知量，等號的右邊表示剩下的噸數是已知量。

師：同學們觀察得很仔細，其實X-60%X=48這樣的方程非常便于我們解，都是把未知量放在等號的一邊，已知量放在等號的另一邊。

3. 解方程。

師：同學們，X-60%X=48這個方程依據的數量關系式是什么的？

生：糧食總噸數-運走的噸數=剩下的噸數。（板書：在“糧食的總噸數、運走的噸數、剩下的噸數”之間補上減號和等號）

師：你們會解這個方程嗎？下面我們一起來解這個方程：X-60%X=48。

學生獨立解方程X-60%X=48，全班交流。教師板書解題過程。

注意將百分數轉化成小數或者分數來完成。

師：剛才我們自己選擇合適的數量關系式，列出方程并解方程，找到了正確的答案。（板書：列方程解答）

【評析：根據數量關系式的特點，確定列方程來解決實際問題。學生依據不同的數量關系式，列出不同的方程，并在觀察、比較中優化方程，這是列方程解決稍復雜百分數實際問題非常重要的一個環節。通過優化方程，加深學生對數量關系的理解，突出教學重點，分解教學難點?；y為易，層次分明，思路清晰。通過列方程解答，讓學生感受到解決問題的一般過程。】

（四） 檢驗反思

師：這題的答案對不對呢？怎么辦？

生：我們可以檢驗這個結果對不對。

師：怎么檢驗呢？和同學交流一下。

生：可以用120-120×60%來檢驗，看結果是不是等于48噸。

生：可以用（120-48）÷120來檢驗，看結果是不是等于60%。

……

收集方法：可以通過驗證還剩48噸或者驗證已經運走了60%。

最后寫上答句。

師：回顧解決百分數實際問題的過程，我們是怎么理解題意的？

生：我們通過畫線段圖表示題目中的已知條件和問題。

師：我們是怎么分析數量關系的？

生：我們借助線段圖找出合適的數量關系。如果單位“1”未知，我們可以列方程來解答。

師：當有兩個未知量時，我們可以設單位“1”的量為X，這樣就可以表示出另一個未知量。最后我們要對自己算出的答案進行檢驗。

【評析：解完題之后回過頭來對解題結果與過程進行回顧、分析、總結等，是一種對自我解題活動過程的再認識。通過這樣的檢驗反思，可使學生在解題過程中獲得具有較大遷移價值的新知識與經驗。這有助于學生形成解決實際問題的策略，提高學生的解題能力?！?/p>

三、 分層練習，靈活運用

1. 基礎練習。

出示“練一練”第1題：先把數量關系填寫完整，再列方程解答。

某工程隊鋪一條地下電纜，已經鋪了350米，還剩75%沒有鋪。這條電纜長多少米？

（）米數-（）米數=（）米數

讀題后分析：

師：這里的“還剩75%”，你是怎么理解的？

生：這里的75%表示電纜沒鋪的米數是電纜總米數的75%。

師：這題中你找到哪些量？你想到的數量關系式是什么？

生1：電纜總米數-已鋪的米數=沒鋪的米數。

生2：我覺得不太合適，應該是電纜總米數-沒鋪的米數=已鋪的米數。

師：說說你的理由。

生2：現在已鋪的米數是確定的量，而電纜總米數和沒鋪的米數都是未知量。我們設電纜總米數是X，那么沒鋪的就是75%X，把未知的量放在等號的一邊，將已知的量放在等號的另一邊，這樣的方程方便我們解。

師：你說的真不錯。我們不妨借助線段圖來看一看。請同學們在學習單上列出方程并解答。

交流幾位學生的作業。讓學生說一說自己是怎么想的。針對出錯的學生作業，讓大家一起評價。

師：比較這兩題，你有什么發現？（見圖9）

生：單位“1”的量都是未知，都用方程來解……

小結：這兩題都是百分數的實際問題，都是知道一部分是總量的百分之幾，還知道另一部分的量，求總量。這就是今天我們研究的“列方程解決稍復雜的百分數實際問題”。我們要理清里面的數量關系，正確地列方程來解答。（板書補全課題：列方程解決稍復雜的）

【評析：基礎練習，重在數量關系式的尋找。對數量關系式的調整，對這節課建模很有幫助。教師的“扶”，有利于學生養成解題策略，減少盲目的解題，提高成功解決問題的概率?！?/p>

2. 提高練習。

出示：西林小學六年級有男生94人，女生人數占全年級總人數53%。六年級一共有多少人？

師：沒有任何的提示，請同學們獨立完成。你們能否正確地分析數量關系列方程解答呢？

集體交流，讓學生說一說數量關系式和方程。

想一想：女生人數怎么算？集體交流，明確方法。

【評析：提高練習，重在由“扶”到“放”。通過練習，讓學生親自參與數學活動，獨立尋找數量關系式并正確列方程解答，領悟數學思維方法，掌握解題技巧?！?/p>

（1） 方程對比練習。

看圖只列式不計算。（見圖10）

先出示左圖，動畫復制左圖再變成右圖。

讓學生寫一寫，并進行比較。

師：比較這兩題，有什么相同的地方和不同的地方？

小結：當單位“1”未知時，我們可以列方程來解答。當一部分是總量的百分之幾已知了，即已知量與百分數對應時，求總量時列出的是比較簡單的方程。已知一部分是總量的百分之幾，還知道另一部分的量，即已知量與百分數不對應時，求總量時這樣的問題就相對比較復雜了。

學生先嘗試列式。

師：第3個線段圖與第2個線段圖比一比，你有什么發現？（見圖11）

生：第3個線段圖中單位“1”已知，可以直接用算術法解，第2個線段圖中單位“1”未知，可以用方程解。

【評析：有對比，才有發現。教師巧妙運用幾何直觀圖，將沉默的文字再一次用線段圖形式呈現，形式活潑多樣。在一次次的對比練習中，讓學生發現新知與舊知的聯系和區別。線段圖的動畫演變過程，激發學生學習的興趣。整個練習設計，層次清晰，讓學生感受到數學美?！?/p>

四、 回顧交流，總結延伸

師：同學們，今天我們所解決的百分數實際問題，都是用什么方法來解決的呢？

生：方程。

師：列方程解決實際問題，關鍵是什么？

生：找準數量關系列方程。

師：列方程解決百分數實際問題過程中，你覺得有哪些地方需要提醒大家的呢？

生：要理解題目中的百分數的意義。

生：……

師：通過今天的學習，同學們解決實際問題的能力又提高了！希望同學們不斷地積累經驗，合理地選擇方法去解決生活中的實際問題。

【評析：總結，串起學生對新知的回憶。概括，是對這節課解決稍復雜的百分數實際問題的準確定位。教師通過三個層次的提問，喚醒學生對這節課的反思。在教師提示指引下，學生不知不覺學會了探索解題途徑的方法，形成解題策略?！?/p>

【總評】

《列方程解決稍復雜的百分數實際問題1》是蘇教版六年級上冊《百分數》這單元內容。這節課內容是“列方程解決稍復雜的百分數實際問題”的第1課時，這是在學生已經學會解決簡單的分數和百分數乘、除法實際問題，以及稍復雜的分數乘法實際問題的基礎上進行教學的。

一、 因需而發，準確把握教材

《列方程解決稍復雜的百分數實際問題》是這單元的教學難點。很多教師備課時，有過這樣的困惑：“要不要讓學生畫線段圖？”“學生對數量關系式的理解挺容易的，列出的方程卻和數量關系式不符”“學生對檢驗反思就是走過場”等。在這節數學課上，袁老師讓我們直觀地看到了答案。本節課袁老師緊扣蘇教版教材，不但很好地運用了教材，尊重教材，還在深入鉆研與把握教材的基礎上，靈活地處理了教材中的習題，準確地制定了教學目標、教學重難點。創造性地開發課程資源，合理運用教學方法，體現了解決實際問題的一般過程。

“用線段圖來理解、分析實際問題”，學生在這之前早有認識。但用線段圖準確表示百分數的實際問題，學生常常畫不正確，且畫圖特別慢。這節課，教師準確把握目標，先讓學生從線段圖中說出百分數，理解單位“1”。在復習階段，緊緊圍繞線段圖展開復習，為下面的新知學習打下了良好的基礎。學生缺什么，我們就給學生什么。了解到學生畫圖有困難，教師沒有取而代之，反而放手，給出學生一條線段，逐步引導學生畫出線段圖來理解題意。在學生繪畫線段圖的過程中，學生也感受到圖中表示的數量關系。當再次借助線段圖分析數量關系時，學生就能輕而易舉地找到不同的數量關系式。學生不會正確地列方程，教師就根據學生找到的數量關系式，讓學生列出方程，在觀察比較這些方程后，學生自然發現有一種方程最方便解，通過優化方程，學生很快就能分辨數量關系式，正確地列方程來解答。

二、 動靜結合，巧用幾何直觀

小學生思維的基本特點是以具體的形象思維為主，逐步過渡到抽象的邏輯思維。六年級的學生，抽象思維雖然有所發展，但依然離不開形象思維。教師設計這節課時，沒有過多的虛擬情境，而是從最直觀的線段圖入手，通過線段圖的變化，讓學生回憶已學的百分數的意義、簡單百分數乘法應用題、數量關系式等。

解決問題的教學不同于其他課。教師一改枯燥的文字形式呈現，讓課堂從“文”到“圖”。通過學生畫一畫線段圖，進入“動”的狀態；畫出線段圖后，讓學生尋找圖中的3個量，學生進入“靜”的狀態；通過觀察3個量之間的數量關系，列出自己心目中的方程，學生再次進入“動”的狀態；當列出的方程出現不同時，學生立即進入“靜”的狀態：思考這3個方程的特點；當學生掌握其中的“秘密”后，學生再次通過練習加以鞏固強化，又一次次地“動”起來。練習中最后再次出現線段圖，在對比中讓學生感悟方程法與算術法的區別。教師充分抓住孩子的學習特點，既鞏固了所學知識，亦讓學生感受到成功的喜悅，獲得了學習數學的幸福感、成就感。

巧用線段圖，動靜結合，使學生掌握了解決稍復雜的百分數實際問題的方法，很好地培養了學生分析和解決問題的能力。

三、 重視優化，強化檢驗反思

整節課中，袁老師重視了方程的優化，讓這節課走向立體化。有的學生為什么方程總列不正確，和教師教學時如何對方程的優化有關。這節課上，學生非常明顯地感受到：將未知的兩個量放在等號的一邊，將已知的放在方程的另一邊。這樣的方程更便捷，這不是教師直接傳授給學生的，而是通過學生的發現說出來的，教師準確地引導與總結，使得這節課難點頓時化解開。在練習時，學生已能自覺地對找到的數量關系式進行調整，將未知的量都放在等號的一邊進行思考。

對于方程的檢驗，也是學生學習的難點之一。學生更多的是一種流于形式的檢驗，這節課中，我們看到了教師的“別有用心”：先讓學生小組內討論交流，在這基礎上，讓學生寫出自己檢驗的過程。在寫的過程中，學生肯定會對自己寫的方法進行思考，因為有了和同學的預先交流，有意識地減少了錯誤。教師特別重視和學生一起回顧反思，通過問題的形式，提示學生回憶，形成解決問題的一般過程。

數學課，追求的是“實”。從袁老師的《列方程解決稍復雜的百分數實際問題1》這節課，很好地展示了當下數學教師的風貌，在復習時的巧妙設計、教學過程的安排、教學活動的實施方面，都能堅持以學生的發展為本，努力體現新課程基本理念，讓我們感受到了數學的魅力。

作者簡介：

袁方，揚州市江都區實驗小學教師，獲江蘇省第九屆“藍天杯”數學教師會課一等獎。

張秀花，江蘇省特級教師，江蘇省小數專業委員會常務理事，揚州市小學數學教研員。揚州大學碩士研究生導師，揚州市小數專委會秘書長，揚州市小學數學名師工作室領銜人。榮獲全國教科研先進個人，省先進教育工作者，省廳“333”高層次人才培養對象，省教育廳“送優質教學資源下鄉工程”主講教師，揚州市學科帶頭人；省政府教育督導團專家組成員，省教育廳小學數學學科領軍人才，揚州市“領雁工程”第一層次培養對象；連續8年評為“優秀省特級教師”。