數學教學的思維特征

蔣文彬

【摘要】數學活動的本質是思維，要為思維而教.數學教學是思維活動的教學，是鍛煉和發展人的多種思維能力的“智力體操”， 數學教學要充分暴露思維過程，學習數學更多的需要“思而知之”.

【關鍵詞】數學思維；思維方法；思維活動；暴露思維過程；思維能力；抽象思維；形象思維

數學是研究現實世界中空間形式和數量關系的科學.學習數學，離不開思維，可以說數學的本質特性就是思維.數學概念的引入，定理的發現，規律的探求等諸多認識活動的過程中，是什么促使你能一步一步向前走，又是什么使你的智慧逐步提升？那就是數學思維的作用.通過什么途徑與方法將現實問題轉化為數學問題，再用數學方法解決這些實際問題，數學家做了大量的探索和研究.他們借助于試驗、分析、抽象和概括等思維方法形成了一套較為完整的數學理論體系，這套理論體系的形成就是通過數學思維來實現的.那么，數學教學的思維特征是什么呢？張乃達先生認為：數學思維就是以現實的數學問題為研究對象，通過發現問題、解決問題的形式，達到對現實世界空間形式和數量關系的本質的一般性的認識的思維過程.

多年的教學實踐與思考告訴我們：數學教學是數學活動的教學，數學活動的教學是在數學領域內思維活動的教學，充分暴露思維過程是數學教學的核心原則，要為思維而教.數學教學要重視智力因素的核心——思維能力的作用，不斷提高學生的智力水平，充分挖掘學生的數學學習潛能；要重視非智力因素的動力、定向、維持、調節、控制和強化作用，要努力幫助學生樹立遠大的理想、濃厚的興趣、頑強的意志、豐富的情感和剛毅的性格，以激發學生為數學拼搏的豪情.除使學生掌握數學知識外，主要是為了讓學生變得智慧，變得堅毅.數學教學主要應激發學生思考的潛能，使學生想思考，會思考，善思考，會“數學的思維”.數學教學應使學生接受數學精神、思想和數學方法的薰陶，提高思維能力，鍛煉意志品質，并把它們遷移到學習、工作和生活的各個領域中去.前蘇聯數學教育家斯托利亞爾在《數學教育學》中指出：“數學教學是數學活動（思維活動）的教學.”而不僅是數學知識（數學結果）的教學.現代教學論則認為，數學教學的任務應該是形成和發展具有思維特點的智力活動結構.

1數學是人類思維高原上開出的燦爛花朵

“千姿百態的幾何圖形，變幻無窮的數的世界，卻能被為數極少的幾條公理所窮竭；成千上百條定理、公式在它的基礎上令人信服地展現在眼前，怎能不叫人驚奇；看起來完全不同的對象卻有著本質上的一致；無關的事物之間有著深刻的聯系；復雜、多變、形態各異的式子、圖形存在著不變的規律和簡捷的結果.”（引自《數學學習論》李玉琪）

搜索枯腸，絞盡腦汁，千轉百回……驀然，靈犀一點、心氣一縷，神光一閃……“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處！”這不是數學思維中的一種常見意境嗎？

1.1數學活動的教學是在數學領域內思維活動的教學，而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學.這里所說的數學活動是按照下列3個階段進行的思維活動.

①經驗材料的數學組織化.即借助觀察、試驗、歸納、類比、概括積累事實材料.

②數學材料的邏輯組織化.即由積累的材料中抽象出原始的概念和公理體系，并在這些概念和體系的基礎上演繹地建立理論.

③數學理論的應用.數學教學不僅教給學生已發現的現成的數學理論，更重要的還要教給學生如何進行數學活動.要教給學生如何像數學家那樣去活動，那樣去思維.

辛格（V·Singh）認為的數學的效用主要是“發展思維功能和掌握復雜情況的能力”[1].

卡米查爾（R.Carmichael）說：“數學是一個思想領域，它為我們提供了有關清晰、精確思維的必要和明確的知識”[1].馮·諾意曼（V.Neuman）更稱“數學處于人類智能的中心領域”[2].由于思想是人類智慧的核心，這就肯定了數學在培養人的思維方面，具有其它學科無法替代的功能.

更確切地說，數學教學（或學習）才是鍛煉和發展人的多種思維能力的“智力體操”.

1.2數學是培養抽象思維和邏輯推理能力的傳統學科.

這一點在歐氏幾何中體現的尤為突出.丁石孫先生在《數學與教育》一書中進行過精辟的分析：“有時面對一個幾何證明題，乍看似乎結論明顯成立，但要證明它卻不得不費一番分析，在這種情況下，人的耐心受到很好的訓練；有時，面對一個看來結論簡直不能成立的命題，通過引幾條巧妙的輔助線，可以很快解決問題.巧妙地借用其他手段，解決復雜問題，人類不就是這樣生存的嗎？歐氏幾何還能訓練人的敏銳的洞察力[3]……

1.3數學又具有開發非邏輯思維與合情推理的功能.這是隨著思維科學、心理學與數學教育研究與實踐的不斷發展，而為人們所逐漸認識的.邏輯推理固然是數學論證必不可少的的關鍵步驟，但數學上的發現和創新一刻也離不開觀察、實驗、類比、聯想、不完全歸納、猜測、想象、直覺等“合情推理”.由于在當前的數學教學中，右半腦的功能還常常受到壓抑，并表現為想象力貧乏，不善于靈活運用數學知識，缺乏探索性和創新性……一言蔽之，缺乏形象思維能力.一代大師錢學森建議“把形象思維作為思維科學的突破口”.徐利治先生更認為，對數學和右腦思維的研究“有可能使數學研究和數學教育獲得新的動力”[4].因此對非邏輯思維的訓練，應受到更多的重視.我們為什么不也來闖闖這個新天地呢？

1.4數學還發展出許多特有的思維方法和技巧.

通過數學教學方法論的橋梁，能轉化為一般的思維方法.這方面的實例，可參閱文[1]，相信讀者從中得到有益的啟迪.

有人認為，通過數學教學（學習）可以基本涉及人類思維的各個側面，這是有一定道理的，事實上，作為一個更完整的認識，數學的教育功能還不僅僅是“訓練思維的體操”.至少我們還應看到：數學在培養、提高人的文化素質（思維品質）也有它獨到的功效.數學思維是數學乃至科學技術中的美麗花朵，只要我們用心去領悟它，運用它，一定會結出豐碩的果實.

了解數學思維，做一個明白的人；

懂得數學思維，做一個聰明的人；

掌握數學思維，做一個具有創新能力的人.

2數學思維是一種高層次文化現象

“數學教學不僅是數字、符號、公式，而且還有浸潤其中的數學文化.只有把抽象的、邏輯的、嚴謹的數學，即冰冷的數學，轉化為生動的、人文的、思考的數學，即火熱的數學文化，數學課堂才是人才陶冶的爐膛.”張奠宙先生的這段話生動地說出了“數學可以塑造人的靈魂”的道理.

中科院院士王梓坤教授撰寫的《今日數學及其應用》一文.總結了數學在四個方面的巨大作用，其中一條就是“對全體人民的科學思維與文化素質的哺育”[5]“數學文化具有比數學知識體系更為豐富和深邃的文化內涵.數學文化對數學知識、技能、能力和素質等概念的高度概括”[6].也就是說，數學教學不僅是為了獲取知識，更主要的是接受數學精神、思想和數學方法的薰陶，提高思維能力，鍛煉意志品質，并把它們遷移出去.

數學教學要開發學生潛能，當從數學文化開始.“數學文化就是要‘文而化之”.這是張奠宙、趙小平先生發表在《數學教學》2007年第4期上的文章的題目.原文如下：

[JZ]數學文化就是要‘文而化之[HTSS]

近來，于丹的《論語心得》大火特火.十博士聯名發起攻擊，措辭激烈，不過大多數群眾還是喜歡于丹.這使我們聯想到數學.數學如同國學，也有其象牙塔部分，學術性很強，外人很難弄懂.即使是中小學校里的數學，也不大招人喜歡.我們的數學教育為什么非要板著面孔講數學呢？數學文化的教學，能否也能夠大眾化一些，使得一部分的數學，也如“心靈雞湯”那樣可口呢？

所謂文化，按照于丹的說法，“文化是一個流動、生長的形態，重要的是‘文而化之，進入人的內心世界”（2007年3月19日《文匯報》第四版）數學文化何嘗不是如此？

數學是人創造的，必然打上社會的烙印.數學是人們觀察世界的一種立場、觀點和方法，具有很強的人文特征.在形式化了的數學背后，有生動活潑的思維過程、樸素無華的思想方法乃至引人深思的人生故事.

教育形態的“大眾數學”，應該區別于具有學術形態的“形式化數學”.數學教學“既要講推理，更要講道理”.這些道理包括數學文化底蘊.舉一個例子.平面幾何課程里有“對頂角相等”，這是一眼就可以看出其正確性的命題.教學目的，主要不是為了掌握這一事實本身，關鍵在于：為什么希臘人要證明這樣顯然正確的命題？為什么中國古代算學沒有“對頂角相等”的定理？理性思維的價值在哪里？如能聯系古希臘的奴隸主和民主政治加以剖析，則可以感到其中更深刻的文化韻味.反之，如果依樣畫葫蘆，只是“因為、所以”地在黑板上把教材上的證明重抄一遍，那就是“文而不化”，沒有文化味了.

學學于丹，讓我們把數學也“文而化之”，使之進入人們的內心世界.讓孩子們喜歡數學、親近數學、欣賞數學.[HTSS]

3數學教學可以教人聰明

“聰明”似乎是一個易于領會而難以言傳的概念.漢語詞典對“聰明”的解釋：智力發達，記憶和理解能力強.這是人們可以接受但又不會完全認同的.但無論如何，聰明與思維品質是聯系在一起的.細心的觀察、深入的思考、良好的記憶、豐富的想象、準確的判斷、靈活的應變……，這些優秀的品質無一不與思維有關、不與文化素養有關.從這個意義上看，數學即能鍛煉思維，又可以提高人的文化修養.因此把它稱為“教人聰明的學問”是十分形象與恰當的.

我們這里所說“數學是一門教人聰明的學問”，這個教，并不專指教師在課堂上的教，更重要的是學習者自己的思考和領悟，這正如培根所說：“學問本身不教人如何用它們，這種動用之道乃是學問之外，學問以上的一種智能，是由觀察體會才能得到的”.

數學教學活動是充分暴露數學思維活動的過程.盡管數學知識是思維的結果，但學得這些知識卻不是對思維結果的簡單接收，學習者必須把新知識消化、吸收、納入自己的知識系統.數學知識不可能像語文那樣隨著社會閱歷的增長而增長，學習數學必須具備“數學頭腦”即會用“數學思維”思考問題，把新知識轉化為自己的思維結果.如果說文科知識可以讀而知之的話，那么，數學知識更多地需要“思而知之.”[7]

數學思維之所以呈現以上特征有賴數學思維的以下特點：3.1抽象性

在數學研究中，數學家往往拋棄研究對象的特性，只保留事物的數量關系和空間形式.如數學中點是沒有大小的，線是沒有粗細的，即這些點、線不同于現實中的點、線，而是一種抽象的“事物”.又如集合A={x|p}、函數y=f（x），它們不是指具體意義的集合、函數，而是指一般抽象之后的集合、函數.這些例子說明，在數學思維過程中，舍去了思維對象非本質的屬性，而是抽取出具有一般意義的數學量來研究的.可見，抽象之后的數學內容具有高度的概括性，深化了對事物的本質和規律的認識.3.2嚴密性

表現為數學思維過程中邏輯性和精確性.數學思維是按照一定的形式和方法進行的，它的理論是按照嚴格的邏輯推得的.如幾何的推理過程要求步步有理，言必有據.此外，數學思維要求定量把握事物間的量的關系，要求具有一定的精確性.愛因斯坦曾這樣描述數學：“為什么數學比其他一切科學受到特殊的尊重，一個理由是，它的命題是絕對可靠和無可爭辯的.”可以這樣講，沒有數學的科學是不可靠和不完善的.

3.3探索性與創造性

數學來源于實際問題，同時又用來解決這些實際問題.數學思維總是圍繞解決某一問題而展開，如數學概念的建立，一個定理的推證，一種新的算法的形成都是通過數學思維尋找、探索其解決問題的方法來實現的.因此，數學思維就被賦予探索的性質.探索的結果，必然有新的聯系的產生，新的規律的出現，這就是創新的結果，潛能開發必在其中.3.4統一性

統一性是指數學思維有本質上的一致性.許多數學知識，表面上看沒有明確的聯系，

但通過深入的分析和研究，發現它們是有一定的內在聯系性的.如數與形之間的聯系，數與數之間的聯系，形與形之間的聯系，可以從不同的角度作不同層次的抽象，經過一定層次的抽象之后，往往經歷（或產生）相同或相似于其它已有的數學模式，然后用已有的模式及方法解決問題.

因此，可以說數學從它的內容、方法、工具到結論都是抽象的，都伴隨著思維活動.離開了思維，數學教學活動將無法進行.

數學思維活動包括宏觀和微觀兩個方面，宏觀上，數學思維乃是生動活潑的策略創造，其中包括直覺歸納、類比聯想、觀念更新、頓悟、技巧等許多方面；微觀上，要求數學思維步步為營，言必有據，進行嚴謹的邏輯演繹.這兩方面的有機結合，才是數學思維的特征[8].

綜上所述：數學教學活動是思維活動的教學.

參考文獻

[1]王慶人譯.數學家談數學本質[M].北京：北京大學出版社，1989年.

[2]丁石孫等.數學與教育[M].長沙：湖南教育出版社， 1989年.

[3]查有梁等.數學智慧的橫向滲透[M].成都：四川教育出版社， 1990年.

[4]伊曉. 形象思維、數學、數學教學[J].數學教育學報，1993（2）.

[5]中國科學院數學物理學部.今日數學及應用[J].自然辯證法研究，1994（1）.

[6]黃泰安.略論數學教育的文化背景[J].數學教育學報，1995（6）.

[7]郭思樂.思維與數學文化[M].北京：人民教育出版社，1991年.

[8]張奠宙等.數學教育學[M].南京：江蘇教育出版社，1991年.