讓回顧反思成為教學常態

夏炳文

摘要數學教學離不開解題教學，通過對解題之后的回顧反思，不僅可對解題過程有較全面的認識，還可以使理解進入深層結構并起到觸類旁通的效果，真正實現做一道題，通一類題，變多道題，從而提高解題教學的有效性.

關鍵詞解題理論；解題分析；回顧反思

美國數學家G·波利亞說：“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”[1]， 他在《怎樣解題》中將解決問題時思維的自然階段分成四個階段——弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧反思，并重點強調了回顧反思是最容易被忽略的，卻是最重要的， 所以將其作為解題的必要環節而固定下來.解題應有兩個方面的反思，一是解題層面的回顧反思，二是學會解題層面的回顧反思，反思解題過程是否嚴謹？反思解題方法是否可以優化？反思題目是否可以推廣和變式？等等.

在目前的解題教學中，很多老師和學生為了解題而解題，大搞題海戰術，試圖通過窮盡題型而達到熟能生巧，不重視解題后的回顧反思，從而降低了解題教學的有效性，學生到下次解題時又重復“昨天的故事”，所以筆者認為讓回顧反思成為教學常態，從反思中培養正確的數學思維方式和數學能力才是提高解題教學有效性的重要途徑.現舉例一則，以饗讀者.

題目已知拋物線C：y=x2，直線l：x+y+1=0，設P為直線l上的一動點，過點P作拋物線C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點.證明直線AB過定點.

這是筆者在進行解析幾何教學時選擇的一個例題，在波利亞的解題理論指導下，引導學生先弄清問題，然后擬定計劃，最后實現計劃如下：

則直線AB的方程為y=x0ax+AaB+CB，即直線AB過定點-AaB，CB.

結論1已知拋物線C：x2=2ay（a≠0），直線l：Ax+By+C=0（B≠0），

點P在直線l上，過點P作拋物線C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點，則

直線AB過定點-AaB，CB.

反思4 此結論以拋物線為載體，如果載體換成橢圓或雙曲線，是否也有相應的結論呢？

探究已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直線l：Ax+By+C=0（C≠0），點P在直線l上，過點P作橢圓C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點，則直線AB是否過定點？若過定點，定點坐標是什么？

解設P（x0，y0），由解法3知直線AB的方程為x0xa2+y0yb2=1，又因為P點在直線l上，所以Ax0+By0+C=0，

當B=0時，x0=-CA，此時直線AB的方程為-CAa2x+y0b2y=1，即直線AB過定點-a2AC，0，

當B≠0時，y0=-Ax0+CB，此時直線AB的方程為x0xa2-AyBb2=CyBb2+1，即

直線AB過定點-a2AC，-b2BC.

綜上知直線AB過定點-a2AC，-b2BC.

結論2已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直線l：Ax+By+C=0（C≠0），

點P在直線l上，過點P作雙曲線的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點，則直線AB過定點-a2AC，-b2BC.

同理還可以得到雙曲線中也有類似的結論.

結論3已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a，b>0），直線l：Ax+By+C=0（C≠0），點P在直線l上，過點P作雙曲線C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點，則直

線AB過定點-a2AC，b2BC.（證明過程略）

反思5 如果把題目的條件和結論互換，是否也成立？

探究 已知拋物線C：x2=2ay（a≠0），過定點（m，n）的動直線l與拋物線C

相交于A、B，過點A、B分別作拋物線C的切線，兩條切線的交點為M，則點M的

軌跡是不是直線？若是，軌跡方程是什么？.

解設M（x0，y0），由反思3知直線l的方程為x0ax-y=y0，因為l過定點（m，n），所以x0am-n=y0，即點M的軌跡是直線，且方程為mx-ay-an=0.

結論4已知拋物線C：x2=2ay（a≠0），過定點（m，n）的動直線l與拋物線C

相交于A、B，過點A、B分別作拋物線C的切線，兩條切線的交點為M，則點M的軌跡方程是mx-ay-an=0.

同理還可以得到橢圓和雙曲線也有類似的結論.

結論5已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過定點（m，n）（m，n不全為0）的動直線l與橢圓C相交于A、B，過點A、B分別作橢圓C的切線，兩條切線的交點為M，則點M的軌跡方程為mxa2+nyb2=1.（證明過程略）

結論6已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a，b>0），過定點（m，n）（m，n不全為0）的動直線l與雙曲線C相交于A、B，過點A、B分別作雙曲線C的切線，兩條切線的交點為M，則點M的軌跡方程為mxa2-nyb2=1.（證明過程略）

筆者在最近幾年高考試題中發現類似的題目，具體鏈接如下：

1.（2013年高考數學遼寧卷理科第20題）如圖，

拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0），點M（x0，y0）在拋物線C2上，

過M作C1的切線，切點為A、B （M為原點O時， A、B重合于O），切線MA的斜率為-12，x0=1-[KF（]2[KF）].

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A，B重合于O，中點為O）.

2.（2013年高考數學廣東卷理科第20題）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為322，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA和PB，其中A，B為切點.

（Ⅰ） 求拋物線C的方程；

（Ⅱ） 當點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；

（Ⅲ） 當點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值.

3.（2014年高考數學廣東卷理科第20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點為5，0，離心率為53.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且過點P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

數學教學離不開解題教學，在解題教學中，教師不能只展示解答過程，要引導學生對解題過程進行自覺的反思，反思不僅可對解題過程有較全面的認識，還可以使理解進入深層結構并起到觸類旁通的效果，真正實現做一道題，通一類題，變多道題，從而提高解題教學的有效性，同時教師只有在反思中不斷提高自身的學科素養，才可以促進學生不斷成長，因為“教師的深度決定了學生的高度”，讓回顧反思成為教學常態！

參考文獻

[1] G·波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天譯.上海：上海科技教育出版社，2007.