小結論大作用

梁昌金

我們默認自然數不包含0，用符號N表示全體自然數組成的集合.如果一個自然數p的因子只有1和p本身，我們就稱p為素數.素數，又稱之為質數.默認在自然數中，1不是素數.我們稱自然數中其它非1、非素數的數為合數.所以根據我們的定義，1既不是素數也不是合數.在下面的討論中，我們把素數按照遞增的順序寫成一個序列：p1=2，p2=3，p3=5，p4=7，…，pn，….素數在自然數中占有重要的地位.回顧一下數的發展歷史，整數的求逆運算使得數從自然數發展到全體整數.為了使乘除法在數中有良好的定義，數又從整數擴充到有理數.數從有理數到實數的擴充，可以理解為有理數的完備化過程.物理天文等進一步研究需求的產生，使得數又從實數擴充到復數.如果把復數看成一個物體，實數、有理數、整數、自然數等可以看成這個物體的一些基本的組成部件.下面定理使得我們可以將自然數看成全體素數的乘積，即素數可以看成自然數的組成“元素”，即從素數出發可以構造出全體復數！算數基本定理設n為一個大于1的自然數，則有

n=p1p2…ps，其中s為某自然數，pj（1≤j≤s）是素數，并且在不記素數排列次序的意義下，上式分解是唯一的.素數在實際中也有很多應用.在密碼學中，一些公鑰加密體系就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質數計算，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰（某個素數），將會因為找質數的過程（分解質因數）過久而使取得的信息也會無意義.在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數最好設計成質數，以增加兩齒輪內兩個相同的齒相遇嚙合次數的最小公倍數，可增強耐用度減少故障.在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關系上，殺蟲劑的質數次數的使用也得到了證明.實驗表明，質數次數地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難產生抗藥性.以質數形式無規律變化的導彈和魚雷可以使敵人不易攔截.多數生物的生命周期也是質數（單位為年），這樣可以最大程度地減少碰見天敵的機會.關于素數有無窮多個的證明，早期經典的證明可以追溯到歐幾里德（Euclid）的《幾何原本》.這也用到了數學中的反證法.

證法1（Euclid的證明）：假設p12，則整數N-1為一些素數的乘積，從而必有某個pi為N的素因子，所以pi整除N-（N-1）=1，矛盾.證法3（Harmite的證明）考慮任意的正整數n，只需證明必存在大于n的素數即可.為此，考慮P=n！+1，若P為素數，則結論成立.若P為合數，則P必存在比n大的素因子.利用上面證明思想還引發出一些有趣的數論問題.比如，考慮序列q1=2，q2=3，q3=7，q4=43，q5=139，q6=50207，q7=340999，…，其中qn+1是q1q2…qn+1的最大素因子（從而qn+1≠q1q2…qn）.可以考慮序列（qn）n≥1是否含有所有素數？是否有無窮多個素數不在序列中？這個序列是否是單調遞增的？類似的，還可以考慮序列：l1=2，l2=3，l3=7，l4=43，l5=13，l6=53，l7=5，l8=6221271，…，一般地，ln+1是l1l2…ln+1的最小素因子，是不是每一個素數都屬于這個序列？1985年，Odoni考慮一個類似的序列：w1=2，w2=3，…，wn+1=w1w2…wn+1.他證明了存在無窮多個素數不是此序列中任何一項的因子，也存在無窮多個素數至少是此序列中某項的因子.這也證明了素數有無窮多個.更一般的有Dirichlet的素數定理，即當正整數h和k滿足（h，k）=1時，算數序列h，h+k，h+2k，…，h+nk，…中有無窮多個素數.