極值點偏移問題探析

吳文昊　徐楠

近日，在復習導數及其應用時，集中整理了一些被歸結為極值點偏移背景問題的往年高考試題，并參閱了一些對該類問題探討的教學論文[1-3]，在解題思路上受益匪淺，頗有收獲.但也留下一些困惑：究竟什么叫極值點偏移即嚴格的定義是什么？該定義之下，如何簡潔判別（不求出）極值點是否偏移，并判定其類型？極值點偏移的本質即偏移產生的充分必要條件是什么？

直觀地看，極值點偏移現象應該具有這樣的幾何特征：在兩個等值點之間具有一個單獨的極值點，偏離了正中的位置，向左或右偏移.用數學語言敘述（簡稱為嚴格定義）就是：設函數f（x）滿足f（a）=f（b），并在區間（a，b）內只有一個極值點x0；若x0<[SX（]a+b[]2[SX）]，則稱極值點x0左偏；若x0>[SX（]a+b[]2[SX）]，則稱極值點x0右偏.函數f（x）的極值點左偏和右偏統稱為函數f（x）的極值點偏移.

不難看出，這一嚴格定義涵蓋了參考文獻中極值點偏移的概念.但是，其屬性的詳盡研究已超出了初等數學范疇，為在現有的初等數學范圍中探討之，需要在數形結合的思想下使用簡化的概念.

因此，結合中學數學實際內容，本文定義如下極值點偏移的簡化概念，并在現有初等數學意義上做一些探析.

簡化定義設可導函數f（x）滿足f（a）=f（b），并在區間（a，b）內只有一個極小值點x0.若對于任意x∈（0，x0-a）∩（0，b-x0）即0f（x0+x）或f（x0-x）

注1對于極大值點的偏移，只需考察負值函數的極小值點偏移.

注2按簡化定義，函數f（x）在極小值點x0鄰近的左邊值f（x0-x）大于或小于右邊值f（x0+x）時，x0左或右偏移，其數形結合的特點十分明顯.因此，考察f（x0-x）與f（x0+x）的大小或f（x0-x）-f（x0+x）的符號是十分自然的思路與方法.

文[1]將極值點發生偏移理解為函數在極值點左右增減速不同，導致函數失去對稱性.事實上，當左側的減速大于右側的增速時，可理解為f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]>f（x0+x）-f（x0），即f（x0-x）>f（x0+x）.依上述定義，極小值點x0向左偏移.當左側的減速小于右側的增速時，可理解為f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]

文[2]在數形結合的思想下，歸納出的結論正是本文的簡化定義，但并未將其歸結成初等數學范疇內極值點偏移現象的本質.

文[2]、[3]的結論中假定f（a）=f（b）=0是不適當的，因為許多函數圖像不與x軸相交，但仍有極值點偏移問題.

如在前述嚴格定義的基礎上，融合數形結合的思想，可得出如下初等數學范疇內的結論.

結論1設區間（-∞，+∞）內的可導函數f（x）滿足f（a）=f（b），并且只有一個極小值點x0.

（1）若f（a）

（2）若f（a）>f（2x0-b），則函數f（x）極值點x0右偏移.

證明由函數f（x）在區間（-∞，+∞）內只有一個極小值點x0可知，f（x）的單調遞減區間為（-∞，x0），單調遞增區間為（x0，+∞）.

由此可判定，極值點x0分別左偏移或右偏移.

注3結論1、2在一定意義上刻畫了極值點偏移的本質.

值得一提的是，初等數學中數形結合的方法并不是一種嚴格推理論證的數學思想方法，而是一種利用幾何特點輔助性推理的方法，只適用于初等數學范疇.

如右圖所示函數，隨著所考慮的區間改變，極小值點偏移的類型也在改變（甚至是不偏移的）：極小值點x0在區間（a，b）內右偏移，在區間（c，d）內左偏移.

因此，從嚴格數學意義上講，極值點偏移不是確定的概念，只適合在初等數學中用數形結合的思想去考察.本文的簡化定義，賦予了極值點偏移問題更加直觀、形象的理解，以及易于處理的思路.

參考文獻

[1]邢有寶.極值點偏移問題的處理策略[J] .中學數學教學參考（上旬），2014（7）：19-22.

[2]王曉.對極值點偏移問題的再探究[J] .中學數學教學參考（上旬），2014（12）：32-33，36.

[3]王歷權，黨忠良.也談談極值點偏移問題[J] .福建中學數學，2016（4）：12-14.