解題教學中的“調味劑”

摘要著名數學家笛卡兒曾指出：“當我們已經直觀地弄懂了幾個簡單的定理的時候，……如果能通過連續的、不間斷的思考活動，把這幾個定理貫穿起來，悟出它們之間的相互關系，并盡可能多地、明確地想象出其中的幾個，那將是有益的.照這樣我們的知識無疑地會增加，理解能力會有顯著的提高.”在高三復習階段更多的是“解題”，學習難免變得單調、枯燥而乏味，對此，我們不妨嘗試改變一下“做了講，講了再做”的方式，選擇一些結論可推廣或拓展的問題類材料，適當開設一些探究課，引導學生深入觀察、大膽猜想，應用歸納、類比、聯想、引申等思維方式培養學生的發散性思維，這必將是有意義的.

關鍵詞解題教學；探究；拓展思維

著名數學家笛卡兒曾指出：“當我們已經直觀地弄懂了幾個簡單的定理的時候，……如果能通過連續的、不間斷的思考活動，把這幾個定理貫穿起來，悟出它們之間的相互關系，并盡可能多地、明確地想象出其中的幾個，那將是有益的.照這樣我們的知識無疑地會增加，理解能力會有顯著的提高.”在高三復習階段更多的是“解題”，學習難免變得單調、枯燥而乏味，對此，我們不妨嘗試改變一下“做了講，講了再做”的方式，選擇一些結論可推廣或拓展的問題類材料，適當開設一些探究課，引導學生深入觀察、大膽猜想，應用歸納、類比、聯想、引申等思維方式培養學生的發散性思維，這必將是有意義的.1真題再現

（2012年高考江蘇理數19）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和（e，32）都在橢圓上，e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.（Ⅰ）若AF1-BF2=62，求直線AF1的斜率；（Ⅱ）求證：PF1+PF2是定值.

此題，當年被號稱為“最變態”高考題，從筆者通過多種渠道得到的解答來看，求解過程在刻意回避了韋達定理后，確實比較繁瑣，但我們如果發現了它的幾何特性后，再考慮它的求解思路又是非常令人滿意的.以下筆者就第（2）（Ⅰ）問的一種解法展開討論.

因此，對于圓錐曲線（二次非圓曲線），有如下統一的結論：m=ep1-ecosθ，n=ep1+ecosθ，其中θ為過左焦點的焦點弦的傾斜角.到此，我們竟意外地發現，這正是圓錐曲線的極坐標方程！除此之外，我們不妨引導學生進一步推測：圓錐曲線會不會還有其它的統一性質呢？這必將追溯到圓錐曲線的起源.而正是它的由來“注定”了他們會具備很多統一的性質，可推得很多統一的結論.（1）圓錐曲線的由來：圓錐曲線這個名詞最先是由古希臘數學家阿波羅尼斯（Apollonius）提出的.而在《人教A版數學選修21》一書的封面即有三幅圖片（圖5），它說明，當截面與圓錐軸線夾角不同時，可以得到不同的曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.由于這些曲線是由平面截圓錐而來，所以，稱它們為圓錐曲線.

（2）統一定義：平面內的動點P（x，y）到一個定點F（c，0）的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一個常數e（e>0），則動點的軌跡叫做圓錐曲線——圓錐曲線的“第二定義”（《人教A版數學選修21》一書的“閱讀材料”）.（3）統一性質：我們可以引導學生把圓錐曲線能夠統一描述的性質制成一張表格，并不斷進行補充， 如下表（本表適用于焦點在x軸上的橢圓和雙曲線標準方程，以及焦點在x軸正半軸上的拋物線，其他類型圓錐曲線的情況均可類比推得）.

通徑是指：過焦點并垂直于軸的弦.由圓錐曲線焦點弦的統一形式：2ep1-e2cos2θ，θ∈[0°，180°）知，當θ=90°，即cosθ=0時，焦點弦弦長m+n最短為2ep，此時的焦點弦即為通徑，可見，通徑是最短的焦點弦.

4回頭“再”探究

心理學研究表明，每個學生都有分析、解決問題和創造的潛能，或許有學生早已在前面“圓錐曲線的由來”中就有疑問：為什么得到的三條截口曲線正好是橢圓、雙曲線和拋物線呢？這跟我們學過圓錐曲線的嚴格定義恰好吻合嗎？數學概念是精確的、嚴謹的，只是看起來“像”是不夠的.為釋疑解惑，我們進行上述問題的“再”探究.

開始，人們都是用純幾何的方法研究圓錐曲線的，在17世紀笛卡兒發明了坐標系以后人們開始用坐標的方法研究它們.由于笛卡兒發明了坐標系，產生了一門新的學科，這就是解析幾何——用代數的方法來研究幾何.我們可以讓學生嘗試用坐標法去探究：為什么這些截口曲線是圓錐曲線？以下是用坐標法探究“截口曲線為什么是拋物線？”的一個片段.

如圖6，用一個與圓錐母線平行的平面α截圓錐，得到一條截口曲線.設該曲線與圓錐底面圓周交于點C，D，連結CD.在底面上作垂直于CD的直徑AB，交CD于點G.由對稱性知，該截口曲線關于平面OAB對稱，設該曲線與OB交于點P，則PG即為該曲線的對稱軸.在平面α內過P點作PN∥CD，以P為坐標原點，PN為x軸，PG為y軸，建立平面直角坐標系.在截口曲線上任取一點M（x，y），過M點作平行于圓錐底面的平面，并與PG交于點Q，則x=|QM|，y=|PQ|，過Q點作該圓的直徑與OA、OB分別交于點E、F.

設圓錐軸截面OAB的頂角為θ，θ∈（0，π），|OP|=l，設過P點且平行于底面的圓的直徑長為d，則d=l2-2cosθ.在△PQF中，|PQ|=|PF|=y，所以|QF|=y2-2cosθ.

又|QM|2=|QF|·|QE|，所以x2=dy2-2cosθ，即x2=2l（1-cosθ）y，θ∈（0，π），所以截口曲線為拋物線.

有了以上例子，我們不妨引導學生自己嘗試去證明另外兩種截口曲線的情況.不僅如此，我們還可以繼續設問：

問題1如圖7，用一個與圓柱母線斜交的平面截圓柱，得到一條截口曲線，這條曲線是不是橢圓呢？你能不能證明你的結論呢？ 圖7圖8

問題2如圖8，若該平面與圓柱底面所成角為θ，橢圓的離心率跟θ是否存在一定的數量關系呢？若存在，又是怎樣的關系？

這樣的探究不僅可以讓學生改變一下每天“做題”，等老師“講解”的單一模式，還可以讓學生體會到書本知識的內涵和外延，有助于擴大學生的知識面，激發學生的學習興趣，使學生對某些概念的產生“知其然”，且“知其所以然”，認識到數學是自然的，數學概念的產生也是自然的、水到渠成的，并體會蘊涵在其中的思想方法.5結束語

解題是一種實踐性的技能，如果教師一味讓學生操練一些常規運算，那么他就會扼殺他們的興趣，阻礙他們的智力發展，從而錯失良機.相反地，如果他用和學生的知識相稱的題目來激起他們的好奇心，并用一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那么他就能培養學生對獨立思考的興趣，并教給他們某些方法，而學生也將學到一些比任何具體的數學知識更重要的東西.

作者簡介李新華（1982—），女，浙江桐鄉人，

中學一級教師.課題曾獲嘉興市教科研成果一等獎，桐鄉市教科研成果一等獎；多媒體課件曾獲全國優勝獎，浙江省二、三等獎，嘉興市一、二等獎.發表文章8篇.