數論知識融入高考試題成新熱點

【摘要】數論知識在近年悄然滲透到高考數學之中，命題者編制出不少典型且巧妙的試題，使高考數學與自主招生甚至競賽數學拉近了距離.文章從取整函數、不定方程、奇數與偶數、倍數與余數、同余與剩余幾個方面，介紹數論常被考查到的知識點，探究融入數論知識的高考數學試題的解題方法與策略.

【關鍵詞】數論；取整函數；不定方程；奇偶分析；同余

數論知識原是數學競賽內容，近年悄然融入到高考數學試題之中，先是在選擇填空題中占一席之地，后來登堂入室解答題甚至壓軸題，與數列、函數、不等式知識聯袂出現，蔚然成為高考數學的新熱點.這類試題覆蓋面廣、構思精巧、難度較大，深入研究這類試題很有必要.本文試圖通過數論知識分類，探討此類試題的解題思想與解題方法.1取整函數

取整函數也稱為高斯函數，用符號[x]表示，定義為不大于x的最大整數； 取整函數常考查到的知識點與性質有：

2不定方程

變量取整數的方程稱為不定方程，不定方程是數論中一個十分重要的課題[1].一般多元一次不定方程用輾轉相除法.其他不定方程的類型很多，解題大多用到奇偶分析法、因式分解法、分類討論法、換元法、構造法、無窮遞降法、不等式估計法、同余法等.不少不定方程求解難度很大，甚至成為世界難題.

例2（2007年高考湖北理科數學第21題）已知m，n為正整數，

綜上，不定方程的解只有n=2，3.

評注求解不定方程用到了不等式估計法與分類討論法.第（Ⅲ）題是埃斯柯特問題的一個特例.我國數學家柯召與孫琦曾經研究了更一般的不定方程：xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n，獲得了較重要的成果[2].

3奇數與偶數

4倍數與余數

設a，b∈[WTHZ]Z[WTBX]，存在唯一的整數對（q，r），使a=bq+r，其中0

（1）a|b且b|ca|c；（2）a|b，a|ca|xc+yb（x， y∈[WTHZ]Z[WTBX]）；（3）（a，b）=1，且

a|c，b|cab|c；（4）若（a，b）=1，a|bca|c.

例4（2015年高考北京理科數學第22題）已知數列{an}滿足：a1∈[WTHZ]N[WTBX]*，a1≤36，且an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，2an-36 ，an>18，[JB）]（n=1 ，2 ，…）

.記集合M={an|n∈[WTHZ]N[WTBX]*}.

（Ⅰ）若a1=6，寫出集合M的所有元素；

（Ⅱ）若集合M存在一個元素是3的倍數，證明：M的所有元素都是3的倍數；

（Ⅲ）求集合M的元素個數的最大值.

解（Ⅰ）由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]可知：a1=6，a2=12，a3=24，a4=12， 所以M={6，12，24}.

（Ⅱ）因為集合M存在一個元素是3的倍數，所以不妨設ak是3的倍數，由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]，可用數學歸納法證明對任意n≥k，an是3的倍數.當k=1時，M中的所有元素都是3的倍數；如果k>1時，因ak=2ak-1或2ak-1-36， 所以3|2ak-1，又（2，3）=1，于是3|ak-1，即ak-1是3的倍數.類似可得，ak-2，…，a1都是3的倍數，從而對任意n≥1，an是3的倍數.因此，M的所有元素都是3的倍數.

（Ⅲ）由于M中的元素都不超過36，由a1≤36，易得a2≤36，類似可得an≤36，其次M中的元素個數最多除了前面兩個數外，都是4的倍數，因為第二個數必定為偶數，由an的定義可知，第三個數及后面的數必定是4的倍數，另外，由定義可知，an+1和2an除以9的余數一樣.

（1）若{an}中有3的倍數，由 （Ⅱ）知，所有的an都是3的倍數，所以an除以9的余數是3，6，3，6，…，或6，3，6，3， …，或0，0，0，0，….而除以9余3且是4的倍數只有12，除以9余6且是4的倍數只有24，除以9余0且是4的倍數只有36，則M中的數從第3項起最多2項，加上前面的2項，最多4項.

（2）{an}中沒有3的倍數，則 an都不是3的倍數，對于a3除以9的余數只能是1，4，7，2，5，8中的一個，從a3開始an除以9的余數是1，2，4，8，7，5；4，8，7，5，1，2；…，不斷的6項不依次序重復出現（可能從2，4，8，7，或5開始），從而知除以9的余數只能是1，2，4，5，7，8且為4的倍數（不大于36），只有28，20，4，16，32，8，所以M中的項加上前面2項最多有8項.而a1=1時，M={1，2，4，8，16，32，28，20}，項數為8，所以集合M的元素個數的最大值是8.

評注第（Ⅲ）題也可以用窮舉法來解，因為a1≤36，討論還不算太繁雜.發現數列{an}的周期性，是解決這一問的關鍵.討論數列{an}每一項被9除的余數，使解題過程化繁為簡.5同余與剩余類

同余的定義：設m≠0，若m|（a-b），即a-b=km，則稱a同余于b模m，b是a對模m的剩余，記作a≡b（mod m）.剩余類定義：設m∈[WTHZ]N[WTBX]+，把全體整數按其對模m的余數r（0≤r≤m-1）歸于一類，記為Kr.每一類Kr（r=0，1，2，…，m-1）均稱為模m的剩余類.同一類中任一數稱為該類中另一數的剩余.K0，K1，…，Km-1是模m的完全剩余類.這里常被考查到的結論有：（1）a≡b（mod m），b≡c（mod m）a≡c（mod m）；（2）a≡b（mod m），c≡d（mod m）a+c≡b+d（mod m）；（4）a≡b（mod m），c≡d（mod m）ac≡bd（mod m）.例5（2015年高考江蘇數學第23題）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n}（n∈[WTHZ]N[WTBX]*），Sn={（a，b）|）a整除b或b整除a，[JB（]a∈X，b∈Yn[JB）}]，令f（n）表示集合Sn所含元素的個數.

（1）寫出f（6）的值；

（2）當n≥6時，寫出f（n）的表達式，并用數學歸納法證明.

解（1）根據題意按a分類計數：a=1，b=1，2，3，4，5，6；a=2，b=1，2，4，6；a=3，b=1，3，6；共13個，所以，f（6）=13.

綜上所述，結論對一切滿足n≥6的正整數n均成立.

評注第（2）題按命題者的意愿，要求考生先由不完全歸納法得出結論，再用數學歸納法證明，但這樣要求，反而限制了學生的思維發散.

從上面的例題可以看到，數論知識在高考試題中的滲透比較深，不少題難度比較大.如果從來沒有進行過數論知識的培訓，不了解數論中的方法與技巧，學生要想在這些題上拿到高分是很不容易的.因此，我們在平時的教學中，應該注意使用好選修教材《初等數論》，開闊學生的視野，做到有備無患.

參考文獻

[1]潘承洞，潘承彪.初等數論[M].北京：北京大學出版社，1998.

[2] 柯召，孫琦.關于方程xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n[J].四川大學學報（自然科學版），1962（2）：9-18.

作者簡介

郝保國（1958—），男，湖南祁東人，數學高級教師；主要研究方向是課程、教材、教法、競賽等；華南師大校外碩士生導師，廣東省優秀教師；在《數學傳播》、《中學數學雜志》等刊物共發表論文86篇，輔導學生獲國際數學奧林匹克競賽金牌1人次.