模型思想在小學數學教學中的方法論價值

曾玉華，鄭 果

（湖南第一師范學院 數學與計算科學學院，湖南 長沙 410205）

模型思想在小學數學教學中的方法論價值

曾玉華，鄭 果

（湖南第一師范學院 數學與計算科學學院，湖南 長沙 410205）

模型思想的本質就是讓學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、利用已有的經驗解決問題的過程。模型思想不僅僅是一種基本的數學方法，更是一種解決問題的策略，它廣泛地應用于認識問題本質規律、提高數學化能力、解決實際應用問題、培養數學創新思維等各方面，具有重要的數學方法論價值。

小學數學；模型思想；方法論；價值

引言

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“新課標”）指出“重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。”“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念……模型思想”[1]，并明確提到了“數學模型”“模型思想”。在新課標的十大核心概念中，“模型思想”是唯一以“思想”命名的，可見，發展模型思想是小學數學教育教學的重要目標之一。

早在上世紀70年代初，美、英等國就已將數學模型學習作為小學教育的重要內容，并且成為統一數學課程的一個組成部分。就我國而言，從20世紀80年代起，數學界才開始關于數學模型和數學建模的研究，相關課程只有在大學才開設。自新課標實施以來，在小學數學課堂中，筆者發現很多教師對數學模型、數學建模、模型思想等概念還較陌生，理解也很膚淺。因此，我們基于數學方法論的角度，從數學學科的本質出發，對小學數學課堂的模型思想進行深入探究，分析數學模型思想的概念、特點及其方法論價值，有助于提高小學數學課堂教學質量，有效促進小學數學教育教學的改革和發展。

一、相關概念的界定

（一）數學模型

對于數學模型的概念，眾多學者有著不一樣的認識。張奠宙教授認為，廣義地講，數學中各種基本概念和基本算法，都可以叫做數學模型。狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構才叫做數學模型[2]。因此，小學數學課本中的公式、定律、算法、函數、方程、概念等等都可以視作數學模型。

（二）數學建模

數學建模是構建數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）。小學階段研究的數學建模，是基于兒童視角，聚焦數學本質，讓學生從現實原型或具體事例出發，發現并找出內在規律，通過數學符號將其轉化為具體的數學模型并進行解釋和運用，從而解決現實生活中存在的一系列實際問題的過程。

（三）模型思想

模型思想，是指首先將所研究和考察的實際問題化為數學問題，構造出相應的數學模型，然后對數學模型進行研究，使原來考察的現實問題得以解決的一種“數學化”[3]。

二、模型思想在小學數學教學中的方法論價值

數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律，數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創新等法則。模型思想作為小學數學教學中一種基本的數學思想方法，具有重要的數學方法論價值。

（一）認識問題本質規律

世界上萬事萬物都存在其內在的規律，人們可對部分事物通過發現規律并加以總結，通過數學符號將其轉化為具體的數學模型，從而解決現實生活中存在的一系列現實問題。洞穿表象，發現規律，刻畫模型，解決問題，這就是模型思想的精髓所在。例如，18世紀初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，七座橋把兩個島與河岸聯系起來。一個步行者怎樣才能不重復、不遺漏地一次走完七座橋并回到出發點，這就是著名的“哥尼斯堡七橋問題”。數學家歐拉在親自觀察了哥尼斯堡七橋后，冥思苦想，不斷探索，但一直未能成功，整整花了將近一年的時間，找到了這個問題的本質規律，巧妙地把它轉化成一個一筆畫的幾何問題，建立了解決問題的數學模型，最終破解這個難題。正是這個小小的數學模型，后來卻開創了拓撲學這一新的數學分支。借助數學模型，數學生物學家們還發現了一些十分有趣的自然規律。他們解釋了為什么世界上有的動物的尾巴布滿條紋而身上卻布滿斑點，但是沒有哪只動物的尾巴布滿斑點而身上布滿條紋。

小學數學教材中的“雞兔同籠”“烙餅問題”“植樹問題”等都是典型的模型問題，內容本身十分有趣，符合學生的認知，同時貼近生活。教學中滲透模型思想，引導學生認識問題本質規律，往往都能達到良好的教學效果。部分小學數學教師在進行教學設計時往往對四維目標的認識不夠，眼光僅局限于“知識與技能”目標上，從創設情境——探索新知——鞏固練習，亦步亦趨。學生缺失了對于生活實物模型的認識以及探索規律、體會搭建模型的體驗，有些設計中這些探索和合作僅拘泥于形式，沒有真正深入實際去挖掘分析問題的內在規律，殊為可惜。

（二）提高數學化能力

數學的產生、發展本身就是一個“數學化”的過程。人類最初沒有數的概念，從結繩記事、小木棍或小石塊的組合慢慢產生數的概念，從點、線、面的運動變化逐漸產生幾何體的概念，這就是“數學化”。數學的教與學通過“數學化”的方式來進行，讓學生經歷直觀與抽象的嬗變，能夠運用所學到的數學知識、技能以及方法，進一步觀察、比較與分析現實生活中的實際問題，并在綜合、類比、歸納的思辨過程中，發現其共性與規律，從而上升為數學的抽象與概括。“數學化”不僅將數學與有關的實際背景緊密聯系起來，而且能使學生真正獲得充滿著生機與活力的數學知識，真正理解并學會運用這些知識。

在模型思想的培養過程中把數學與實際問題結合起來可以使實際問題數學化，而實際問題數學化是發現問題解決問題的方法和提高學生數學素質的一條有效途徑。例如：求有一條邊相等的兩個長方形面積之和？模型實際上很簡單，老師在教學過程中，引導學生經歷從問題分析到類比推理，再到建立模型、解釋應用的整個過程，并且不斷賦予模型“生長”的力量，結合乘法分配律去分析，讓帶字母的分配律既根植于圖形，又不局限于圖形。它不僅可充分培養學生的“數學化”能力，而且展現了模型思想的無窮魅力。

當然，部分小學數學教師在教學中不明就里，碰到與生活實際相關聯的問題，往往機械模仿，生搬硬套，不能由表及里，透徹理解問題實質，淡化了將“生活問題”進行“數學化”的處理過程。比如在某些問題計算的過程中僅僅強調計算方法的多樣性，沒有及時地理清模型搭建中的探究過程，缺少對算法多樣化的規律和共性的分析與提煉，缺乏問題“數學化”的實質內涵。

（三）解決實際應用問題

在現代科技社會中，隨著信息技術的發展，數學模型在數學學科中的地位顯著提升，應用日益廣泛，成功地解決了大量的實際問題。曾任世界數學聯盟主席的D.Mumford在論述現代數學的趨勢時說：“創建好的模型正如證明深刻的定理一樣有意義。我想，承認這點，數學將會從中受益”。例如，隨著計算機3D打印技術的發展，科學家已經能夠模擬打印人體血管網，甚至人體器官，并臨床應用于疾病治療。數學模型還能使高速計算機在藥物成分設計和染色體組織的分析方面得以廣泛應用。美國等國家成功地利用超級計算機模擬代替核試驗，使得設計周期大幅縮短，費用大大節約，安全可靠性得以提高。

在小學數學建模活動中，老師可以先讓小學生解決他們在實際生活中遇到或見到過的問題，如幫媽媽上街買菜，網絡購物或在線支付，自己設計喜愛的旅游路線，合理安排用餐和車輛，預測中獎的可能性等。老師帶領學生從這些具體的生活體驗出發，通過觀察、分析、比較、綜合、概括、抽象和必要的邏輯推理，提煉其本質，適時地上升為數學問題，總結出數量、單價、總價，速度、時間、路程等相互之間的關系式，構建出數學模型，解決具體的實際問題，然后再把它推廣應用于更廣泛的具體內容中去，形成初步的數學模型思想。通過數學建模，既能使小學生得到由現實問題抽象成數學問題的操作訓練，又能讓他們深切感受到數學的應用價值，增強數學的學習興趣和應用意識，使兒童真正了解數學知識的發生過程，提高兒童分析問題和解決實際問題的能力。

（四）培養數學創新思維

創造性思維的核心就是發散思維。根據小學生思維的發展特點，數學教學滲透模型思想可以培養兒童從實際問題中發現規律、主動解決問題的能力，在主動思考解決問題的過程中鍛煉他們的直觀形象思維、發散思維。無論是在分析問題階段、解決問題階段還是驗證問題階段，學生的思維隨著問題解決的漸進而一步步升華，充分調動了學生的自我思考性和對未知事物的創造性，并且這種創新思維的發生由淺入深、循序漸進。例如，傳統的小學數學應用題教學，所給題目的條件和問題已經通過了篩選，呈現形式單一，結構封閉，內在完備無矛盾，所得結果往往也是唯一的。因此，解答應用題與解決實際問題存在很大的距離，探究性不強，學生的探究能力、創新思維得不到充分培養。小學數學應用題滲透模型思想，可極大地改變傳統的教學法。首先是從現實生活背景中的實際問題中挖掘出全部有用的信息，探尋規律，構建為數學模型，接著用合適的數學方法對該模型進行求解，再回到現實中去檢驗。它充分體現了新課標對學生自主探究能力和創新精神的培養。

例如：一家修路的公司承包了一條長400米的高速公路。花了6天的時間修了高速公路的30%，繼續按照這樣的修路速度，還需要多久公司能修完這條路？

解法（1）：400÷（400×30%÷ 6）－ 6

解法（2）：（400－ 400× 30%）÷（400× 30%÷ 6）

解法（3）：1÷（30%÷ 6）－ 6

解法（4）：（1－ 30%）÷（30%÷6）

解法（5）：6÷ 30%－ 6

此題是小學數學中常見的行程問題，模型系統容易確定，但是路程和速度沒有直接給出，教師抓住題目主干信息和問題實質，巧用一題多解的教學方法，構建了多樣化的模型，在多種求解思路中讓學生發現數學學習的趣味性，引導他們多角度、發散性地分析并解決問題，非常有利于學生創新思維的培養。

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2011年版[S].北京：北京師范大學出版社,2013：5.

[2]張奠宙.小學數學研究[M].北京:高等教育出版社,2009：16.

[3]李明振.數學建模的認知機制及其教學策略研究[D].重慶：西南大學,2007：2.

Methodological Value of Modeling in Elementary Mathematics Teaching

ZENG Yu-hua,ZHENG Guo

（School of Mathematicsand Computational Science,Hunan First Normal University,Changsha,Hunan 410205）

The essence of the modeling idea is to allow students to abstract mathematical problems from actual backgrounds,build mathematical models,and solve problems using existing experience.The modeling idea is not only a basic method in mathematics,but also a strategy to solve problems.It is applied widely in finding the regularity,improving mathematical ability,solving the practical problem and cultivating innovative thinking in mathematics,which hasgreat methodological value in mathematics.

elementary mathematics;modeling idea;method theory;value

G622

A

1674-831X（2017）05-0023-03

2017-04-26

湖南省教育廳科學研究項目（15C0279）

曾玉華（1973-），男，湖南永州人，湖南第一師范學院副教授，博士，主要從事優化理論與方法、數學教育研究；鄭果（1980-），女，湖南益陽人，湖南第一師范學院講師，主要從事數學教育研究。

[責任編輯：胡 偉]