基于Chahine算法的動態光散射顆粒粒度反演

陳文鋼，王雪敏，修文正，尹麗菊，申 晉

(山東理工大學 電氣與電子工程學院, 山東 淄博 255049)

基于Chahine算法的動態光散射顆粒粒度反演

陳文鋼，王雪敏，修文正，尹麗菊，申 晉

(山東理工大學 電氣與電子工程學院, 山東 淄博 255049)

采用Chahine算法，在噪聲水平分別為0、10-5、10-4、10-3條件下，分別對91nm、253nm和636nm三種單峰分布顆粒的動態光散射數據進行了粒度分布反演.結果表明，在無噪聲情況下，對于單峰分布顆粒的粒度分布，通過反演能夠得到理想的反演結果.隨著噪聲水平的增高，反演效果逐漸變差.在同樣噪聲水平下，隨著顆粒粒徑的增大，對噪聲環境提出更為苛刻的測量要求.因此，Chahine算法適用于噪聲較低時的動態光散射顆粒粒度分布反演，尤其適用于單峰分布情況下的中、小顆粒粒度分布的反演.

Chahine算法；反演；粒度分布；動態光散射；

(Using dynamic light scattering DLS)技術是一種測量超細顆粒粒徑及其分布的有效方法，已廣泛應用于科研和工業等領域[1-2]，該方法是通過散射光強自相關函數獲得顆粒粒度及其分布的.由相關函數反演顆粒粒度分布(particle size distribution PSD)需求解第一類Fredholm積分方程，由于其具有高度的病態性，因此，原始數據任何微小的擾動都可能導致所求解與真實解產生巨大偏差.為解決此問題，人們提出多種反演算法，包括累積分析法、指數采樣法、雙指數法、CONTIN算法、NNLS法及截斷奇異值解法等[3-8]，一些改進的反演新方法也不斷被提出，每一種算法都有各自的優勢與不足. 本文采用Chahine算法進行動態光散射顆粒粒度反演，該算法最初用于大氣溫度分布測量[9]，是一種非約束算法，不需事先對粒徑的分布進行假設，具有迭代格式簡單，收斂速度快及精度高的特點.粒度反演結果表明，這一方法反演速度快，適用于動態光散射測量，特別適合在環境噪聲較小的實驗室測量條件下使用.

1 動態光散射原理與Chahine算法

當一束單色平行光照射樣品溶液時，做布朗運動的球形粒子會引起散射光的隨機波動.對散射光信號進行自相關運算，得到光強歸一化自相關函數[1]

(1)

式中I(t)為t時刻的散射光強，對于平穩隨機過程，可取t=0.根據Siegert關系式，可得G(2)(τ)與G(1)(τ)之間的關系式

(2)

式中g(1)(τ)為歸一化電場自相關函數；b為G(2)(τ)的基線；β是相干因子.

對于多分散顆粒系，歸一化電場自相關函數為

(3)

根據式(3)對顆粒粒徑進行反演，需對其離散化，離散化后得到的矩陣方程為

Y=AX

(4)

式中，A是M×N矩陣，其元素Aij=exp(-τiΓj)，其中τi對應相關器第i個通道延遲時間，Γj表示離散化后第j級衰減線寬.X=(x1,x2,x3,…,xn)T是離散并歸一化后的N×1階衰減線寬分布向量.Y是g(1)(τ)的離散化形式.

Chahine算法[10]的迭代方程為

F(k)=c(k).*F(k-1)

(5)

F(k-1)是第k-1次迭代得到的顆粒粒度分布，通常采用一個初步優化的粒徑分布作為初始分布F(0).c(k)>0為第k次迭代的修正向量且均為正值，且迭代過程為

(6)

式中，上標(k)表示迭代次數，I是測量得到的入射光的電場自相關函數離散化向量，sum表示將矩陣的行向量求和.分析算法步驟可知，每次迭代時所乘的修正因子均為正數，因此，當F(0)為正時，這種方法得到的解具有非負特性.

2 數值模擬

本文選取91nm、253nm和636nm顆粒體系進行數值模擬，對其相關函數進行反演，分析比較反演結果.數值模擬的實驗條件：散射角90°，入射光波長632.8nm，分散劑(水)折射率1.331，粘度系數0.8937×10-3N·s·m-2，樣品池溫度25℃，波爾茲曼常數kB=1.380662×10-23J/K.所加信號噪聲為白噪聲，噪聲水平分別為0、10-5、10-4、10-3.

粒度分布模擬數據用Johnson-SB函數實現

(7)

式中：t為顆粒粒徑的歸一化尺寸；u和σ是分布參數，改變分布參數可獲得不同的粒度分布.定義Xtrue、Xinvert分別為模擬粒徑分布和反演粒徑分布，為比較Chahine算法性能，引入兩個參數：分布誤差Error1和峰值相對誤差Error2

Error1=‖(Xtrue-Xinvert)‖2

(8)

(9)

式中dmax和d1max分別表示模擬顆粒粒徑最大值和反演顆粒粒徑最大值.Error1越小，說明反演分布和“真實”分布匹配得越好；Error2越小，說明反演粒徑與“真實”粒徑的峰值越接近.本文中，“真實”粒徑即為模擬顆粒粒徑，用“true”表示，反演粒徑用“Chahine”表示.

圖1 無噪聲91nm單峰反演結果

圖2 噪聲水平為10-5時91nm單峰反演結果

圖3 噪聲水平為10-4時91nm單峰反演結果

圖4 噪聲水平為10-3時91nm單峰反演結果

91nm單峰顆粒模擬的分布參數分別為u=0.8和σ=3.0，模擬顆粒粒徑范圍10～400nm.無噪聲情況下反演結果如圖1所示，反演結果的分布誤差和峰值相對誤差分別為0.039 2和0. 在噪聲水平分別為10-5、10-4、10-3情況下，粒度分布的反演如圖2、3、4所示.三種噪聲水平下，分布誤差分別為0.048 8、0.102 2和0.170 5，峰值相對誤差分別為0、6.59%和19.78%.可以看出，對于91nm單分布顆粒體系，在無噪聲情況下Chahine算法可以給出理想的反演結果，隨著噪聲的增加，反演效果逐漸變差，當噪聲水平為10-3時，峰值相對誤差可達19.78%.

圖5 無噪聲253nm單峰反演結果

圖6 噪聲水平為10-5時253nm單峰反演結果

圖7 噪聲水平為10-4時253nm單峰反演結果

圖8 噪聲水平為10-3時253nm單峰反演結果

253nm單峰顆粒模擬時，分布參數u=1.8，σ=3.0，模擬顆粒粒徑范圍100～500nm.無噪聲情況下的反演結果如圖5所示，分布誤差和峰值相對誤差分別為0.008 0和0.圖6、7、8分別為算法在不同噪聲水平下的粒度分布反演，分布誤差分別為0.034 9、0.104 9和0.150 7，峰值相對誤差分別為0、4.85%和17%.不難看出，在無噪聲情況下可以給出理想的253nm單峰顆粒反演結果，隨著噪聲的增加，反演效果逐步變差.

圖9 無噪聲636nm單峰反演結果

圖10 噪聲水平為10-5時636nm單峰反演結果

圖11 噪聲水平為10-4時636nm反演結果

圖12 噪聲水平為10-3時636nm反演結果

636nm單峰顆粒模擬的分布參數u=0.1，σ=3.7，模擬顆粒粒徑范圍為100～1200nm.在無噪聲情況下，單峰分布反演如圖9所示，分布誤差和峰值相對誤差分別為0.016和0.95%.圖10、11、12分別為算法在不同噪聲水平下的粒度分布反演，分布誤差分別為0.039 9、0.094 3和0.120 6，峰值相對誤差分別0.95、5.50%和12.10%.可以看出，對于636nm單分布顆粒體系，在無噪聲情況同樣可以得到理想的反演結果，隨著噪聲的增加，反演效果逐漸變差.

3 結束語

本文采用Chahine算法，對模擬的動態光散射數據進行了反演.結果表明，在無噪聲情況下，通過反演，對于單峰分布顆粒的粒度分布，能夠得到理想的反演結果. 隨著噪聲水平的增高，反演效果逐漸變差.當噪聲水平較低時，反演結果的分布誤差和峰值相對誤差均能滿足測量要求.然而，即使在同樣噪聲水平下，隨著顆粒粒徑的增大，反演效果也逐漸變差，對于較大粒徑的顆粒，對噪聲環境提出較為苛刻的測量要求.因此，本方法適用于噪聲較低時的動態光散射顆粒粒度分布的反演，尤其適用于單峰分布情況下的中、小顆粒粒度分布的反演.

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(編輯：劉寶江)

Inversion of particle size distribution in dynamic light scattering based on Chahine algorithm

CHEN Wen-gang1, WANG Xue-min, XIU Wen-zheng, YIN Li-ju, SHEN Jin

(School of Electrical and Electronic Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Using dynamic light scattering data based on Chahine algorithm,we invert the particle size distribution for single peak distribution particles (91 nm, 253 nm, 636 nm) with the noise levels of 0、10-5、10-4、10-3. The result indicates that ideal inversion of the PSD for single peak distribution can be obtained in the noiseless case; with the increasing of the noise level, the effectiveness of inversion decreased. With increasing of the particle size, the inversion demands lower noise level of the ambient. Therefore, Chahine algorithm can be applied in the PSD inversion of DLS in low noise level, especially in the inversion of the middle and small particle size with single peak.

Chahine algorithm；inversion；particle size distribution；dynamic light scattering

2016-04-18

山東省自然科學基金項目(ZR2014FL027,ZR2015FL034)

陳文鋼，男，baiheshu@ 163.com； 通信作者：申晉，男，shejin@sohu.com

1672-6197(2017)02-0031-04

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