一種月球飛船動力下降預測制導方法的研究*

薛志飛 韓艷鏵

南京航空航天大學航天學院，南京 210016

月球探測與開發(fā)離不開月球軟著陸技術。軟著陸有2種方式[1-2]：1)直接著陸；2)從圓形的環(huán)月停泊軌道變軌，進入霍曼橢圓軌道，然后在其近月點開始連續(xù)制動減速(稱為動力下降)，最終軟著陸于月面。第2種方式可供著陸準備的時間長，且著陸區(qū)域選擇性大，成為目前各國普遍采用的方式。在該方式中，動力下降段的制導控制最為關鍵，衡量其性能優(yōu)劣的標準是燃耗、在線計算量、魯棒性等[3]。目前動力下降段制導技術的主流方式有2種：標稱軌跡制導法和顯式制導法[1]。

標稱軌跡制導法的思路是離線設計一條落月標稱軌跡，然后在線跟蹤該軌跡。標稱軌跡通常針對某性能指標(如燃耗、航程等)經過優(yōu)化計算得到[4-8]，然后對標稱軌跡進行跟蹤控制[9]。文獻[4-5]均采用偽譜法計算最優(yōu)軌跡。其中文獻[4]采用從可行解到最優(yōu)解的串行優(yōu)化策略求解，有利于快速收斂到最優(yōu)解，文獻[5]則通過遺傳算法對偽譜法的優(yōu)化結果進行驗證，確保其全局最優(yōu)性。文獻[6]根據龐特里亞金極小值原理推導了最優(yōu)推力開關方程，證明了推力奇異區(qū)間不存在，然后針對優(yōu)化模型中的復雜非線性約束，通過凸變換，轉化為凸優(yōu)化問題，借助于內點法得到全局最優(yōu)解。文獻[7]利用混合法思想和人工免疫算法研究了月球軟著陸軌跡優(yōu)化問題。混合法結合了基于龐特里亞金極值原理的間接法和非線性規(guī)劃等直接法的優(yōu)點，而人工免疫算法提高了全局尋優(yōu)的可靠性和收斂速度。文獻[9]以極大值原理得出的最優(yōu)軌跡為基礎，給出了一種基于模糊神經網絡的最優(yōu)非線性閉環(huán)控制律，來跟蹤最優(yōu)標稱軌跡。

標稱軌跡制導法的缺點是： 1)標稱軌跡的規(guī)劃(特別是優(yōu)化)需要消耗較大的計算資源； 2)飛船下降段的初始條件偏差、或下降過程受到的內外干擾，均可導致較大的落月偏差。

顯式制導法由于引入實時狀態(tài)反饋，故有較強的魯棒性。文獻[2]為動力下降的3個階段(即制動段、接近段和最終下降段)分別設計了解析形式的制導律，但由于制導律的簡化計算給最終著陸段的軌跡帶來較大偏差。文獻[10]在制動和接近段采用多項式制導，根據實時位置、速度修正控制量。文獻[11]提出了一種基于改進的ZEM/ZEV算法和模型預測靜態(tài)規(guī)劃(MPSP)的多約束燃料次優(yōu)制導方法，用于月球精確軟著陸，其重定向能力強，但在線計算量太大。文獻[12]針對最終下降段，設計了一種嵌套飽和函數(shù)形式的制導律和姿態(tài)控制律，并利用級聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性證明了著陸器最終能以合適的速度和豎直姿態(tài)落月。

本文提出一種月球飛船動力下降段預測制導方法，充分利用月球無大氣層的特點，利用開普勒軌道力學，得到解析形式的軌跡和落點預測解，無需事先離線做大規(guī)模優(yōu)化計算，且在線計算量比基于數(shù)值預測的制導方法小得多，同時其魯棒性又明顯強于標稱軌跡(含最優(yōu)軌跡)制導法，更適宜工程應用。

1 動力學建模

上面所提的第2種軟著陸方式如圖1所示。飛船在環(huán)月停泊軌道上進行觀察，初步選定著陸點，從而確定在停泊軌道的哪個位置施加脈沖變軌，進入霍曼轉移軌道，再在其近月點施加連續(xù)推力進行制動下降，最終軟著陸月面。如果選定的著陸點與環(huán)月停泊軌道不共面，可以在停泊階段改變軌道平面，使落月點與環(huán)月停泊軌道共面，則之后的霍曼轉移軌道和動力下降段都與落月點共面，故本文研究的下降段只需要考慮縱向平面。

圖1 動力下降示意圖

飛船相對于月心的位置用極坐標(r,α)表示，其中，極徑r表示飛船到月心的距離，極角α如此定義：飛船動力下降的始點定義為極角零點，并且以逆時針旋轉為正。設飛船飛行速度為v，航跡傾角為γ。發(fā)動機推力沿速度矢量的切向和法向的加速度分別為at和an，燃料的質量比沖為Is。月球引力常數(shù)為μ=GMm，其中，G是萬有引力恒量，Mm是月球質量，則動力下降段飛船質心運動方程如下:

(1)

質量動態(tài)如下:

(2)

自由飛行即不計發(fā)動機推力時，可以證明[13]，飛船的軌跡是以月心為焦點的橢圓，方程如下:

(3)

其中,

f=α-ω

(4)

是飛船在橢圓軌道上的真近點角。ω是近月點角距。h是飛船質量歸一化的動量矩(下文簡稱動量矩)，即

h=rvcosγ

(5)

飛船的質量歸一化機械能(下文簡稱機械能)為

(6)

根據開普勒軌道力學，自由飛行時，飛船的動量矩h和機械能ε均守恒。另外，可以根據飛船的動量矩和機械能計算其軌道半長軸a和偏心率e，

(7)

(8)

飛船軌道運動的平均角速度為

(9)

飛船的即時月心距r、飛行速度v和航跡傾角γ可由導航設備實時測定，然后根據式(5)和(6)分別確定飛船動量矩h和機械能ε，再根據式(8)確定其瞬時密切橢圓軌道的偏心率e，最后由方程(3)反解出其在瞬時軌道上的真近點角f如下

(10)

相應的偏近點角E和平近點角M的計算式如下

(11)

M=E-esinE

(12)

當飛船降落到距月表很近，飛行速度也較小，航跡傾角較大，從而縱程較小時，可視月表為平面，重力場近似為勻強場，此時飛船自由飛行的質心運動方程近似為

(13)

式中，g是月表重力加速度常數(shù)，Rm是月球半徑。飛船質量動態(tài)方程仍如式(2)。

2 預測制導

2.1 基本原理

預測制導的基本原理如圖2所示。

圖2 預測制導原理

預測制導思路如下： 1)導航系統(tǒng)實時測定飛船飛行狀態(tài)量(r,α,v,γ)，從而算得其動量矩和機械能；然后按照自由飛行的開普勒軌道力學，確定瞬時密切橢圓軌道，并依據此瞬時軌道預測其落點位置(用落點極角表示)和速度，以及剩余飛行時間；根據預測的落點位置和速度，與期望的落點位置和速度比較，得到偏差量；2)控制算法根據預測的落點速度偏差和剩余飛行時間形成切向控制量，改變飛船速度，消除落點速度偏差；同時，根據預測的落點位置偏差形成法向控制量，改變飛船速度方向，消除落點位置偏差。

2.2 制導算法

如前所述，飛船從霍曼軌道的近月點開始連續(xù)制動下降。霍曼軌道本身與月表無交會點。在減速過程中，飛船處于一系列連續(xù)變化的瞬時密切橢圓軌道上，當某條瞬時軌道的近月點到月心的距離小于等于月球半徑Rm，表示該軌道與月表有交會點(下文統(tǒng)稱落月條件)，飛船沿該軌道自由飛行必能落月。但是落月點位置和速度未必滿足期望值，所以還需繼續(xù)施加切向和法向控制，不斷調整飛行狀態(tài)，使預測的落點狀態(tài)值趨近期望值。

據此將制導過程分為3個階段： 1)全力制動階段；2)基于橢圓軌道的預測制導階段；3)基于近月面拋物線軌跡的預測制導階段。下面詳細闡述。

2.2.1 全力制動階段

此段從霍曼軌道近月點開始，切向控制量取負的峰值，法向控制量取0，即

(14)

直至滿足落月條件。由于瞬時橢圓軌道近月點的真近點角f一定為0，且預測落點是基于飛船自由飛行時的開普勒軌道進行的，動量矩h守恒，偏心率e是常數(shù)，將式(5)，(6)和(8)，及f=0代入式(3)，得到近月點的月心距為

(15)

落月條件是rp≤Rm。

2.2.2 基于橢圓軌道的預測制導階段

此階段的預測制導如圖3。

圖3 基于橢圓軌道的預測制導示意圖

飛船當前時刻在瞬時軌道上的真近點角可將式(5)，(6)和(8)代入式(10)計算得

(16)

近月點角距根據式(4)得

ω=α-f

(17)

其中，極角α由導航系統(tǒng)實時測定。

下面根據自由飛行預測落點真近點角f*。

(18)

相應的落點極角預測值為

α*=f*+ω

(19)

設落點極角期望值為αc，則預測落點位置偏差(用極角表示，下文類同)為

Δα=α*-αc

(20)

落點速度可根據機械能守恒來預測。設落點速度的預測值為v*，則根據當前狀態(tài)(r,v)計算的機械能與根據落點狀態(tài)(Rm,v*)計算的機械能應相等，可解得

(21)

設落點速度的期望值為vc，則預測落點速度偏差為

Δv=v*-vc

(22)

下面預測剩余飛行時間tgo。

將當前真近點角f代入式(11)和(12)，計算出相應的偏近點角E和平近點角M。將預測的落點真近點角f*代入式(11)和(12)，計算出相應的偏近點角E*和平近點角M*如下

(23)

式中，偏心率e根據當前飛行狀態(tài)(r,v,γ)由式(5)，(6)和(8)聯(lián)立計算。

首先使用水利普查基層登記臺賬管理系統(tǒng)菜單中的“對象清查清查瀏覽”功能，點擊業(yè)務分類的每一項，通過“導出EXCEL”功能，分別形成與Q201～Q803內容對應的24張瀏覽表，如表Q201（水庫工程）導出名為“VIEW_Q201_0.XLS”。為了避免數(shù)據的無序性和方便后面的操作，應在軟件中先按水利普查自動生成的編碼排序后再導出數(shù)據。

飛船在當前軌道上的平近點角和預測落點的平近點角差為

ΔM=M-M*

(24)

則預測的剩余飛行時間

(25)

式中，n是平均軌道角速度。將式(6)，(7)和(9)代入式(25)得

(26)

切向控制at用來減小飛船速度，消除落點速度偏差，故為

(27)

法向控制an用來改變飛船速度方向，即航跡傾角，消除落點位置偏差，故設計為

an=knΔα

(28)

式中，kn是負的常數(shù)，其物理意義是：如果預測落點超前期望落點，則通過法向推力“壓低”軌道，縮短射程；否則，通過法向推力“抬高”軌道，增加射程。

此階段結束的標志為：|f-f*|≤σ，其中，σ>0為預設的門限值。

2.3 基于近月面拋物線軌跡的制導階段

根據式(13)按照近月面拋物線軌跡飛行力學，得到剩余飛行時間

(29)

由此可預測落點位置

(30)

落點速度的預測仍可基于機械能守恒，易算出：

(31)

根據以上對三階段制導原理的描述，可將其綜合概括為圖4。

圖4 分段預測制導原理

3 仿真結果與分析

為了驗證所提出的預測制導律，對飛船軟著陸動力下降段進行仿真。

表1 仿真入口參數(shù)

表1中，h0,r0,α0,v0,γ0,m0是飛船在霍曼軌道近月點即動力下降初始點的狀態(tài)；xc是相應于αc的月表縱程，即落點縱程的期望值。

為了驗證本文預測制導的魯棒性，仿真中考慮了霍曼軌道近月點處飛船的速度偏差，即飛船在此點的實際速度相對于標稱值v0的偏差，用Δv0表示，其數(shù)值見表1，并且與基于燃耗最省的標稱軌跡制導仿真結果進行對比，仿真結果如圖5～10。

圖5 標稱初始條件下飛船下降軌跡

圖6 標稱初始條件下飛船質量變化曲線

圖7 初始速度偏差時飛船下降軌跡

圖8 初始速度偏差時飛船速度曲線

圖9 初始速度偏差時飛船航跡傾角曲線

圖10 初始速度偏差時飛船推力曲線

圖中,橫坐標x表示飛船在月表的飛行縱程。圖5～6為在標稱初始條件即在霍曼軌道近月點月表距15km、速度v0=1.69×103(m/s)下，基于標稱最優(yōu)軌跡制導和本文預測制導的仿真結果對比，可見前者落月位置誤差達351m(將優(yōu)化好的控制量時間序列代入飛行器動力學方程用龍格庫塔遞推得到)，而本文預測制導律僅為3.6m，但是前者燃耗僅為616kg，而本文預測制導燃耗為1080kg。圖7為存在初始速度偏差Δv0的情況下，基于標稱最優(yōu)軌跡制導和本文預測制導的下降軌跡，可見前者落月位置誤差達3.57km，而本文預測制導律落月位置誤差僅為5.8m。

圖8～9為存在初始速度偏差的情況下，基于本文預測制導的飛船速度、航跡傾角、發(fā)動機推力曲線，可以看出飛船在滿足推力限幅條件下以0.3m/s垂直落月，實現(xiàn)了軟著陸。

以上仿真結果表明，雖然基于燃耗最省的最優(yōu)標稱軌跡制導能節(jié)省動力下降段燃耗，但是其落月精度不如預測制導。特別是其對初始狀態(tài)攝動很敏感，較小的初始速度偏差即可導致較大的落月位置誤差。而本文預測制導有較強魯棒性，其落月位置仍然保持了很高的精度。本文基于解析預測的制導律相較于最優(yōu)標稱軌跡制導律，在計算資源消耗方面的優(yōu)勢就更明顯了。

4 結論

對月球軟著陸動力下降段制導控制方法進行了研究。首先對軟著陸過程進行了分析，簡化了下降段動力學模型，然后針對二維平面模型設計了預測制導算法，提出了基于落點位置偏差和速度偏差的閉環(huán)制導律。該方法所涉及的變量都能根據解析表達式計算，形式簡單，便于工程上快速在線實現(xiàn)。

數(shù)值仿真部分，在月球飛船動力下降有初始偏差的條件下，對本文所提預測制導方法和基于最優(yōu)標稱軌跡的制導方法進行了對比，結果證明了本文方法的優(yōu)勢。

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