不可能的阿羅

2月21日，一代經濟學大師肯尼斯·J.阿羅逝世，享年95歲。他最著名的阿羅不可能定理——又被稱為投票悖論——提出已經超過半個世紀，英國脫歐、特朗普當選，卻仍在現實世界反復印證它。

在大眾眼中，阿羅（Kenneth J.Arrow）的名氣可能遠遠不及凱恩斯、熊彼特、弗里德曼這些名字如雷貫耳，不過在經濟學界，阿羅毫無疑問被視為宗師級人物，他在經濟學的多個領域都做出了開拓性的貢獻，其涉獵領域之廣罕有人及。

如果以諾貝爾獎作為衡量一個學者成就的坐標，阿羅早在1972年就獲得了諾貝爾經濟學獎，時年51歲。甚至還有很多人認為，以阿羅在經濟學上的多項成就，他應該獲得3～4個諾貝爾經濟學獎。不僅如此，阿羅在哈佛大學和斯坦福大學任教期間，還有4位學生也獲得了諾貝爾經濟學獎，分別是1994年約翰·海薩尼（John Harsanyi）因為博弈論獲獎，2001年邁克爾·斯賓塞（Michael Spence）因為不對稱信息市場分析獲獎，2007年的埃里克·馬斯金（Eric Maskin）和羅杰·梅爾森（Roger Myerson），因為機制設計理論獲獎。

阿羅曾經寫過一篇自傳性文章，對自己的出生和成長背景做過簡要介紹：父母雙方的家庭都是外國移民，1900年左右來到美國。父親年輕時的事業順風順水，阿羅10歲之前的生活非常舒適，后來經濟大蕭條使得父親的事業一敗涂地，阿羅大概度過了10年左右一貧如洗的日子。

年幼的阿羅幾乎無書不讀，并被很多人認為天賦異稟。從高中開始，阿羅開始對數學與數理邏輯產生濃厚興趣。到了大學階段，阿羅進入紐約的城市學院（City College）就讀，考慮到自己感興趣的數學與邏輯等科目難以就業，阿羅選修了一些比較實用的課程，比如高中教學、保險精算以及統計學等，其中統計學對阿羅日后的經濟學生涯產生了決定性影響。

阿羅在1940年大學畢業后，并沒有找到心儀的工作，于是進入哥倫比亞大學攻讀統計學，師從當時的統計學大師霍泰林（Harold Hotelling），這成為阿羅日后在學術研究上騰飛的起點。在幾經比較之后，阿羅的博士論文最終確定為《社會選擇理論》（Theory of Social Choice），這在當時的經濟學界幾乎還是一個全新的領域，阿羅成為社會選擇理論這一學科最重要的開拓者。

從哥倫比亞大學畢業之后，阿羅繼續他在社會選擇領域的研究，1951年出版了《社會選擇與個人價值》一書，在書中他正式系統性地提出了“阿羅不可能定理”，這也是阿羅最著名的理論。

阿羅不可能定理又被稱為投票悖論。阿羅研究的目的是，民主投票是否可以實現最好的社會選擇？在阿羅之前，主流觀念認為民主投票通過累積個人選擇的偏好，可以在最大程度上實現社會選擇的最優化。而阿羅的研究證明了民主投票不可能實現社會選擇的最優，充其量只能實現次優甚至第三優。

在民主投票的過程中，為了準確體現個人投票的偏好，阿羅設定了幾個預設條件，其中最重要的一條是社會選擇必須是可傳遞的。也就是說，如果對A的偏好強于B，對B的偏好強于C，那么對A的偏好就必須強于C，這就是社會選擇的可傳遞性。其他條件包括非獨裁性，也就是集體決策不能是任何人獨裁做出；獨立性，也就是社會選擇不能以與個人選擇相反的方向改變等。

在預設條件之下，阿羅考察了多數人的投票方案，最后通過數學方法得出結論：依靠簡單多數的投票原則，要在各種個人偏好中選擇出一個共同一致的順序是不可能的。換而言之，通過集體投票的方式來對社會公共事務進行決策，不可能準確傳遞出民眾的真實意圖。1972年阿羅獲得諾貝爾經濟學獎時，瑞典皇家科學院的頒獎詞提道：“在阿羅對福利經濟理論所做的多種貢獻中，最重要的也許是他的不可能性定理，按照這個定理，在個人偏好函數范圍以外不可能編制社會福利函數。”

阿羅的不可能定理采用復雜的數學方法論證，不過還是可以用相對通俗的語言來解釋。有甲、乙、丙三人，對A、B、C三個公共事務投票，比如A代表修鐵路、B修公路、C代表修機場，或者其他類似的選擇。甲、乙、丙三個人做出的選擇是：

甲（A>B>C）；

乙（B>C>A）；

丙（C>A>B）。

如果在A和B之間比較，兩個人的投票顯示 A>B，只有一個B>A，按照多數原則，社會選擇對A的偏好大于B。如果在B和C之間比較，兩個人的投票顯示B>C，只有一個C>B，同理，社會選擇對B的偏好更大于C。

如果按照社會選擇的可傳遞性原則，如果社會選擇對A的偏好大于B，對B的偏好大于C，這就意味著對A的偏好大于C，也就是說C選項將會被淘汰。但是如果仔細對比甲、乙、丙三人投票中關于A和C的選擇，只有一個人選擇了A>C，但是有兩個人選擇了C>A。投票悖論由此產生。

阿羅的不可能定理提出至今已經超過了半個世紀，經濟學家和政治家們也都在不停反思如何對投票決策的民主程序進行改進，但似乎效果不彰，英國脫歐、特朗普當選等等屢屢爆發的“黑天鵝事件”，也都在現實世界反復印證阿羅不可能定理。

作為經濟學界的一代宗師，阿羅的成就并不局限于社會選擇理論，世人公認其對經濟學主要有三大貢獻，除了社會選擇理論之外，一般均衡理論和信息經濟學也是阿羅的主要成就所在。

阿羅在1972年獲得諾貝爾經濟學獎，主要成就其實并非為世人熟知的阿羅不可能定理，而是一般均衡理論。通俗而言，一般均衡就是指現實世界經濟體的運行都具有牽一發而動全身的聯系，決策者在做出一項決定時需要通盤考慮其連鎖反應引發的后果，進而實現一般均衡。阿羅曾經列舉過一個案例來解釋一般均衡：“30年代，由于得克薩斯州及波斯灣地區發現了石油，油價變得非常低廉。許多家庭在能源的消費上從煤改成石油，因此減少了對煤的需求，連帶也降低了煤礦工人的就業水平。煉油廠迅速擴張，雇用了更多的勞工。同樣地，由于煉油產生對煉油機器設備的需求，從而又導致對專業化學工程師以及鋼鐵的需求。油價便宜了，汽車的購買與使用也更為普遍。沒有鐵路經過但公路可到達的觀光地區，開始涌入大量的旅客，鐵路運輸卻開始衰退。每一項變動，都會引發其他的變化，而這些變化反過來又影響石油的需求與供給。”

一般均衡理論最早由法國經濟學家瓦爾拉斯（Leon Walras）在1874年率先提出，他提出了一般均衡的概念，并且認為市場中所有的價格和生產數量都可以調整到相互協調的水平。隨著經濟學和數學的不斷發展，以阿羅為代表的后來者開始有能力在技術上對一般均衡的存在予以論證，大概在上世紀50年代，阿羅和另外一名經濟學家幾乎同時獨立證明了一般均衡理論，二人聯合發表了研究成果，也就是阿羅―德布魯一般均衡模型。另外一名英國經濟學家希克斯同樣對一般均衡理論做出了開拓性研究，并且在1972年和阿羅攜手獲得諾貝爾經濟學獎。

值得一提的是，阿羅證明一般均衡理論和提出阿羅不可能定理時，才剛剛30歲出頭，阿羅的天才由此可見一斑。在完成了這兩大成就之后，阿羅的興趣轉向了信息經濟學，這成為阿羅對經濟學的第三大貢獻。阿羅的信息經濟學主要是針對不同經濟主體的信息差異，探討其經濟上的意義。阿羅認為經濟世界面臨很多不確定性，不確定就意味著成本，而信息的價值就在于降低了經濟世界的不確定性，因此信息也是經濟發展的重要要素之一。阿羅和喬治·斯蒂格勒等人成為信息經濟學領域的重要開拓者。

對于很多經濟學家而言，窮其一生能夠達到阿羅的某一項成就，就已經足以稱得上大師，但是阿羅除了社會選擇、一般均衡和信息經濟這三大成就之外，在經濟增長、證券定價、醫療保險等領域也都做出了杰出貢獻。在經濟學的歷史上，阿羅儼然就是一個不可能的存在。