基于稀疏高頻雙字典的磁共振成像超分辨率重建法

陳佳文

摘 要 針對磁共振成像（MRI， Magnetic Resonance Imaging）分辨率低且成像掃描時間長的特點，為了優化重建圖像紋理細節的質量，在現有的稀疏表示的方法基礎上，提出了一種基于高頻稀疏雙字典的磁共振成像超分辨率重建法。首先，在離線訓練雙字典階段，運用稀疏表示的算法思想，提取出用于字典學習的高分辨率圖像塊和殘余高頻圖像塊，運用正交跟蹤方法結合迭代使稀疏系數逐漸趨于收斂。然后，對低分辨率圖像通過一次稀疏字典學習得到初始高分辨率圖像，再提取出高頻（HF， High Frequency）邊界或紋理細節區域，根據稀疏高頻字典對進行二次重構。實驗結果表明，本文算法不僅豐富了磁共振成像紋理細節，使主觀視覺效果明顯提升，在客觀指標峰值信噪比（PSNR）和均方根誤差（RMSE）也有一定程度的改善。

【關鍵詞】超分辨率重建 磁共振成像 字典訓練 稀疏復原 機器學習

磁共振成像（MRI）是目前最重要的臨床醫學診斷工具之一，它具有無射線損傷、多參數成像、任意方位斷層等成像優勢。故自上個世紀80年代發展以來，很快得到廣泛應用，有著良好的發展前景。然而囿于當前硬件技術的限制，無法在較短的掃描時間內獲取滿足要求的高分辨率圖像；同時，考慮到成像儀器如發射線圈、接收線圈和磁體以及外界環境干擾等，不可避免會引入噪聲，因此超分辨率技術應運而生。圖像超分辨率的主要思想是由兩幅或更多幅同樣場景的低分辨率（LR）圖像重建出對應的高分辨率（HR）圖像；具體來講，就是運用某種算法，將連續序列分辨率低并包含噪聲的圖像融合以得到一個更加清晰的高質量MRI影像。

稀疏表示理論作為一種新興的一種基于學習的算法，旨在由過完備字典擴充的全部向量空間根據稀疏度大小作為標準尋找最優解，近年來在圖像處理相關領域應用廣泛，如人臉模式識別、圖像降噪、壓縮感知等，均展現了優良的性能。

由于MRI在后期分析或者圖像后處理，如匹配或者多通道分割，所獲得的低分辨率圖像必須與其他高分辨率圖像進行匹配，所以必須盡可能保證采集圖像的高頻信息不丟失。本文在稀疏表示算法上加以改進，針對其有時重建圖像時，主觀視覺效果不佳，存在的高頻邊界不豐富、紋理細節區域濾波過度等問題，提出一種針對性地處理架構，即利用一次重建的高頻殘余繼續進行二次字典學習最后再得到超分辨率結果，并選取了人體各部位的MRI作為實驗驗證了算法的可行性。

1 離線字典訓練

基于字典學習的算法在圖像重建方面已得到廣泛應用，如K空間域的MR圖像重建，對于一般用途的圖像，根據字典的一次重建已經可以基本滿足需求。但對于分辨率和精度要求很高的MRI圖像，由于需要對重建的結果繼續進行二次分割或者匹配等操作，一次重建結果的分辨率往往不能滿足要求。針對這種特性，本文在一次稀疏字典學習的基礎上提取出重建圖像的高頻細節圖像塊作為高頻殘余訓練庫，以此為基礎進行二次字典訓練得出殘余字典對，以提高超分辨率重建效果。

（1）原始訓練庫：把采集到的原始高分辨率MRI影像庫H_1經過下采樣壓縮后得到低分辨率影像庫L_1，經過插值放大后恢復到與H_1相同的圖像尺寸，得到原始低頻訓練庫L_1F，但L_1F與H1相比濾掉了高頻細節部分。同理，與H_1、L_1平行的另一組高、低分辨率圖像訓練庫記為H_2、L_2，由壓縮降質的L_2經過插值放大得到對應的低頻信息庫L_2F，去掉了H_2的高頻信息。

（2）圖像塊提取：為了得到字典學習階段的圖像塊，我們需要提取出這些塊的特征信息表示。考慮到算法的簡潔性和高效性，本文利用一階和二階梯度因子進行這些特征的提取，將4個濾波器分別設置為：

，將這4個濾波器作用于原始低頻訓練庫L_1F的圖像塊，每個圖像塊得到4個特征向量后，再將這4個向量合成為1個最終表示向量。

1.1 一次稀疏字典訓練

對高分辨率字典Ch和低分辨率字典Cl采用了相同的原始高分辨率庫X={x1，x2，...，xm}，并由降采樣得到相應的低分辨率訓練庫Y={y1，y2，...，ym}。由于字典訓練過程涉及到對稀疏表示系數β多次迭代運算，為了提高效率，我們僅先求得低分辨率的稀疏系數。

由上面的基本原理部分，訓練低分辨率字典基于下面的約束方程：

其中τ為初始基字典，ξ為訓練塊的稀疏表示矩陣，Cl為稀疏字典，q表示ξ的向量稀疏性，利用K-SVD算法求解此約束方程。類似地，針對高分辨率字典有以下約束方程：

1.2 二次高頻殘余字典訓練

將用稀疏字典Ch學習得到的一次重建圖像庫與原高分辨率圖像庫H_2作比較得到殘余的高頻邊界或紋理細節區域，同理將這部分高頻圖像庫繼續稀疏表示訓練，不斷迭代直至稀疏系數收斂后得到二次高頻殘余字典Chr，Clr。

2 超分辨率圖像重建

結合1中的稀疏表示原理，高分辨率圖像X中的每一塊xi，可依據得到。需要注意的一點時，在具體應用時應考慮到觀測圖像本身存在噪聲的影響，那么類似地，這個待解決的問題轉變為：

F對應1-2）中的特征提取操作因子。顯然這就是1中所述的NP問題的求解，化為一范數就是凸優化問題：

上式采用OMP（Orthogonal Matching Pursuit）算法求解，從而得到βi，這些高分辨率塊便組成了目標圖像X。

3 實驗結果及分析

本文對利用雙三次卷積（Bicubic）算法、Yang算法和本文算法得到的MRI圖像超分辨率效果進行了比較。針對實驗結果，主要從主觀、客觀（PSNR）兩個方面進行評估。其中，實驗測試所用大腦部位MRI圖像由John Reeves Hall提供由于MRI圖像一般體積較為龐大，首先選取局部并劃分為256×256的二維高分辨率圖像塊，再分別對每個維度進行2倍降質壓縮得到測試用的低分辨率塊；然后將壓縮后的圖像放大為2倍，令其每個2×2的圖像塊，相應為4×4的高分辨率塊，采用塊間最大重疊方式。

3.1 主觀比較

從圖1可以看出，采用雙三次卷積（Bicubic）算法存在過度平滑的缺點，很大一部分模糊不清；Yang算法雖然較Bicubic有較大程度的改善，但在紋理復雜區域細節不夠豐富，人眼觀察同樣受到制約。經過綜合比較，本文算法得到的結果相對是最清晰的，與原圖相比失真度最小。

3.2 字典大小對超分辨率效果的影響

由于隨機抽取圖像塊、訓練字典得到Ch，Cl的過程耗時很長，為了盡可能減少用時，我們繼續探究了字典大小對超分辨率重建效率的影響，以期用最小的時間復雜度得到盡可能小的失真度、清晰的高分辨率MRI圖像。

由圖2可以看出，當字典容量在1000以下時，隨著字典容量的增加，PSNR也隨之顯著增加；但當字典大小超過1000時，PSNR的增加開始逐漸放緩，而此時已經犧牲了大量的時間復雜度，所以，將訓練字典容量大小維持在1000左右是優化的選擇。

4 結語

本文所介紹的算法將稀疏表示應用于MRI圖像超分辨率重建。通過離線訓練首先獲取高、低分辨率圖像塊的字典對，再對插值放大的低分辨率圖像進行一次超分辨率重建，得到原始高分辨率圖像；然后提取圖像中高頻細節重構不充分的部分，利用經高頻細節學習的字典對，繼續針對高頻細節部分進行二次重建。實驗結果說明本文基于稀疏高頻雙字典的重建方法，在主觀視覺效果、客觀評估指標結構相似性和峰值信噪比這三個方面均優于傳統插值方法和Yang算法。證明這種基于二次字典學習的稀疏表示方法有較好的MRI圖像超分辨率效果，能較好地重構高分辨率圖像的細節信息。為后續處理和信息挖掘鋪墊了堅實的基礎。

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作者單位

四川大學電子信息學院 四川省成都市 610065