對初中數(shù)學(xué)實踐操作性題型的探究

李小兵

摘要：素質(zhì)教育越來越重視對學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和解決問題能力的發(fā)展性評價，要使學(xué)生真正做到學(xué)以致用，學(xué)有所用。

關(guān)鍵詞：素質(zhì)教育 實踐操作性試題 思考能力 解題能力

實踐操作性試題逐漸成為中考命題的熱點，特別是近些年各地數(shù)學(xué)中考的壓軸題都是以這類題型為主。根據(jù)泉州市的《考試說明》，我們更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“雙基”的結(jié)果與過程，重視對學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和解決問題能力的發(fā)展性評價，我市中考數(shù)學(xué)命題也更多地立足于“能力立意”，體現(xiàn)“過程的教育”理念，倡導(dǎo)在“過程”中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和應(yīng)用意識，回歸本源、強(qiáng)化課堂、培養(yǎng)思維。

題目來源于：南安市2013—2014學(xué)年度上學(xué)期初中期末教學(xué)質(zhì)量抽查初三數(shù)學(xué)試題，第26題，作為一個壓軸題，本題不僅考查了數(shù)形結(jié)合思想，還考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，考查了運動變化思想、分類討論思想等。首先，本題有著很明確的操作程序，工具簡單，因此，如果學(xué)生在解題的過程中能拿相應(yīng)的工具進(jìn)行操作，則會有不錯的效果及收獲。

本題的第一步是填寫PC與PD兩線段的大小關(guān)系（如圖1），答案并不是所有學(xué)生都能在看了一眼之后就能填定出來的。對于學(xué)習(xí)好的學(xué)生來說，第一步可能不會有什么問題的，但底子差的學(xué)生就很會感覺到這題是很有難度的，所以尋找合適的解決辦法就相當(dāng)關(guān)鍵了。有個別學(xué)生跟我說，我是用尺子量了，看著它們是差不多長的，所以填了“等于號”了。對于此情況，我給予肯定的回答，思路是正確的。相對來說，在這些考試中，圖形準(zhǔn)確性更高些，有時候可以通過最簡單的方式去得到一個推測的結(jié)果，這也是解決問題的一個方向。我們再圍繞著這個結(jié)果展開思考，就可以找到解決問題的路了。數(shù)學(xué)就是要鼓勵學(xué)生學(xué)會進(jìn)行假設(shè)的，再進(jìn)行證明。

要證明兩線段的相等，就尋找解決這個問題的方法。在證明線段相等的方法中，常用的方法主要有：1、這兩線段是全等三角形的對應(yīng)邊，2、是等腰三角形的兩腰（等角對等邊），3、它們都等于第三條線段（轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)換），4、它們表示角平分線到角兩邊的距離，5、它們表示線段垂直平分線到線段兩端的距離。而這些方法中以方法1更為常見，也相對更容易理解。學(xué)生在尋找解決方法的同時，也要分析著題中所包含的條件，以尋找合適的解決方案。當(dāng)題目可以用多個可選解決方案時應(yīng)該先用自己熟悉的方式方法進(jìn)行思考。

綜合分析題目的已知條件，可以提供的只有一個直角的角平分線，所以，在以上的幾個方法中，證明三角形的全等可以說是一個不錯的選擇，可三角形在哪兒呢？在解決問題的過程中，有時添輔助線是必不可少的。構(gòu)造出對我們解決問題有幫助的三角形來是很有必須的。構(gòu)造的要點：這兩個三角形要有些元素是相等的，如邊或角，同時還應(yīng)該讓我們需要證明相等的兩線段是作為對應(yīng)邊出現(xiàn)的。因此，學(xué)生要仔細(xì)分析題中可以用的條件，即明說或是暗示的相等條件，并找出這些條件對于我們的幫助是什么。本題中出現(xiàn)的有關(guān)于相等的條件只有一個，那就是角平分線，作用是什么呢？1、角被平分，產(chǎn)生兩角相等，2、角平線上的點到兩邊的距離相等。本題的證明就是利用角平分線上的點到角兩邊距離相等這一定理構(gòu)造出兩個三角形，從P點作角兩邊的垂線段，從而產(chǎn)生了兩個直角三角形，又讓PC、PD作為對應(yīng)邊出現(xiàn)，這離我們證明三角形全等所需條件就差不多了，只要再稍加尋找相應(yīng)條件便可以解決。

第2題的難度相對較大，這是個動點問題，只要能緊扣不變量，動中取靜，找出哪些量或關(guān)系始終不變的，便能很好地解決問題了。這個也是解決所有動點問題的關(guān)鍵，如果思路老跟著動點到處跑，那肯定是沒辦法解決的。同時還要善于使用前題所采用的方法或結(jié)論。

我是這樣講解此題的，讓學(xué)生按題目的要求，操作三角板，找出可能出現(xiàn)的結(jié)果。其中，特別注意加點的字，即“直線”O(jiān)A。因為直線與射線的差別，結(jié)果的數(shù)量可能就產(chǎn)生變化了。操作過程中即可直觀地發(fā)現(xiàn)，符合情況的結(jié)果可能有兩個，第一個為D點在。點的右邊，第二個為D點在。點的左邊，結(jié)合這兩個結(jié)果畫出圖形并進(jìn)行詳細(xì)分析。

第一種情況：D點在。點的右邊（如圖2），同時以P，C，E為頂點的三角形與△OCD相似時，即讓APCE∽△ODC。由此可得，OC=OE=1，則所求的OP即可看成APCE的斜邊上的中線，故CE=20P，OP=1。

第二種情況：D點在。點的左邊，即PD與邊OB的反向延長線相交（如圖3）。

此情況對于學(xué)生來說較難人手，OP似乎不容易算出來，所以，此時應(yīng)該有個清楚的思路，將OP轉(zhuǎn)移出來，用一條更容易計算的線段來進(jìn)行代替，或是找出有相關(guān)的線段來代替。

如圖3。過P作PH⊥OA，PN⊥OB，目的是構(gòu)造出全等的三角形，以達(dá)到對線段的轉(zhuǎn)移的目的。

由APCE與ΔOCD相似，可以推導(dǎo)得到∠PCE=∠OCD；

RIAPHC和RtΔPND中，有∠PCE=∠PDN（等角的余角相等可得），PH=PN，

所以RtAPHC≌RtAPND（A.A.S.），可得：PC=PD，CH=DN。

由此可得：∠PCO=∠DCO=∠PDO=22.5°

又/BOM=∠ODP+∠OPD=45°

∴∠ODP=∠OPD=22.5°

∴OP=OD，

目的：要計算的OP就轉(zhuǎn)化到直角三角形的邊或是邊的一個組成部分，CH=CO-HO，DN=DO+ON=OP+ON，接下來只需設(shè)OP=x，便可解出答案來。

在題目中尋找多解的信息圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個令考生頭痛的問題，讓他們動起手來，他們在動的過程中進(jìn)行思考分析，即可尋求相應(yīng)的結(jié)果，做到不重不漏。

本題第2小題的難度比較大。出此題的本意應(yīng)該是要用來區(qū)分尖子生與一般的優(yōu)秀生，但就結(jié)果來看，學(xué)生思考此題的過程中是遇到了不少困難。動點問題的思考方法應(yīng)該讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中自主思考，主要是注重思維的鍛煉，否則，再遇到動點問題，學(xué)生依舊是毫無頭緒。

本題為初三上學(xué)期的期末考試內(nèi)容，學(xué)生還未接觸圓的相關(guān)知識，否則學(xué)生還可以通過圓的弧弦對應(yīng)關(guān)系等知識解決，甚至能更簡單的，學(xué)生的思考上也會有更多的選擇和方向。