處于靜態(tài)中帶電導(dǎo)體電荷分布概率的計(jì)算

徐衛(wèi)星

摘 要

為了能夠了解導(dǎo)體內(nèi)電荷的分布概況，利用麥克斯韋方程組中電場積分式，令其電場強(qiáng)度與閉環(huán)回路（或封閉空間）的積分和為零的理念，建立坐標(biāo)模型和數(shù)學(xué)模型進(jìn)行運(yùn)算求得分布概率結(jié)果所采用的一種方法。

【關(guān)鍵詞】麥克斯韋方程積分式 導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度處處為零 電荷分布概率

導(dǎo)體中電荷的分布與改變和外布電場的強(qiáng)弱與變化是一對統(tǒng)一的理論體系。電荷的分布是產(chǎn)生電場分布的根源，而電場反過來左右電荷的分布，是一對立的統(tǒng)一體。因此對電荷分布的研究與對電場的分析具有相同的重要意義。

當(dāng)導(dǎo)體中存儲(chǔ)電荷處于穩(wěn)定時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部處處電場力的和應(yīng)為零。否則有任何電場的存在都會(huì)引起電荷的移動(dòng)（重新分布）。我們利用麥克斯韋方程組中電場積分式令其等于零，即

來建立數(shù)學(xué)模型或公式計(jì)算出電荷的分布概率。

1 為了更好地理解這種方法先闡述幾個(gè)基本概念

1.1 測試電荷點(diǎn)

測試電荷點(diǎn)q是指在帶電導(dǎo)體內(nèi)靜態(tài)下，測量某點(diǎn)處電場大小、方向的電荷。其電量小到不影響此處的電場狀態(tài)。其方向是q為正時(shí)順勢而下（電場箭頭的方向）；q為負(fù)時(shí)逆勢而上（電場箭頭的反方向）。

1.2 庫侖定律

。其中Q1、Q2為兩個(gè)電荷體的電荷量；l為Q1Q2之間距離；k為庫侖常數(shù)。

1.3 麥克斯韋方程積分式

或原式是說明在任何平面環(huán)路和電場積分與本環(huán)內(nèi)磁場變化率的關(guān)系或任何封閉的空間電場通量與所含電荷量的關(guān)系。我們利用電場的積分式并令其在導(dǎo)體中某點(diǎn)等于零（導(dǎo)體是有限的封閉空間），根據(jù)庫侖定律

；f（ρ）為分布體密度函數(shù)、

；f（σ）為分布面密度函數(shù)、

；f（x）為分布線密度函數(shù)。并且導(dǎo)體內(nèi)處處應(yīng)為零，計(jì)算出電荷的分布概率。

1.4 容余電荷

導(dǎo)體本身是存有正負(fù)電荷元素，而容余電荷是在正負(fù)電荷失去平衡或電勢不為零時(shí)產(chǎn)生出電場的多余電荷。所以容余電荷或者是正電荷或者是負(fù)電荷。

2 為了驗(yàn)證一下應(yīng)用效果下面舉幾個(gè)簡單的例子

2.1 例1：一根極細(xì)而有限長帶電導(dǎo)線軸向的電荷分布概率

如圖1，在一根長度為b容余電荷量為Qs的細(xì)導(dǎo)線上，在無任何電磁干擾的理想環(huán)境下，忽略其徑向因素，只考慮軸向電荷分布概率。為了運(yùn)算方便和結(jié)果比較，將b分別分為3段、4段、5段、6段、7段、19段。每段平均分為2個(gè)△長，每2個(gè)△之間分別設(shè)定電荷點(diǎn)Q1、Q2、Q3等，其電量分別是其所處2個(gè)△所儲(chǔ)電量和Qi=2△σi（i=1、2、3…n），

（σi線密度；n為分段數(shù)）。每兩個(gè)電荷點(diǎn)之間設(shè)定測量點(diǎn)q1、q2等，根據(jù)庫侖定律和麥克斯韋方程組中電場積分式，可以看出實(shí)際上每處測試點(diǎn)左邊電場強(qiáng)度與右邊的和為零時(shí)，任何軸向閉環(huán)積分和必定為零。因此建立各測試點(diǎn)電場強(qiáng)度為零的數(shù)學(xué)模型即方程組與Qs函數(shù)關(guān)系式。

2.1.1 當(dāng)b分為3段時(shí)數(shù)學(xué)模型如下：

因在同一介質(zhì)中庫侖比例系數(shù)K為同一值，約去k、q、△求得方程組的解

2.1.2 如圖2，當(dāng)b分為4段時(shí)數(shù)學(xué)模型如下：

約去k、q、△求得方程組的解

2.1.3 如圖3，當(dāng)b分為5段時(shí)數(shù)學(xué)模型如下：

約去k、q、△求得方程組的解

2.1.4 如圖4，當(dāng)b分為6段時(shí)數(shù)學(xué)模型如下：

約去k、q、△求得方程組的解

2.1.5 如圖5，當(dāng)b分為7段時(shí)數(shù)學(xué)模型如下：

約去k、q、△求得方程組的解

圖6、圖7為正、負(fù)電荷7段的分布概率。

2.1.6 如圖8，當(dāng)b分為19段時(shí)求得方程組的解如下：

2.2 例2：一根極細(xì)一端有端頭一端無限長的帶電導(dǎo)線在端頭處的電荷分布概率

如圖9，在無任何電磁干擾的理想環(huán)境下，導(dǎo)線上儲(chǔ)存有電荷Qs。忽略其徑向分布情況，只考慮軸向分布概率。

設(shè)端點(diǎn)為A，從點(diǎn)A向另一端劃分出若干個(gè)極小間距△，在每兩個(gè)△中間設(shè)定點(diǎn)電荷 Q1Q2Q3等每個(gè)Q代表這兩個(gè)△的電量和Qi=2△σi（i=1、2、3…）。在每兩個(gè)Q中間設(shè)定點(diǎn)測試點(diǎn)q1q2q3等，在只考慮軸向時(shí)，每個(gè)測試點(diǎn)左右側(cè)的電場強(qiáng)度和應(yīng)為零。即軸向環(huán)路必為零。

根據(jù)庫侖定律在q1點(diǎn)處建立數(shù)學(xué)模型：

（i=1、2、3…） （ 約去k、q、△）得

而且Qs越大

越大Q1與Q2差值也越大。從例1的運(yùn)算結(jié)果得知兩個(gè)端頭的電荷密度向中心是逐漸遞減的。類似于本例題A端向另一端的電荷密度同樣也是遞減的。只不過將例1中b的長度無限延長了一端。

2.3 例3：一個(gè)無根大的理想帶電平面中心范圍的電荷分布概率

如圖10，在無任何電磁干擾的理想環(huán)境下，在一個(gè)無根大的理想平面上分布有密度為σi的容余電荷，處于靜態(tài)時(shí)在中心范圍內(nèi)確定任意兩個(gè)點(diǎn)A、B，沿AB兩點(diǎn)畫一條向兩邊無限延長的直線。根據(jù)麥克斯韋積分式沿此直線軸向閉環(huán)與電場強(qiáng)度積分應(yīng)為零。設(shè)分別以AB為圓心

為半徑畫兩個(gè)圓，由于非常小可以把兩個(gè)圓看成兩個(gè)點(diǎn)電荷。根據(jù)庫侖定律，則AB中間點(diǎn)的電場強(qiáng)度應(yīng)為：

其中：q為測試電荷點(diǎn)；σi為單位面積電荷密度；r為直線及其延長線的距離；σAi為A邊直線上電荷密度；σBi為B邊直線上電荷密度；A-B為A到B的距離；k為庫侖常數(shù)。

運(yùn)算（1）式得：

由于無限大平面中的電荷是連續(xù)分布的、無間斷點(diǎn)。由例1得知σAi=σBi，因此σA=σB。

充分性：由于AB點(diǎn)可任意確定中心范圍的每個(gè)點(diǎn)和各個(gè)方向。因此，中心范圍的電荷密度值是一樣的。

必要性：在平面上AB中間點(diǎn)處的電場強(qiáng)度會(huì)不會(huì)受到除此直線以外任何其它電荷的影響呢？肯定是不會(huì)的。因任何一處除直線以外電荷的作用，都可以找到以AB中間點(diǎn)為圓點(diǎn)的對稱點(diǎn)處電荷的作用，大小相同、方向與前一處電荷作用向反。在AB中間點(diǎn)處影響力為零。

3 結(jié)論

經(jīng)過幾個(gè)簡單例子運(yùn)算結(jié)果和分析得知：

（1）對一根長度有限的帶電細(xì)導(dǎo)線電荷密度計(jì)算通過表1看出：

a.有限長線段電荷分布概率是兩邊密度大于中心。

b.有限長線段電荷分布概率是兩邊對稱的。

c.與儲(chǔ)存電荷Qs有關(guān)系；與b的長度有關(guān)系。

d.△越小分段越多越精準(zhǔn)化兩端電荷密度值越高，中間越平緩。

此外，在電荷進(jìn)行交流時(shí)變時(shí)，兩頭的電荷量和電場變化最大，其磁場變化也最大，非常適合電磁信號的發(fā)射。如過去軍用便攜式步話機(jī)的天線就采用叉開線段狀導(dǎo)體。并且接收信號天線的采集信號點(diǎn)都處于端頭。

（2）對一根一端有端頭一端無限長的帶電細(xì)導(dǎo)線計(jì)算得知，在端頭處的電荷密度最高。而且?guī)щ娏縌s越大會(huì)更高。而避雷針接入大地的原理，就是利用地球巨大的Qs使針頭的電荷密度及其電場強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它地方，從而起到引雷電入地的作用。

（3）無限大理想平面帶電導(dǎo)體中，在無任何電磁干擾下，中心范圍電荷密度值處處相同。這與帶電平板電容中心區(qū)域電場強(qiáng)度值處處一樣是一致的。

從上述的運(yùn)算結(jié)果和現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用的吻合程度，說明此方法是能夠表述導(dǎo)體中靜態(tài)電荷的分布概率。

有不對之處請多提建議。

參考文獻(xiàn)

[1]迪派克（Dipak，L.S）唯迪斯（Valdis，V.L）著；沈遠(yuǎn)茂等譯.應(yīng)用電磁學(xué)與電磁兼容[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009.

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[3]張洪欣，沈遠(yuǎn)茂，韓宇南.電磁場與電磁波[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.

作者單位

北京北方長城光電儀器有限公司 北京市 100053