電磁場課程設計中WLP—FDTD算法探索

陳偉軍++劉如軍

摘 要

時域有限差分法是電磁場與電磁波中最經典的一種數值仿真方法，應用該方法對電磁場的分布和電磁波的傳輸進行計算和仿真，使得抽象的概念直觀化，有助于學生對電磁場與電磁波教學內容的學習。本文介紹一種無條件穩定的快速時域方法-基于Laguerre多項式的時域有限差分方法，該方法沒有時間穩定性條件的限制，特別適合于計算包含有多尺度復雜結構的電磁特性問題。

【關鍵詞】多尺度 電磁場 加權Laguerre多項式 時域有限差分法 無條件穩定

電磁場與電磁波是電子信息類專業本科生必修的一門專業基礎課，該課程比較抽象、難以理解，并包含大量復雜的數學公式推導，尤為復雜的是電磁場的數值計算問題。本科教學中常介紹的電磁場數值計算方法有矩量法、有限元法和有限差分法。

隨著計算電磁學的快速發展，許多新的數值計算方法涌現，為本科階段電磁場數值計算的教學帶來了較大的挑戰。本文介紹計算電磁學領域中一種新的無條件穩定的快速時域數值計算方法——基于加權Laguerre多項式（weighted Laguerre polynomials， WLPs）的時域有限差分（finite-difference time-domain， FDTD）方法——的基本原理及應用。把該方法引入到電磁場課程設計中，豐富和發展了學生對電磁場知識的理解，能有效提高學生的能力水平。

1 WLP-FDTD算法的公式體系

利用加權Laguerre多項式作為時域基函數展開電場分量和磁場分量，代入時域Maxwell旋度方程中，在空間域實行二階精度的中心差分，在時間域采用Galerkin方法，并利用加權Laguerre多項式的正交性消除時間變量，可以得到WLP-FDTD算法的計算公式。為了較簡單的把WLP-FDTD算法的公式體系表達清楚，一維簡單、無耗、均勻媒質中，TEM波的時域Maxwell方程表示為：

其中，ε表示介電常數，μ表示磁導率。使用加權Laguerre多項式作為時域基函數，式（1）和（2）中的電場和磁場分量可以展開為：這樣，原本是與時間和空間有關的電磁場分量變換成在與時間有關的函數和與空間有關的函數的乘積，有效地實現了時間和空間地分離 。電場和磁場分量對時間的一階偏導數為

把式（3）-（6）代入式（1）和（2）中，并在兩邊同時乘以權函數，并在區間積分，可以得到

其中，，Tf為激勵源時域波形可持續的時間。按照Yee網格劃分把式（7）和（8）離散化，并整理后得到

其中，Δzk表示電場或磁場沿z分量所處網格的邊的長度，一維TEM波的電磁場分布如圖1所示。

式（9）和（10）中不包含時間變量，電場和磁場變量之間是隱式關系。為了消除磁場分量，將式（10）代入式（9）中，可以得到

其中a=εμs2。仔細觀察式（11），可以發現每一個電場分量與其鄰近的2個電場分量有關并構成隱式關系，如圖1所示。同時，等式左邊的電場分量都是q階的，而等式右邊除了激勵源是q階的以外，電場和磁場分量都小于q階?？梢园咽剑?1）寫成矩陣方程的形式

其中，{Eq}={Eay}T，{Jq}={Jay}T，{βq-1}是與電場和磁場有關的0階到q-1階所有項的求和。WLP-FDTD算法中電場變量之間是成隱式關系的，并產生了一個大型稀疏系數矩陣[A]。這個系數矩陣[A]與加權Laguerre多項式的階數無關，故矩陣方程（12）的求解可以僅對系數矩陣[A]只進行一次求逆或通過LU分解，然后按階數步進求解。

通過按照階數步進求解矩陣方程式（12），每一階時域基函數的系數可以計算出來，即電場和磁場的展開系數。從式（3）和（4）可以得到時域電場和磁場分量的數值解

其中，N表示準確表征電場和磁場所需要的階數。

2 階數N選取的方法

假設實際信號在頻域上的頻帶寬是B、時域信號的持續時間是Tf，時域信號P（t）可以通過傅里葉級數表示

其中，ω0=2π/Tf。由于P（t）是實數，，*表示共軛轉置。如果P（t）的頻域帶寬是B Hz，u的值可以表示為：

因此，可以得到

在式（17）中，P（t）的展開系數有2BTf+1項。這樣，選取加權時域基函數的最大階數可以是：

即，為了完整精確地表征時域信號P（t），加權Laguerre多項式的階數至少要有2BTf+1階。

在時域計算電磁特性問題時一般采用調制高斯脈沖，其表達式是

其中，，。若取fc= 5×1010Hz，Tf=4×10-9s，則式（19）所表示的時域波形的頻域帶寬可以由傅里葉變換得到B= 5×1010Hz。根據（18）可以計算出NL=41。

3 仿真實例

在這里，采用WLP-FDTD算法模擬計算電磁波的傳播。傳播距離為4m，傳播時間Tf =3ns。整個計算區域劃分為400個網格，每個網格的長度是0.25cm。采用正弦調制高斯脈沖作為入射電流激勵源，其表達式與式（27）相同。其中，Td=1/（2fc），Tc=3Td。我們選擇fc=1GHz，Tf=3ns，時間尺度因子s=3.7699×1010，步進階數N=36。

圖2表示分別在源點、距源點5cm處和距源點12.5cm的時域波形。從圖中可以看出，電磁波在傳播的過程中波形保持一致。

4 結束語

本文所表達的方法作為一種新的無條件穩定的快速時域算法可以作為本科電磁場課程設計，能有效幫助學生充分理解電磁場，提高學生對電磁場的知識水平，并對幫助本科學生理解電磁場的數值計算具有一定的參考意義。

參考文獻

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作者簡介

陳偉軍（1979-），男，湖南省益陽市人。博士學位。現為嶺南師范學院信息科學與技術學院講師。研究方向為計算電磁學。

作者單位

嶺南師范學院信息科學與技術學院 廣東省湛江市 524048