基于Tikhonov正則化與模型減縮技術(shù)的虛擬迭代載荷反求

張邦基+周守玉+謝慶喜+張農(nóng)

摘 要：將模型減縮技術(shù)應(yīng)用于動(dòng)態(tài)響應(yīng)的求解，基于Tikhonov正則化載荷反求方法， 在迭代過程逐步修正載荷信號，使系統(tǒng)的響應(yīng)逼近期望響應(yīng)信號，最終精確反求出載荷信號.算例表明，該方法相對于傳統(tǒng)Tikhonov方法，既保留了良好抗噪特點(diǎn)，同時(shí)又提高了峰值載荷處的反求精度，從而使得整體反求精度更高.

關(guān)鍵詞：載荷反求；正則化；虛擬減縮；迭代方法

中圖分類號：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Load Identification of Virtual Iteration Based

on Tikhonov Regularization and Model Reduction

ZHANG Bangji，ZHOU Shouyu， XIE Qingxi，ZHANG Nong

（State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body，Hunan University， Changsha 410082， China）

Abstract： The model reduction technique was applied to solve the dynamic response. In order to make the system show the actual responses of the expected signals， the iteration procedure was then used to modify the load signals based on Tikhonov regularization load identification. Furthermore， the accuracy of the load signals was identified. The comparison of the proposed method with the traditional Tikhonov method shows that the proposed method can retain a good anti-noise characteristic， and improve the precision of load identification. The accuracy of the load identification by the proposed method is much higher than that of the traditional method.

Key words：load identification； regularization； virtual reduction； iterative methods

工程振動(dòng)問題備受關(guān)注，結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)載荷的精確獲取可為工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析、疲勞分析等提供基礎(chǔ)，然而因經(jīng)濟(jì)性或技術(shù)條件的限制，許多情況下載荷難以通過直接測量的方式獲取，如汽車車身所受的激振力、輪船行駛時(shí)受到的波浪式?jīng)_擊載荷等.因此利用載荷反求方法間接獲取激振載荷具有重要意義.

載荷反求是通過系統(tǒng)響應(yīng)和振動(dòng)特性來反求結(jié)構(gòu)所受載荷，是動(dòng)力學(xué)第二類反問題[1].國內(nèi)外學(xué)者針對動(dòng)態(tài)載荷反求的理論和技術(shù)研究做了很多工作[2-4].傳統(tǒng)的反求方法有時(shí)域法與頻域法兩大類[5]，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，遺傳算法[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7]等新方法被應(yīng)用于載荷反求領(lǐng)域.Kim等人[8]利用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)關(guān)系構(gòu)建載荷反求動(dòng)力學(xué)方程，通過頻響函數(shù)求逆法進(jìn)行載荷反求，用奇異值分解法（SVD）改善頻響函數(shù)求逆過程中的矩陣病態(tài)問題；Choi等人[9-10]運(yùn)用最小二乘的Tikhonov正則化方法解決矩陣的病態(tài)問題，在提高載荷反求結(jié)果穩(wěn)定性與抗干擾性方面效果良好，并對比分析了不同正則化參數(shù)選擇方法對載荷反求精度的影響.國內(nèi)在正則化反求法方面做了很多研究[11-13]，其中應(yīng)用較廣的是Tikhonov正則化反求法.郭榮等[14]綜合運(yùn)用Tikhonov正則化與奇異值分解的反求方法，有效提高了結(jié)構(gòu)載荷反求精度.

然而Tikhonov等正則化反求法存在其自身的缺陷，由于該方法對反求載荷有平滑的作用，導(dǎo)致在響應(yīng)測試噪聲水平較高，或者系統(tǒng)線性程度不高的情況下，在反求信號的峰值處將很難得到較好結(jié)果[12].對此，結(jié)合文獻(xiàn)[15]中室內(nèi)試驗(yàn)臺(tái)架驅(qū)動(dòng)文件生成方法，提出新的載荷反求方法.其基本流程是，將Tikhonov正則化所反求的載荷重新激勵(lì)系統(tǒng)，將獲得的響應(yīng)與真實(shí)期望響應(yīng)對比，通過誤差反饋補(bǔ)償來逐步修正Tikhonov正則化反求法所得到的載荷信號，以提高在載荷峰值處的反求精度.考慮到在實(shí)際工程中，所研究的對象往往是復(fù)雜結(jié)構(gòu)仿真模型，迭代中頻繁的正向求解過程相當(dāng)耗時(shí)，甚至導(dǎo)致反求過程難以實(shí)現(xiàn).對此，本文結(jié)合模型減縮技術(shù)，對大型有限元結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階處理，得到規(guī)模較小的等價(jià)模型，在保證響應(yīng)計(jì)算精度的同時(shí)，極大縮短正問題的求解時(shí)間，提高計(jì)算效率.

1 虛擬迭代載荷反求原理

1.1 Tikhonov正則化理論

對于線性系統(tǒng)，在待反求載荷f（t）的作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)可以由單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與動(dòng)態(tài)載荷的卷積分形式表示為：

y（x，t）=∫t0G（x，t-t）f（t）dt（1）

式中：y（x，t）為結(jié)構(gòu)測點(diǎn)x處的響應(yīng)，可以是位移、速度、加速度等；f（t）為載荷的時(shí)間歷程；G（x，t）是相應(yīng)的載荷作用點(diǎn)到響應(yīng)點(diǎn)的Green函數(shù)，即單位脈沖響應(yīng).

考慮零初始條件系統(tǒng)，可將式（1）中的卷積分在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行n個(gè)等間隔時(shí)間點(diǎn)離散，可化為一組線性方程組：

1.2 迭代反求算法

當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)響應(yīng)噪聲水平不高時(shí)，采用最優(yōu)正則化參數(shù)的Tikhonov方法可較精確地反求激勵(lì)載荷，但是當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)噪聲水平較高時(shí)，即使是最優(yōu)的正則化參數(shù)，也難以平衡解的逼近性與穩(wěn)定性這對矛盾；且在工程實(shí)際中，系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)，如汽車的襯墊等連接部件，在一定程度上都存在非線性因素，導(dǎo)致反求難度增大.對此，采用迭代的方法，根據(jù)響應(yīng)誤差反饋補(bǔ)償，逐步修正所求載荷信號，使其達(dá)到要求[16].

首先，對一個(gè)已知系統(tǒng)，其響應(yīng)信號Yδ，由上述Tikhonov正則化方法反求，計(jì)算出初始載荷信號為：

1.3 減縮技術(shù)

載荷的迭代反求過程，需要反復(fù)計(jì)算仿真系統(tǒng)的動(dòng)響應(yīng)，仿真系統(tǒng)通常用有限元的方式表達(dá).但對于有限元模型，通常網(wǎng)格越密仿真精度越高，但密集的網(wǎng)格會(huì)導(dǎo)致響應(yīng)求解時(shí)間增長，尤其在反復(fù)迭代計(jì)算過程中，正問題的求解時(shí)間過長是影響迭代的重要因素.對此，采用模型減縮技術(shù)，對原始有限元模型進(jìn)行降階等效，再對降階模型進(jìn)行迭代響應(yīng)計(jì)算，從而解決計(jì)算精度與計(jì)算效率之間的矛盾.本文采用的減縮方法是IRS[19]方法.

IRS 減縮方法是一種基于 Guyan靜力減縮法并考慮慣性力影響的改進(jìn)方法.系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

1.4 迭代收斂條件

上述Tikhonov迭代正則化算法可用流程框圖表示，如圖1所示.

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證上述迭代法對Tikhonov正則化反求結(jié)果的優(yōu)化作用，以及模型減縮技術(shù)對迭代效率改善的正確性與有效性，下面給出幾種不同載荷形式的算例進(jìn)行仿真對比分析.選用一塊帶約束的平板，在ABAQUS中建立如圖2所示的有限元模型，平板一邊兩端用螺栓夾緊固定，模型中平板的彈性模量為210 GPa，密度為7.85 g/cm3，厚度為4 mm，邊長為500 mm.

2.1 模型減縮應(yīng)用及結(jié)果分析

為提高響應(yīng)計(jì)算速度以及迭代效率，對該模型進(jìn)行減縮降階，在確保模型精度不受影響的情況下，用近似的低階模型代替原來復(fù)雜的高階系統(tǒng)模型來進(jìn)行迭代反求.對該有限元模型，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣通過ABAQUS被直接導(dǎo)出，在模型上選取包括激振點(diǎn)與拾振點(diǎn)在內(nèi)共 176個(gè)節(jié)點(diǎn)，用IRS減縮法在 MATLAB 中對平板模型進(jìn)行模型減縮，并用模態(tài)置信度（MAC值）分析減縮前后模型模態(tài)振型吻合程度，驗(yàn)證該減縮模型的精度[20].

2.1.1 減縮前后振型對比

2.1.2 動(dòng)響應(yīng)計(jì)算效率分析

在載荷反求過程中往往需要反復(fù)多次求取系統(tǒng)響應(yīng)，因此動(dòng)響應(yīng)計(jì)算效率是衡量反求實(shí)際效果的重要標(biāo)準(zhǔn).分別對算例原模型、IRS減縮模型求動(dòng)態(tài)響應(yīng)，比較相同時(shí)間歷程的動(dòng)態(tài)響應(yīng)所消耗實(shí)際CPU時(shí)間，結(jié)果如圖4所示.

由此可見，相比于原模型，IRS減縮模型大大減少了動(dòng)響應(yīng)計(jì)算時(shí)間，因此，模型減縮很大程度上提高了計(jì)算效率，所需計(jì)算響應(yīng)時(shí)間歷程越長，效果越明顯.在本文數(shù)十次迭代計(jì)算動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程中，IRS模型減縮技術(shù)的應(yīng)用將極大地提高迭代計(jì)算響應(yīng)效率.

2.2 載荷反求對比分析

在板面節(jié)點(diǎn)308#施加垂直于板面的單位載荷，選取響應(yīng)節(jié)點(diǎn)62#垂直板面方向速度作為響應(yīng)（如圖2所示）.首先計(jì)算載荷點(diǎn)到響應(yīng)節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的Green函數(shù)；再以不同形式載荷下的響應(yīng)，進(jìn)行載荷反求；最后對仿真得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)加入一定水平的隨機(jī)噪聲來模擬測試誤差.此時(shí)帶噪聲的速度響應(yīng)可用下式來表示：

式中：Y（t）為仿真得到的速度響應(yīng)；std（Y（t））為速度響應(yīng)Y（t）的標(biāo)準(zhǔn)差；lnoise為噪聲水平的百分?jǐn)?shù)；rand（-1，1）是區(qū)間-1，1的隨機(jī)數(shù)[12].

在速度響應(yīng)中加入15%的模擬噪聲，首先用傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法進(jìn)行載荷反求，以L曲線法確定最優(yōu)正則化參數(shù)，得到待求載荷，計(jì)算反求精度；再以此反求載荷，作為初始激勵(lì)載荷，用上述虛擬迭代方法修正載荷信號，進(jìn)行反求優(yōu)化，以達(dá)到精度要求；最后對比優(yōu)化前后載荷反求精度.

選用不同頻率、不同幅值周期正弦、正弦掃頻（10～100 Hz）、三角波以及隨機(jī)激勵(lì)等形式的激振力激振進(jìn)行載荷反求，反求結(jié)果如圖5-圖9所示.

由圖5-圖9可以看出，對不同形式的激勵(lì)，在一定噪聲水平情況下，傳統(tǒng)的L曲線法確定最優(yōu)參數(shù)的Tikhonov正則化方法能夠很好地抑制噪聲對反求結(jié)果的干擾，具有很強(qiáng)的穩(wěn)健性.但在載荷峰值處，反求誤差較大，反求整體精度受影響，這主要是由于正則化方法對反求載荷有平滑的作用，使得該方法在載荷峰值難以得到準(zhǔn)確的反求結(jié)果.Tikhonov正則化方法對這幾種載荷反求的加權(quán)誤差為8.0%左右.而本文提出的迭代Tikhonov正則化方法不僅能夠繼承傳統(tǒng)正則化方法反求結(jié)果穩(wěn)健性的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)還可以改善其在載荷峰值處反求結(jié)果，提高反求精度，反求結(jié)果加權(quán)誤差最低可降至2.0%.迭代Tikhonov正則化方法無論對確定信號還是隨機(jī)載荷激勵(lì)都有很好的反求精度，且對如圖9所示中的高頻載荷段迭代反求也有很高的精度.

3 結(jié) 論

本文在傳統(tǒng)Tikhonov正則化反求方法的基礎(chǔ)上，提出了一種新的迭代改進(jìn)方案.結(jié)合有限元算例和模型減縮技術(shù)，分別采用傳統(tǒng)Tikhonov方法和本文迭代方法對三角、正弦以及隨機(jī)載荷等激勵(lì)進(jìn)行載荷反求.結(jié)果表明：

1）本文提出的基于Tikhonov正則化迭代反求方法不僅能夠繼承傳統(tǒng)Tikhonov正則化反求法有效抑制噪聲的特點(diǎn)，同時(shí)還可以提高其在峰值載荷處的反求精度，整體反求精度高；

2）應(yīng)用模型減縮技術(shù)可以提高動(dòng)響應(yīng)求解效率，有助于載荷反求迭代過程的開展，最終又快又好的求得激勵(lì)載荷.

參考文獻(xiàn)

[1] MARCHUK G I. Methods of numerical mathematics[M]. Berlin： Springer-Verlag， 1975： 16-18.

[2] 孫興盛，劉杰，丁飛，等.基于矩陣攝動(dòng)的隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別技術(shù)[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2014， 50（13）：148-156.

SUN Xingcheng， LIU Jie， DING Fei， et al. Identification method of dynamic loads for stochastic structures based on matrix perturbation theory[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2014， 50（13）： 148-156.（In Chinese）

[3] 彭凡，馬慶鎮(zhèn)，肖健，等.整體平動(dòng)自由結(jié)構(gòu)載荷時(shí)域識(shí)別技術(shù)研究[J].振動(dòng)與沖擊，2016， 35（6）：91-95.

PENG Fan， MA Qingzhen， XIAO Jian， et al. Load identification technique in time domain for free structures with overall translation[J]. Journal of Vibration and Shock， 2016， 35（6）： 91-95.（In Chinese）

[4] SANCHEZ J， BENAROYA H. Review of force reconstruction techniques[J]. Journal of Sound and Vibration， 2014， 333（14）： 2999-3018.

[5] 胡寅寅，率志君，李玩幽，等.設(shè)備載荷識(shí)別與激勵(lì)源特性的研究現(xiàn)狀[J].噪聲與振動(dòng)控制，2011（4）：1-5.

HU Yinyin， LV Zhijun， LI Wanyou， et al. Status QUO of study on machine，s load identification technique[J]. Noise and Vibration Control， 2011（4）： 1-5.（In Chinese）

[6] 劉杰，許燦，李凡，等.基于λ-PDF 和一次二階矩的不確定性反求方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2015， 51（20）：135-143.

LIU Jie， XU Can， LI Fan， et al. Uncertain inverse method based on λ-PDF and first order second moment[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51（20）： 135-143.（In Chinese）

[7] 莫旭輝，韓旭，鐘志華.基于漸近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的汽車前輪定位參數(shù)反求[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008， 35（6）：18-22.

MO Xuhui， HAN Xu， ZHONG Zhihua. Identification of front wheel alignment based on the progressive neutral NETW ORK method[J]. Journal of Hunan University：Natural Sciences， 2008， 35（6）： 18-22.（In Chinese）

[8] KIM Y C， NELSON P A. Optimal regularisation for acoustic source reconstruction by inverse methods[J]. Journal of Sound and Vibration， 2004， 275（3）： 463-487.

[9] CHOI H G， THITE A N， THOMPSON D J. Comparison of methods for parameter selection in Tikhonov regularization with application to inverse force determination[J]. Journal of Sound and Vibration， 2007， 304（3/5）： 894-917.

[10]CHOI H G， THITE A N， THOMPSON D J. A threshold for the use of Tikhonov regularization in inverse force determination[J]. Applied Acoustics， 2006， 67（7）： 700-719.

[11]張磊，曹越云.總體最小二乘正則化算法的載荷識(shí)別[J].振動(dòng)與沖擊，2014， 33（9）：159-164.

ZHANG Lei， CAO Yueyun. Load identification using CG-TLS regulariztion algorithm[J]. Journal of Vibration and Shock， 2014， 33（9）： 159-164.（In Chinese）

[12]韓旭，劉杰.時(shí)域內(nèi)多源動(dòng)態(tài)載荷的一種計(jì)算反求技術(shù)[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2009， 41（4）：595-602.

HAN Xu， LIU Jie. A computational reverse technique for multi source dynamic loads in time domain[J]. ACTA Mechanica， 2009， 41（4）： 595-602.（In Chinese）

[13]常曉通，閻云聚.基于Green函數(shù)和正則化的動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別方法[J].振動(dòng)、測試與診斷，2014， 34（1）：124-129.

CHANG Xiaotong， YAN Yunju. Dynamic load identification method based on Green function and regularization[J]. Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis， 2014， 34（1）： 124-129.（In Chinese）

[14]郭榮，房懷慶.基于Tikhonov正則化及奇異值分解的載荷識(shí)別方法[J].振動(dòng)與沖擊，2014， 33（6）：53-58.

GUO Rong， FANG Huaiqing. Novel load identification method based on the combination of Tikhonov regularization and singular value decomposition[J]. Journal of Vibration and Shock， 2014， 33（6）： 53-58.（In Chinese）

[15]HAY N C， ROBERTS D E. Road simulators： the iterative algorithm for drive file creation[C]//2006 SAE World Congress.Detroit， Michigan， 2006： 2006-2011.

[16]陳棟華，靳曉雄，周鋐.汽車室內(nèi)道路模擬試驗(yàn)系統(tǒng)控制算法的研究[J].噪聲與振動(dòng)控制，2006（1）：31-35.

CHEN Donghua， JIN Xiaoxiong， ZHOU Hong. Study on contorl algoirthm for vehicle road simulation test system[J]. Noise and Vibration Control， 2006（1）： 31-35.（In Chinese）

[17]杜永昌.車輛道路模擬試驗(yàn)迭代算法研究[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2002， 33（2）：5-7.

DU Yongchang. Research on iteration algorithm used for vehicle road simulation[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery， 2002， 33（2）： 5-7.（In Chinese）

[18]汪斌，過學(xué)迅，李孟良.基于迭代學(xué)習(xí)控制的道路模擬算法[J].汽車工程，2010， 32（8）：686-689.

WANG Bin， GUO Xuexun， LI Mengliang. Road simulation algorithn based on iterative leaming control[J]. Automotive Engineering， 2010， 32（8）： 686-689.（In Chinese）

[19]O'CALLAHAN J C. A procedure for an improved reduced system （IRS） model[C]//Proceedings of the 7th International Modal Analysis.Las Vegas： Union College Press， 1989： 17-21.

[20]禇志剛，夏金鳳，王光建.循環(huán)對稱結(jié)構(gòu)重根模態(tài)振型相關(guān)性修正[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2014， 50（23）：60-64.

CHU Zhigang， XIA Jinfeng， WANG Guangjian. Correlation correction for doublet mode shapes of cyclic symmetric structures[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2014， 50（23）： 60-64.（In Chinese）