揭示概念形成過程，促進學生理解本質

顧志明

摘要：概念教學最關鍵的部分就是概念的形成：打開蘊含在數學概念中的深層次的思維活動，以一些實際事例為載體，帶領學生分析各個實際事例、抽象出概念的共同本質屬性、歸納得出數學概念。數學概念的形成一般需要經過很長的時間，所以數學概念教學一定要注重引導學生體驗概念的形成過程，啟發(fā)學生抽象、概括出概念的本質屬性，達到理解概念的本質。

關鍵詞：概念形成；本質屬性；算術平方根；教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）01-0015

概念是思維的基本單位。數學學習的過程實際上是推理的過程，而推理又離不開判斷，判斷又是以概念為基礎的。所以，理解概念是一切數學活動的基礎，概念不清就無法進一步開展其他數學活動。因而，我們數學教師在進行概念教學時，以概念的形成過程為基礎，以學生的實際水平為起點，讓學生經歷概念的形成過程，掌握概念的本質屬性，學會概念形成的方法，為后續(xù)的學習積累概念學習的經驗，更好地運用于實踐中。

筆者現(xiàn)以人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第6章第一節(jié)“算術平方根”為例進行分析，請大家指導。

一、課例重現(xiàn)及設計意圖

1. 溫故知新

教師通過提問：同學們，第一章我們學習了什么呢？

教師問：對于生產生活來說，有理數是否夠用了呢？數的范圍是否需要進一步發(fā)展呢？

設計意圖：引起學生思考，讓學生回顧有理數的定義、性質、運算以及應用。學習是有用的，是一種需要。刺激學生深層次思考，接下去要學習什么新知識。

2. 問題情境

教師點出：通過本章的學習我們會有深刻的體會，下面我們就從最簡單的圖形——正方形開始研究。

如果已知一個正方形的邊長是1，那么它的面積是……

設計意圖：連續(xù)幾個問題就是分化出本質屬性：從數的角度看，就是求一個正數的平方等于多少？從形的角度看，就是已知一個正方形的邊長求它的面積的問題。

教師再次提出：但在實際生活中，我們可能會碰到反過來的問題。比如，要制作一個面積為4的正方形，你會怎么做？

要做一個正方形，首先要找到它的邊長。很自然地提出問題：

如果已知面積是1，邊長是多少？面積是4呢？……和剛才的問題比較，我們現(xiàn)在的問題是求什么？

小結：從形的角度看，已知面積求邊長；從數的角度看，已知一個正數的平方，求這個正數。

設計意圖：引發(fā)學生深度思考，如何用已經掌握的知識來解決新的問題。

這種運算我們學過嗎？（一種新的運算），這種新的運算與前面的平方運算有何聯(lián)系？

3. 形成概念

如果把這個正數的平方記為a，這個正數設為x，也就是說，已知x2=a，求x，我們把這個正數x就叫做a的算術平方根（板書概念）比如，22=4，則2叫做4的算術平方根……

然后用新符號表示新概念。

為了簡便表示正數a的算術平方根，我們把它記作：，讀作：根號a，a叫做被開方數。特殊的，當被開方數是0的時候，由于02=0，我們規(guī)定，0的算術平方根是0。

設計意圖：引進符號后，教師要及時啟發(fā)學生把數學符號和它所表示的內容對應，讓他們能一看到符號就可以想到符號所表示的概念以及相應內容。數學中的推理，難點是如何能合理地、恰當地運用符號，這就要建立在學生對符號所表示本質內容的把握上。

所以下面安排了例題是非常及時有效的。

4. 概念應用

例1. 求下列各數的算術平方根：

（1）100；（2）；（3）0.0001

教師：那么如何來求算術平方根？比如100的算術平方根是多少？為什么？

回到定義，板書解題過程。

這個過程要求學生說教師寫，規(guī)范書寫格式。

然后小結：要利用平方運算來求算術平方根。

設計意圖：通過這個過程，使新學的概念和學生以前學習的內容建立了聯(lián)系，進而將新概念編入到已有知識體系，從而形成新的知識體系。數學的學習一定要有價值，能解決實際問題，最好有大家都關心的事情。下面用本章節(jié)引言的例子來體現(xiàn)價值是非常恰當的。

例2. 同學們，你們知道宇宙飛船離開地球進入軌道正常運行的速度在什么范圍內嗎？它既要大于第一宇宙速度ν1（單位：m/s2），又要小于第二宇宙速度ν2（單位m/s2）。ν12=gR，ν22=2gR，g≈10m/s2，R是地球半徑，R≈6.4×106m。如何求ν1，ν2呢？

速度要大于ν1，小于ν2，也就是說算術平方根是有大小的。

追問：比如的和 哪個大？從數的角度看，被開方數越大，它的算術平方根也就越大。從形的角度看，面積為4的正方形明顯要比1的正方形大， 那么正方形的面積越大，則邊長越大。

設計意圖：再次利用本節(jié)課開始提到的問題，起到了首尾呼應的作用，再次讓學生分別從數和形兩方面體會算術平方根的概念。

我們再來仔細觀察一下表格中的數據，算術平方根是連續(xù)的整數，而被開方數……1和4之間還有整數2和3，是否存在面積是2的正方形？從形的角度看，可能存在，從數的角度看，就是求2的算術平方根，從數的角度看，究竟有多大？從形的角度看，究竟有多長？有興趣的同學可以通過正方形的折疊或借助計算機等多角度進行研究。

設計意圖：再次激發(fā)學生的學習興趣，引出下節(jié)課要學習的內容——無理數也是有大小的，本節(jié)課結束。

二、課例評析——如何進行概念教學

1. 提出問題

很多教師在進行“算術平方根”教學時，沒有從概念形成的過程和本質出發(fā)，以前怎么學的現(xiàn)在就怎么教，不給學生深入理解的時間和表達自己見解的機會，而是一開始就直接給出概念，然后讓學生花大量的時間進行重復性解題訓練。這樣的概念課教學是否合理呢？學生看起來會說會寫，是否真的理解了“算術平方根”的概念呢？

2. 理論背景

認識論原理指出，人們對事物本質的認識不可能一次性完成，需要經歷由感性到理性的循環(huán)往復過程；同時，由于事物不可能孤立地存在，因此必須用聯(lián)系的觀點才能真正認清事物本質。同樣的，對于概念教學的規(guī)律，我們也應該從過程和聯(lián)系兩個角度進行考查。也就是要把概念放到相應的概念體系中，考查它的來龍去脈，即不僅要知道學習這一概念需要怎樣的基礎，還要知道掌握它以后能干什么。

3. 概念形成過程

本章要學習算術平方根、平方根、立方根等概念。在學習本章之前，學生已經學習了有理數的有關知識，其中有平方運算，這是算術平方根概念形成的前提條件。平方與算術平方根是互逆的關系，是概念的本質屬性。學習算術平方根，就可以使用到被開方數都可以表示成有理數的平方。

數學來源于生活，運用于生活。一切的學習都是為了解決實際問題。所以，課本從實際問題開始，分析抽象各個事例的共同屬性，概括形成概念。課本中的“探究”欄目，讓學生將兩個面積為1的小正方形剪拼成一個面積為2的大正方形，再求出這個大正方形的邊長。這也是一個要用算術平方根的實際問題，接著，用有理數夾逼的方法來估計的大小，通過估計，得到的近似值，再指出 是一個無限不循環(huán)小數，通過推廣可以知道，，等也是這類數，為后面學習無理數的概念做了鋪墊。用有理數估計無理數的大小，要讓學生細細體會的。“探究”分別從數和形兩方面揭示了算術平方根的本質，能幫助學生更好地理解算術平方根這個概念，體會到它的應用價值。

綜上所述，在沒有真正把握數學概念的本質屬性時就進行概念應用只能是一種無效的應用，這時學生的思維活動也會是無序的、低效的。這樣會給學生的學習帶來負擔，而且也會使學生的思維訓練受到阻礙。我們要在新概念與已有認知結構中有關概念的聯(lián)系上花費時間，而不僅僅是讓學生大聲齊讀概念幾遍。因為，如果學生沒有經歷這個概念形成的全過程，他們就無法真正理解這個概念，更談不上應用。因此，教師在進行概念教學時，一定立足在了解概念豐富的形成過程基礎上，以學生已有的知識儲備為起點，引導學生經歷概念的形成過程得到新概念。只有這樣，才能促進學生真正理解概念的本質屬性，學會概念形成的方法，為后續(xù)的學習積累概念學習的經驗，更好地運用于實踐中。

參考文獻：

[1] 曹才翰，章建躍.中學數學教學概論（3版）[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

（作者單位：浙江省仙居縣第二中學 317300）