向量的兩重性在解題中的應用

李會玲

摘要：向量具有代數和幾何的雙重屬性，是數形結合思想的高度體現，在解題過程中有靈活地運用，通過對幾道題目的分析，希望能夠為中學數學教師提供一些幫助。

關鍵詞：向量；數形結合；幾何法；坐標法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）01-0102

向量既有大小又有方向，可以用有向線段表示，也可以用坐標表示。具有代數和幾何的雙重屬性，引入高中課程，對課程結構以及解決問題的方式和方法產生了很大的沖擊和影響，是數形結合思想的高度體現。近幾年，高考對向量的關注度也越來越高。通過自己這幾年對本章內容的教學實踐和對相關試題的分析，越發感受到向量的兩重性在解題中的巧妙應用。下面，筆者通過幾道題目的分析，希望能夠為一線的中學數學教師提供一些幫助。

例1.已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則 · 的值為

， · 的最大值為 。

方法一：選取向量 ， 為基底表示向量

· =（ + ）· = 2=1

方法二：利用數量積的幾何意義

在 方向的投影為CB，故 · = 2=1

方法三：利用向量的坐標運算

以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），

設E（t，0），t∈[0，1]，

則 =（t，-1）， =（0，-1），

所以 · =（t，-1）·（0，-1）=1。

解析2：

方法一：因為 =（1，0），所以 · =（t，-1）·（0，-1）=t≤1，故 · 的最大值為1。

方法二：由圖知，無論E點在哪個位置， 在 方向上的射影都是CB=1，∴ · = ·1=1。

當E運動到B點時， 在 方向上的射影最大即為DC=1，∴（ · ）max= ·1=1。

例2. 已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是（ ）

A. [ -1， +1] B. [ -1， +2]

C. [1， +1] D. [1， +2]

解析1：

方法一：利用向量的運算

∵a·b=0，且a，b是單位向量，∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|2=c2-2c·（a+b）+2a·b+a2+b2=1，∴2c·（a+b）=c2+1.

∵|a|=|b|=1且a·b=0，∴|a+b|= ，

∴c2+1=2 |c|cosθ（θ是c與a+b的夾角）。

又-1≤cosθ≤1，∴0

∴c2-2 |c|+1≤0，∴ -1≤|c|≤ +1。

方法二：利用坐標法

以a，b向量分別作x，y 軸建立坐標系。則a=（1，0），b=（0，1）設c=（x，y）

由|c-a-b|=1得：x，y滿足（x-1）2+（y-1）2=1，（x，y）的軌跡為以（1，1）為圓心以1為半徑的圓。|c|表示動點（x，y）到原點的距離。圓心（1，1）到原點的距離為 ，所以|c|最大值為 +1，最小值為最小值為 -1。

例3. 如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點（不包括端點），E，F分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PA=EF。

證明：建立如圖所示的平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，DP=λ（0<λ< ），則A（0，1），P（ λ， λ），E（1， λ），F（ λ，0），

∴ =（- λ，1- λ）， =（ λ-1，- λ），

∴ = = ，

∴ = = ，

∴ = ，即PA=EF。

思維啟迪：正方形中有垂直關系，因此考慮建立平面直角坐標系，求出所求線段對應的向量，根據向量知識證明。

例4. 給定兩個長度為1的平面向量 和 ，它們的夾角為 ，如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧 運動。若 =x +y ，其中x，y∈R，求x+y的最大值。

解析：以O為坐標原點， 所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A（1，0）， B（- ， ），設∠AOC=α（α∈[0， ]），則C（cos α，sin α），由 =x +y ，

得cos α=x- ysin α= y，所以x=cos α+ sin α，y= sin α，

以x+y=cosα+ sin α=2sin（α+ ），

又α∈[0， ]，所以當α= 時，x+y取得最大值2。

例5. 已知平面上一定點C（2，0）和直線l：（上接第102頁）x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且（ + ）·（ - ）=0。

1. 求動點P的軌跡方程；

2. 若EF為圓N：x2+（y-1）2=1的任一條直徑，求 · 的最值。

剖析：（1）直接利用數量積的坐標運算代入；（2）將 · 轉化為關于y的函數，求函數的最值。

解：（1）設P（x，y），則Q（8，y）。

由（ + ）·（ - ）=0，得 2= 2=0，

即（x-2）2+y2- （x-8）2=0，化簡得 + =1。

所以點P在橢圓上，其方程為 + =1。

（2）∵ = + ， = + ，又 + =0。

∴ · = 2- 2=x2+（y-1）2-1

=16（1- ）+（y-1）2-1=- y2-2y+16=- （y+3）2+19

∵-2 ≤y≤2

∴當y=-3時， · =的最大值為19； 當y=2 時， · =的最小值為12-4 。

綜上： · 的最大值為19； · 的最小值為12-4 。

在解決有關向量的問題時，我們應該充分考慮到向量的特性，根據數形結合的思想，或利用向量定義，或利用向量的坐標運算，或利用數量積的幾何意義，從不同角度創造性地解題，提升自己的思想。

（作者單位：陜西省西安市第十九中學 710025）