幾何直觀在解決一次函數實際問題中的應用

摘 要：幾何直觀在解決一次函數實際問題中的應用是提升初中數學函數課程教學質量的關鍵點，以當前初中數學教學工作開展情況為基礎，結合近年來初中數學課程的教學經驗，對幾何直觀在解決一次函數實際問題中的應用策略進行分析，以期可以起到提升初中數學教學質量的效果。

關鍵詞：幾何直觀 一次函數 問題 應用

初中數學一次函數知識作為學生接觸的第一類函數，它在實際問題中的應用不僅是教學重點，也是教學難點。新課標對初中數學一次函數教學提出了明確的要求。幾何直觀作為當前解決一次函數實際問題的最佳方法，教師需要及時提高自我對其的重視。在實際開展課堂教學活動時，可以將幾何直觀應用在如下幾種題型中。

一、路程問題

在初中數學一次函數圖象題中，路程問題是最為常見的一種題型，其圖象更具直觀性。如：自變量時間為0時，其對應的縱坐標即為起點，時間停止時對應的縱坐標就是路程的終點。當運動速度為勻速時，其圖象則呈現出直線狀態，兩條直線的交點則是運動物體間相交的時間和地點[1]。正是因為圖象具有顯著性，一般情況下路程問題都可以利用函數圖象進行解決。

如：甲、乙兩輛摩托車同時從相距20km的A，B兩地出發，相向而行.圖中l1，l2分別表示甲、乙兩輛摩托車到A地的距離s（km）與行駛時間t（h）的函數關系.則下列說法錯誤的是（ ）

A. 乙摩托車的速度較快

B. 經過0.3小時甲摩托車行駛到A，B兩地的中點

C. 經過0.25小時兩摩托車相遇

D. 當乙摩托車到達A地時，甲摩托車距離A地

解：A、由圖可知，甲行駛完全程需要0.6小時，乙行駛完全程需要0.5小，所以，乙摩托車的速度較快正確，故A選項不符合題意；

B、因為甲摩托車行駛完全程需要0.6小時，所以經過0.3小時甲摩托車行駛到A，B兩地的中點正確，故B選項不符合題意；

C、設兩車相遇的時間為t，根據題意得， + =20，t= ，所以，經過0.25小時兩摩托車相遇錯誤，故C選項符合題意；

D、當乙摩托車到達A地時，甲摩托車距離A地： ×0.5= km正確，故D選項不符合題意，故選：D.

以上解法是學生數學思維在解決實際問題的一個較好應用。雖然在學生剛剛接觸函數知識時，會不太習慣應用這種解法，但是教師需要有意識培養學生運用幾何直觀解決問題。在實際教學過程中，學生的數學邏輯思維與幾何直觀能力會得到較大提升，進而從根本上提升課堂教學質量。

二、物體存蓄數量隨著時間變化而變化的函數關系

此類題型的函數圖象呈現出的效果是：學生在觀察函數圖象過程中，可以十分明顯地看出在某一時間段物體的具體存蓄數量變化。學生若是可以利用好圖象，則可以準確把握物體的存蓄總量規律，對提升學生的數學思維具有較大幫助[2]。

如：如圖，一個裝有進水管和出水管的容器，從某時刻開始的4分鐘內只進水不出水，在隨后的8分鐘內既進水又出水，接著關閉進水管直到容器內的水放完。假設每分鐘的進水量和出水量是兩個常數，容器內的水量y（單位：升）與時間x（單位：分）之間的部分關系，（1）每分鐘進水多少？ （2）當4≤x≤12時，寫出y與x的函數表達式 （3）若12min后只放水不進水，求y與x之間的函數表達式。

（1）在0≤x≤4時，只進水，圖像過（0，0）和（4，20），所以 （20-0）÷（4-0）=5（升）即：每分鐘進水5升；

（2）當4≤x≤12時，圖像經過（4，20）和（12，30），設解析式為： y=kx+b，代入兩點坐標得：4k+b=20 12k+b=30 解得：k=1.25 b=15 ∴y=1.25x+15 （4≤x≤12）

（3）依據題意：兩個管子同時打開，可以進水1.25升 所以：每分鐘得出水量為： 5-1.25=3.75（升） 30÷3.75=8（分鐘） 即：第12分鐘只打開出水管，8分鐘可以放完全部的水， 12+8=20（分鐘）∴圖像經過點（20，0） 設此時的解析式為：y=mx+n，代入（12，30）和（20，0）得： 12m+n=30 20m+n=0 解得：m=-3.75 n=75 即：y=-3.75x+75 （12≤x≤20）。

本題考查利用函數的圖象解決實際問題和用一元一次方程求出水管的出水量的運用，正確理解函數圖象橫縱坐標表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數問題的相應解決。分段函數是在不同區間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際在實際解決函數的多變量問題時，可以分析題目中隱含的變量關系，并從中選取其中一個變量作為自變量，然后根據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數。不僅可以有效深化學生的學習印象，也進一步深化了學生的學習思路，調動了學生的學習積極性。

三、分段函數中自變量數值的對比

在實際開展課堂教學活動時，大部分的方程組或不等式都是借助“形”進行解答的，教師需要使學生充分感受到“形”解決數的直觀性[3]。據現有調查數據結果顯示，許多初中生不喜歡其知識，并認為：運用之前所學的方法去解答方程或不等式更加便捷，不理解為何需要將知識特意繞到“形”中。但是在實際應用問題中，尤其是分段函數問題中，若是運用幾何直觀思想，則可以將題目中隱性的問題條件直接展示，進而有效解決問題。

面對復雜煩瑣的網絡寬帶方案選擇的問題時，教師可以在建模初期列出相關若干個一次函數，其中兩個函數是分段函數，若是從數的視角進行思考分析，簡單的說就是運用求解方程式的形式，解題過程將十分復雜煩瑣，將在無形中為學生的數學學習帶來困擾。但是若是可以將函數圖象繪制在同一直角坐標系中，引導學生依據所學知識，以圖象中交點為界限，交點左右兩側高的一方函數值則比較大，即為收費貴，反之則比較便宜。幾何直觀有利于教師將教材中抽象的數學知識直觀化，因此在解決此類問題時，尋找主體對象建立模型發揮幾何直觀作用至關重要，也為學生強化自我學習能力奠定扎實的物質基礎。

四、結束語

綜上所述，在運用幾何直觀解決一次函數實際問題時，不可以一味關注“形”而忽略了“教”的價值，只有從以上兩個視角去探究數學知識，有意識培養學生的轉換意識，才可以激發學生的學習興趣，進而在解決問題過程中不斷促進學生的個性化發展。

參考文獻：

[1]宋曉燕. 初中代數教學中培養學生幾何直觀的實踐研究[D].重慶師范大學，2014.

[2]李江專. 基于幾何直觀的初中代數教學設計研究[D].重慶師范大學，2016.

[3]馮玉嫻，劉春香.設計·生成·反思——借助幾何直觀解決二次函數的相關問題[J].中國數學教育，2014，09：9- 14.

作者簡介：張濤（1989-），男，廣東省佛山市人，民族：漢，職稱：中學二級教師，學歷：學士，研究方向：數學教學。