期權定價理論方法研究

徐喆

【摘要】本文對現有的期權定價方法進行了梳理，重點分析了不同定價方法的核心思想和歷史發展歷程，分析和總結了現有方法中的優勢和不足，以此為基礎提出了期權定價理論未來的研究方向。

【關鍵詞】期權定價；鞅測度；數值計算

1期權定價問題

對于一普通歐式看漲期權，我們假設該期權約定在時刻T，買方可以以事先定好的價格L購買1股給定的股票，我們稱T和L分別為期權的執行時刻和執行價格。到時刻T時，該股票的市場價格為ST，因此，將會出現兩種可能：

ST>L，則期權生效，期權所有人將以價格L購買股票，獲得利潤ST-P；

ST≤L，則期權所有人將放棄購買權力。

由此可見，該期權為期權所有人在時刻T帶來的收益為maxST-L，0，而如果考慮到收支平衡，期權賣方定下的期權價格期望就將與收益期望持平，有

E（CT）=P·ESTST>L-L+1-P·0

=P·ESTST>L-L

其中，P為ST>L的概率，ESTST>L為在ST>L條件下ST的期望值，將期權到期期望值按有效期無風險連續復利rT貼現，即可得期權初始合理價格

C=Pe-rTESTST>L-L

這樣期權定價問題也就轉化為確定P和ESTST>L。

2期權定價方法的分類

期權定價理論是解決期權定價問題的核心內容，而由于期權價格和其標的物價格變動的概率和收益率的多少有著直接關系。本節主要探討解決期權定價問題的不同角度，一般而言，如今期權定價的方法主要有三種：偏微分方程定價法，鞅測度定價法和數值定價法。

2.1偏微分方程定價法

偏微分方程定價法的基礎是BlackScholes期權定價模型。而由于對于期權定價理論方法的開創性，BS模型在期權定價理論中具有崇高的地位。

BS模型要求基礎資產價格服從幾何布朗運動，即假設市場是完全且無套利的，市場的交易方式是完全理想化的。通過構建一個無風險資產組合，消去微分方程中資產價格波動幅度的影響，使該資產組合的收益等于無風險利率，由此得到衍生資產價格的BS微分方程：

P（x，t）t-rP（x，t）+rxP（x，t）x+12σ2x22P（x，t）2x=0

P（x，T）=max0，x-k，x>0

其中，P（x，t）表示t時刻標的價格為x時看漲期權的價值，T為期權的有效期限，r為無風險利率，σ2為標的資產收益率變化速度的方差，k表示期權的執行價格。該方程的下式即是期權所滿足的邊界條件，利用該邊界條件求解BS微分方程就能得到期權的價格。BS模型對條件有嚴格的假設，該模型要求期權是歐式期權，其標的物的價格服從對數正態分布，無風險利率和金融資產收益變量是恒定的，而且不存在稅收、交易成本和紅利等其它所得等等，在新型期權不斷涌現的今天，具有一定的局限性。

2.2鞅測度定價法

1979年，哈里森和克雷普斯提出了鞅測度定價法，在鞅測度定價方法下，我們可以將真實世界的概率轉換成等價鞅測度（也叫做無風險概率測度），通過求解出未來回報的貼現值在等價鞅測度下取得的條件期望，估計出期權的當前價格。

引入風險中性概率測度Q，得到股票價格的隨機過程：

dStSt=rdt+σdWQ

該微分方程的解為St=S0e（r-12σ2）t+σWQ，之后利用Girsanov定理，經過推導得到股票價格的動態過程，從而得出股價在ST>L時的期望EQSTST>L，則期權定價公式為：

C=S0Nd1-e-rTLNd2

其中，

d1=lnS0L+r+12σ2TσT，d2=lnS0L+r-12σ2TσT，

Nd1=∫d1-∞e-12u2·12πdu

鞅理論在期權定價中的應用，改進了BS模型求解復雜的缺點，簡化了BS模型的推導過程。鞅與金融資產價格運動過程特征的相似性，使得鞅在20世紀80年代后成為了主流金融經濟學研究中不可或缺的一員。此后，一些學者不斷的對鞅方法進行了不斷的探索，研究出了包括指數半鞅、對偶鞅、連續鞅等運用鞅進行期權定價的方法。

2.3數值計算方法

常用的數值計算方法有三種：二叉樹方法，蒙特卡羅模擬方法和有限差分方法。

2.3.1二叉樹方法

二叉樹模型又被稱為CRR模型，在該模型中，期權的有效期被分為n個足夠小的時間間隔。在每一個時間間隔內，假定標的物的價格從x只運動到比現價高的xup和比現價低的xdown，概率分別為p和1-p。這樣我們就能建立一顆CRR樹，樹的第m層就會有m+1種價格狀態，樹的最后一層就對應著該期權到期日股票價格的各種可能狀態。

CRR模型假設了期權到期時的支付和路徑無關，因此它僅僅只依賴于股價上升和下降的次數，而并不依賴于上升或下降的順序。該模型利用數學歸納法，將期權到期日的所有可能狀態，倒推至期初得出期權在0時刻的價格。

c0=e-rn∑ni=0Cinpi1-pn-icni

cni為在n期中有i次上升情況下期權在n時刻的價值，c0即是期權在n時刻所有可能價格狀態期望值的貼現，也就是0時刻的價格。而CRR模型在n足夠大時，所得到的就是BS方程定價的結果。

CCR模型的最大優點在于它是一個離散的數學模型，可以把給定的時間段更加細分，因而可以處理更為復雜的期權。自CRR模型問世以來，經過眾多研究者在實踐中的不斷修正，已經使其更加符合金融市場的實際情況，各大金融市場已將其作為期權定價的重要工具。

2.3.2蒙特卡羅模擬方法

蒙特卡羅模擬方法同樣將時間區間分成n個子區間，并在每個區間內隨機抽取樣本，得到每個子區間內的一個股票價格，這樣就可以模擬出股價的一個可能的運行路徑。在風險中性測度下，計算出這條路徑下期權的到期回報，根據無套利定價原則用無風險利率得到回報的貼現值。這個結果可以看作是期權價格全部可能結果集合中的其中一個隨機樣本，所以如果重復足夠多的次數，可以得到一個樣本數量足夠多的期權價格集合，我們對這個集合的價格求得期望值，就可以得到蒙特卡羅模擬值，得出最終期權價格的近似結果。

蒙特卡羅模擬法是在假設風險中立、市場完美的條件下，利用隨機數抽樣的方式，模擬出一條條資產價值變化的可能途徑。而根據大數定律的定義，隨著隨機抽樣次數的不斷增加，可以使計算出來的值的誤差不斷縮小，最后收斂于期權價格。近些年來，以朗斯塔夫和施瓦茨于2001年提出的最小二乘蒙特卡羅模擬法最為著名。他們提出的方法在模擬出路徑后，在每一個可以提前執行期權的結點處，都可以利用比較提前執行的價值和到期日模擬價值大小，選擇是否在該結點提前執行終止，這符合美式期權的特點。

2.3.3有限差分方法

有限差分方法可以用于求解微分方程，因此利用有限差分法解決BS方程也成為了解決期權定價問題的一個重要方法。該方法將BS方程進行離散化，用很多個差分代替微分，從而求解微分方程就變成了求解線性方程組，將復雜的積分求解方法改為運用迭代法求解，借助計算機的運算能力將整個過程進行了簡化。

因為美式期權可以提前支付，所以不存在解析形式的定價公式，對美式期權進行定價必須通過數值方法進行處理。E.Clement等人結合變網格的思想給出了關于股價步長的變網格差分方法，D.Y.Tangman等人則提出了快速有限差分方法。在諸多數值方法中，有限差分方法更易實施并且能獲得更可信的數值結果，是解決美式期權定價問題最有效的方法之一。

三種數值計算方法擁有相似的方法思路，利用足夠多次的模擬計算，得到期權價格的數值近似解。這種方法隨著計算機和計算方法本身的飛速發展，逐漸的簡單化和精確化，而且它們在解決美式期權、奇異期權等定價問題上的表現，使得數值計算方法成為期權定價理論中最有效的方法之一。利用新型的數值計算方法，提高計算方法的效率解決各類期權定價問題，將會是期權定價今后研究的重要方向。

3期權定價方法存在的問題

期權是當今金融市場研究中的一個重點，而正是因為研究的不斷深入，各種新型期權的誕生也使得期權定價方法的局限性越來越強。例如對比普通歐式期權的美式期權，涉及了不少的不確定因素。由于美式期權可以提前執行，具有更復雜的時間價值，它所包含的獲利機會比同樣條件下的歐式期權多很多，因此在對美式期權進行定價時需要對時間價值進行更加細致的分析。對時間價值的分析需要考慮標的物的現價、價格波動情況、距到期日的時間等等，需要涉及到偏導數、邊界條件、最優停止理論等等諸多的可能方法，目前尚沒有一般的公式予以描述，而這正是近些年各學者研究的重點。

而比起常規期權（標準歐式或美式期權），奇異期權是更加復雜的新型期權，他們花樣繁多，通常在常規期權的基礎上加以變化或者組合而成。具有隨機波動率、隨機分紅、交易費用、執行價格浮動等等復雜的情況，這也是期權定價理論中比較難解決的問題，因此需要進行不斷的嘗試和探索，對模型改進和完善。