基于GARCH—VaR模型對滬深300ETF基金的實證分析

【摘要】由于在金融領(lǐng)域內(nèi)，GARCH模型在金融時間序列波動率的模擬以及金融風(fēng)險的度量中都有著相對廣泛的應(yīng)用。故而本文基于GARCH模型以正態(tài)分布的假定度量VaR值的精確程度，并且對VaR值進行失敗率檢測。結(jié)果表明，滬深300ETF基金具有尖峰厚尾特特征；利用EViews8.0對基金收益率序列進行相關(guān)性檢驗，發(fā)現(xiàn)其具有強相關(guān)性。通過GARCH模型消除相關(guān)性，對收益率建模，有效預(yù)測估計了基金的VaR值。

【關(guān)鍵詞】滬深300ET基金 Eviews8.0 GARCH-VaR 自相關(guān)VaR回測檢驗

一、引言

對于指數(shù)的研究，只能通過對跟蹤其指數(shù)的ETF（Exchange Trade Fund）基金走勢的計量進行觀測。當(dāng)前市場上跟蹤滬深300指數(shù)的基金有很多，但國內(nèi)學(xué)者通常使用的嘉實滬深300ETF。ETF基金是基金托管人通過“復(fù)制”和追蹤指數(shù)的變化來運作的，換句話說，實際上ETF基金是由一攬子股票組成的投資基金，托管人會盡可能地使ETF基金指數(shù)與凈值同步。但是滬深300ETF基金作為指數(shù)基金中的一種，本身雖然有許多優(yōu)點，然而相對來說還是具有很大的局限性。近年來，眾多學(xué)者對于指數(shù)基金的研究已經(jīng)不勝枚舉，但對滬深300ETF基金的研究相對來說并不算多。而在近來股市牛熊轉(zhuǎn)變的過程中，ETF基金的市場風(fēng)險日益擴大。所以，在后金融危機時代，如何加強對基金的風(fēng)險管理已經(jīng)成為基金管理者的一個重大課題。VaR方法能表示各類風(fēng)險，并提供發(fā)生概率，所以成為當(dāng)前風(fēng)險管理方面最通用的一種方法。

因此，本文選取滬深300ETF基金數(shù)據(jù)，基于GARCH模型精確的計算VaR值，從波動性的角度，建立GARCH族模型，并且相互比較，計算出VaR值，分析VaR值與實際收益率的差別。再利用金融時間序列本身尖峰厚尾的特征來跟蹤收益率變動方差的方法，為基金管理者評估，度量與防范金融風(fēng)險提供一定的決策參考，希望的到研究者的重視。

二、理論基礎(chǔ)

（一）理論基礎(chǔ)

風(fēng)險價值度（Value at risk，VaR）企圖對金融機構(gòu)的資產(chǎn)組合提供一個單一的風(fēng)險度量，而這一度量正好可以體現(xiàn)金融機構(gòu)的整體風(fēng)險。

VAR的定義是在一定的持有期內(nèi)和一定的置信水平下投資者或機構(gòu)預(yù)期下的最大損失。其數(shù)學(xué)公式為 ，其中Δp為證券組合在持有期t內(nèi)的損失，C表示給定的置信水平，VaR表示置信水平C下處于風(fēng)險中的價值。

但在實際生活中，大家經(jīng)常使用德爾塔——正態(tài)分布法[1]，其公式為 ，其中W0表示初始投資額，Zα表示標(biāo)準(zhǔn)正太分布下置信度α對應(yīng)的分為數(shù)，σ為證券組合的標(biāo)準(zhǔn)差，Δt為持有期。本文選取該法計算VaR。

（二）GARCH模型[2]

ARCH（autoregressive condition heteroskedasticity）是應(yīng)用于一串金融時間序列，對其波動性進行描述的模型，該模型30年來已廣泛的應(yīng)用到經(jīng)濟學(xué)與金融學(xué)的計量分析中，是分析金融時間序列的根本模型。在這個模型的基礎(chǔ)上，1986年Bollerslev又提出所謂“廣義自回歸條件異方差”模型（generalized ARCH，GARCH），GARCH（p，q）模型一般公式如下：

其中，p≥0，q>0；α0>0，αi≥0；i=1，…p；βj≥0，j=1，…q。

GARCH模型的出現(xiàn)，對于我們描述收益率的波動性提供了有效的途徑。其最簡單的形式為GARCH（1，1）模型，基本表達形式為：

（三）GARCH-VaR理論

1.VaR計算。利用GARCH模型計算出的條件方差σ2t，再將隨時間變化的條件方差轉(zhuǎn)換成金融資產(chǎn)收益率的方差，結(jié)合本論文選取的計算方法，就可以計算出未來一段時期內(nèi)風(fēng)險價值VaR預(yù)測值。

2.VaR回測檢驗。回測檢驗最常用的方法就是失敗率檢驗法。該方法就是對比超過計算出的VaR實際損失的概率與一定置信水平下的上限值是否接近或相等。若通過模型模擬的失敗率等于或接近等于預(yù)先設(shè)定的VaR的置信水平，則說明模型有效；若模擬的失敗率與預(yù)設(shè)置信水平相差太大，則說明模型不恰當(dāng)。假定置信水平為C，實際考察天數(shù)為T，失敗天數(shù)為N，由二項式過程可以得到在T個樣本中發(fā)生N次失敗的概率為：（1-α）N-TαN[3]。似然比率的計算為：

三、數(shù)據(jù)處理及檢驗

本文選取2013年3月25日至2016年4月21日滬深300指數(shù)ETF基金每日收盤價數(shù)據(jù)，剔除節(jié)假日等無效數(shù)據(jù)，共計749個樣本點。數(shù)據(jù)來源于wind，為了減少誤差，在這里，我們定義yt為日收益率（%），對數(shù)函數(shù)的取值范圍為全體實數(shù)，更適合用于金融建模。因此，本文選取對數(shù)收益率來處理：

（一）正態(tài)性檢檢

本文以Matlab為分析工具，利用頻數(shù)分布直方圖來分析滬深300指數(shù)ETF基金的日收益率（如圖1）。分別對峰度，偏度及Jecque—Bera檢驗三個指標(biāo)進行檢驗。由Matlab處理的結(jié)果知，偏度（skewness）為-0.6548，小于0，表明收益率的分布具有左側(cè)長尾特征，實際收益率小于平均收益率的情況較多。峰度（kurtosis）為7.2631，大于3，故其峰度高于正態(tài)分布，該分布的尾部要比正態(tài)分布尾部要厚，說明存在金融時間序列中“尖峰厚尾”特征。JB檢驗統(tǒng)計量為1512.344，拒絕原假設(shè)，故yt不屬于正態(tài)分布。

（二）ADF單位根檢驗[4]

運用GARCH模型的前提條件之一是要求數(shù)據(jù)平穩(wěn)。因此，接下來使用ADF檢驗法對滬深300ETF基金數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性進行檢驗。原假設(shè)收益率序列存在單位根，運行Matlab可知：ADF檢驗值為-12.62，小于零界值，拒絕原假設(shè)，表明數(shù)據(jù)不存在單位根。即收益率序列平穩(wěn)。

（三）相關(guān)性檢驗

利用自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）對ETF基金收益率進行檢驗，并采用Q檢驗來檢驗其相關(guān)性。原假設(shè)是數(shù)據(jù)不存在序列相關(guān)性。利用Eviews8.0軟件來處理收益率序列，其輸出結(jié)果（如圖2）。

由圖2可知，收益率序列存在高階的自相關(guān)性，因此建立AR（1）模型、MA（1）模型，ARMA（2，2）模型，AR（2）模型，MA（2）模型，A RMA（2，2）模型，AR（3）模型，MA（3）模型，ARMA（3，3）模型，AR（4）模型，MA（4）模型，ARMA（4，4）模型等，經(jīng)過多次檢驗，并根據(jù)AIC準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則，發(fā)現(xiàn)建立AR（4）模型較好。

3）通過分析可以得到，AR（3）和AR（4）項的系數(shù)的t值分別為-0.110507和0.160045；p值分別為0.0023和0，均通過t檢驗。DW值接近于2，比較顯著，無序列相關(guān)性；又AIC和CS值比較小，故AR（4）模型更好。

再對其殘差序列進行分析，發(fā)現(xiàn)殘差存在波動的群集現(xiàn)象，由此推斷殘差存在條件異方差性，需要進行條件異方差檢驗。

F值與LM值的伴隨概率在5%的置信水平下拒絕原假設(shè)，即殘差序列存在異方差性。

再對殘差平方的自相關(guān)（AC）與偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)進行分析，結(jié)果如下圖所示。

由圖可知，滯后3階后的伴隨概率明顯小于顯著性水平0.05。因此，殘差序列存在三階ARCH效應(yīng)，因此在AR（4）的基礎(chǔ)上建立ARCH模型[5]。在條件異方差的情況下往往用GARCH模型替代ARCH模型。

四、實證分析

（一）GARCH（1，1）模型參數(shù)估計與檢驗

在AR（4）模型的基礎(chǔ)上建立GARCH（1，1）模型，得到參數(shù)估計及檢驗結(jié)果（見下表1）

其中，GARCH（-1）表示GARCH（1，1）模型中的β1項，RESID（-1）^2表示GARCH（1，1）模型中α1項，數(shù)據(jù)顯示GARCH（-1）+RESID（-1）^2<1，滿足了GARCH模型的平穩(wěn)性條件要求β1+α1<1，α0>0以及α1和β1非負(fù)，確保了σ2>0。再對該模型滯后一階進行ARCH效應(yīng)檢驗，結(jié)果如表2：

F值與LM值的伴隨概率在5%的置信水平下接受原假設(shè)，即殘差序列存在同方差性，糾正了異方差性，消除了ARCH 效應(yīng)。因此，GARCH（1，1）模型的方程為：

Yt=0.000701-0.073479yt-3+0.091753yt-4

z統(tǒng)計值（1.265436） （-1.986991） （2.247929）

σ2t=0.00000449+0.086214μ2t-1+0.905075σ2t-1

z統(tǒng)計值 （4.576802） （7.896524） （103.1921）

綜上分析，GARCH（1，1）可以更有效地控制風(fēng)險，并且方法簡單有效，對滬深300ETF基金的收益率波動有較好的分析能力。

（二）VaR的計算與回測

采用GARCH模型擬合收益率波動方程計算出的VaR值，通過了失敗率檢驗法的回測檢驗，表明擬合效果較好。

五、結(jié)論

與參考文獻不同，本文在GARCH模型建立的過程中，不僅檢驗出滬深300基金收益率存在顯著異方差，而且存在高階自相關(guān)，即使使用GARCH模型仍不能完全消除收益率的自相關(guān)。因此本文首先對滬深300開放式指數(shù)基金建立高階AR模型利用赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨信息準(zhǔn)則判斷出AR（4）模型的效果最好，然后建立AR（4）-GARCH（1，1），再次檢驗殘差，發(fā)現(xiàn)信息已將被完全提取，說明了滬深300指數(shù)基金的收益率序列已經(jīng)被完全刻畫，因此利用所建模型計算VaR，并使用LR（似然估計值）進行VaR的預(yù)測檢驗，結(jié)果顯示AR（4）—GARCH（1，1）模型對于VaR預(yù)測效果良好。

一般來說，GARCH模型只能用來消除收益率序列的異方差，即收益率平方的自相關(guān)，但是無法消除收益率本身存在的自相關(guān)。所以，僅僅采取GARCH模型對收益率建模并不能完全提取數(shù)據(jù)中所給信息，也就無法準(zhǔn)確的預(yù)測未來VaR，而收益率之間的自相關(guān)只能通過ARMA建模進行處理，因此在進GARCH建模之前一定要確保收益率本身是獨立的。只有這樣VaR才能被更加準(zhǔn)確的預(yù)測。

參考文獻

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作者簡介：曾國慶（1994-），男，漢族，安徽蕪湖人，安徽財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，研究方向：金融工程。