高等數(shù)學(xué)中不等式證明的幾類常用方法

潘娟娟，凌雪岷

（安徽新華學(xué)院 通識(shí)教育部，安徽 合肥 230088）

高等數(shù)學(xué)中不等式證明的幾類常用方法

潘娟娟，凌雪岷

（安徽新華學(xué)院 通識(shí)教育部，安徽 合肥 230088）

不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，但是其本身邏輯性較強(qiáng)，證明方法多樣，學(xué)習(xí)難度較大.本文立足高等數(shù)學(xué)，通過實(shí)例補(bǔ)充介紹了6種比較常用的證明不等式的方法，對(duì)每種方法給出了具體的證明思路，并輔以典型例題，旨在使學(xué)生對(duì)不等式的證明有更深的理解和掌握.

高等數(shù)學(xué)；不等式；證明

不等式的證明是高等數(shù)學(xué)中重要的考察內(nèi)容，正確的使用不等式可以將一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，但是不等式證明方法多樣且繁雜，學(xué)生在使用時(shí)往往無法選擇最合適且最簡便的方法，因此對(duì)不等式證明方法進(jìn)行總結(jié)和歸納很有必要，既可以提高教師的教學(xué)水平，還可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的效果.基于不等式的重要性，本文總結(jié)了證明不等式的幾種常用的方法，并配以具體的例子，便于學(xué)生更好的掌握不等式證明的技巧，在以后的學(xué)習(xí)中可以熟練的選擇合適的簡潔的證明方法.

1 利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式

1.1 函數(shù)的凹凸性

定義1[1]設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對(duì)任意兩點(diǎn)x1,x2恒有

那么稱f(x)在I上的圖像是(向上)凹的(或凹弧)；

如果恒有

那么稱f(x)在I上的圖像是(向上)凸的(或凸弧).

說明 函數(shù)判定函數(shù)的凹凸性，一般我們不通過定義去判定，而是通過凹凸性的判定定理來判定，設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么若在(a,b)內(nèi)f"(x)＞0 (或f"(x)＜0)，則f(x)在[a,b]上圖形是凹(或凸)的[1].

1.2 函數(shù)的單調(diào)性

利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)的大小，是高等數(shù)學(xué)不等式證明中常用到的方法之一.

說明 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式的一般步驟:

(1)構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)；

(2)根據(jù)f'(x)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性；

(3)根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性，得出所求不等式.

2 利用Lagrange中值定理和Cauchy中值定理證明不等式

2.1 Lagrange中值定理[1]

如果函數(shù)f(x)滿足:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ (a＜ξ＜b),使等式

成立.

例3 設(shè)b＜a＜0，證明nan-1(b-a)＜bn-an＜nbn-1(b-a).

證 設(shè)f(x)=xn,顯然f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)定理，應(yīng)有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a＜ξ＜b)，由于f'(ξ)=nξn-1，因此上式可化簡為bn-an=nξn-1(b-a)，又由于a＜ξ＜b，有nan-1(b-a)＜nξn-1(b-a)＜nbn-1(b-a)，

即nan-1(b-a)＜bn-an＜nbn-1(b-a).

說明 利用Lagrange中值定理證明不等式的步驟如下:

(1)通過觀察不等式經(jīng)過恒等變形可以化成函數(shù)值之差的形式，則可考慮運(yùn)用拉格朗日中值定理，并合理設(shè)定f(x)；

(2)根據(jù)a＜ξ＜b對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，推導(dǎo)出所證不等式.

2.2 Cauchy中值定理[1]

如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

(3)對(duì)任一x∈(a,b),F'(x)≠0,

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a＜ξ＜b)使不等式

成立.

例4 設(shè)e＜a＜b＜e2.證明

3 利用Taylor公式證明不等式

高等數(shù)學(xué)中，泰勒公式除了用于逼近一些較復(fù)雜的的函數(shù)、近似值計(jì)算以及求函數(shù)極限以外，還可以用于證明一些幾何不等式.

例5 b＞a＞e證明:ab＞ba.

說明 運(yùn)用泰勒展開具體步驟如下:

(1)合理給出輔助函數(shù)f(x)，給出函數(shù)在某點(diǎn)的泰勒展開式，展開式的階數(shù)根據(jù)具體題設(shè)來確定；

(2)根據(jù)所證不等式，對(duì)朗格朗日余項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，從而證明出所給不等式.

4 利用函數(shù)的最值證明不等式

利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性與最大值最小值定理，求出函數(shù)f(x)在區(qū)間的最大值M和最小值m，則該函數(shù)在區(qū)間段內(nèi)任意值都滿足f(x)≤M或者f(x)≥m.

5 利用定積分的性質(zhì)證明不等式

5.1 定積分的估值定理[2]

設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則

說明 找出被積函數(shù)的在積分區(qū)間上的最大值和最小值，可以估計(jì)積分值的大致范圍，從而證明了不等式.

5.2 積分中值定理[1]

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使下式成立:

積分中值定理是解決含有積分不等式問題的重要方式之一.

例8 設(shè)f(x)在[0,1]連續(xù)單調(diào)減，

6 利用定積分中的一些著名不等式證明不等式

柯西-施瓦茨不等式

例9 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)＞0.證明:

說明 利用琴生不等式證明不等式時(shí)，要選用合適的輔助函數(shù)，然后通過求一階二階導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的凹凸性，根據(jù)琴生不等式求證.

8 結(jié)語

本文僅僅總結(jié)歸納了高等數(shù)學(xué)中七種常用的證明不等式的方法，但是教學(xué)過程中并不僅僅局限于上述若干種方法，而且同一個(gè)問題也可以選擇不同的證明方法去解決，這就需要教師和數(shù)學(xué)愛好者在平時(shí)的教學(xué)工作中不斷去發(fā)覺和探索，從而可以綜合運(yùn)用各種方法和技巧靈活解決不等式證明的相關(guān)問題.

〔1〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2015.

〔2〕裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題和方法[M].北京：高等教育出版社，2001.

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A

1673-260X（2017）02-0001-03

2016-09-02

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