李大潛：數學幫助人們認識世界和改造世界

劉紅偉

“如果沒有數學，沒有數學的進步，人們可能還生活在愚昧之中。在人們認識世界和改造世界的過程中，數學作為一種精確的語言和一個有力的工具，一直發揮著舉足輕重的作用。”

“數學”源于古希臘，是研究符號、結構、變化以及空間模型等知識的一門重要基礎科學。它的應用極其廣泛，是通向科學大門的金鑰匙，是人類前進的精神動力，是人類文化作用的組成部分。

伽利略曾說過：“大自然這本書是用數學語言寫成的。……除非你首先學懂了它的語言……，否則這本書是無法讀懂的。”華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之迷，日用之繁，數學無處不在。”

對絕大多數人來說，數學是一生中學習最多的一門課程：從小學到中學，從中學到大學，包括到了研究生的學習階段，都在學習數學。被奧數折磨得快“發瘋”的家長和孩子們如今更是比比皆是。那么，為什么要學習數學，或者說學習數學的目的性究竟何在呢？

“如果沒有數學，沒有數學的進步，人們可能還生活在愚昧之中。在人們認識世界和改造世界的過程中，數學作為一種精確的語言和一個有力的工具，一直發揮著舉足輕重的作用。”最近，中國科學院院士、復旦大學數學科學學院教授李大潛，在復旦大學數學科學學院2016級新生迎新大會上的講話在網絡上被熱傳，讓我們一起來聽聽大師的解析。

為什么要學好數學？

“世間的萬事萬物都有數與形兩個側面，數學作為研究現實世界中的數量關系和空間形式的科學，是剔除了物質的其它具體特性，僅從數與形的角度來研究整個世界的。” 李大潛認為，要搞清為什么要學好數學，首先要認識數學這門學科本身的重要性。

在李大潛看來，數學不僅是一種科學的語言和工具，是眾多科學與技術必備的基礎，而且是一門博大精深的科學，更是一種先進的文化，在人類認識世界和改造世界的過程中一直發揮著重要的作用與影響。

“數學的結論往往具有永恒的意義。”李大潛認為，人類的許多發現就像過眼煙云，很多學科是從推翻前人的結論而建立新的理論的；然而，古往今來數學的發展，不是后人摧毀前人的成果，而是每一代的數學家都在原有建筑的基礎上，再添加一層新的建筑。

據他介紹，歐幾里德是二千多年以前的古希臘數學家，然而，以他命名的歐幾里德幾何至今還在發揮著重要的作用，其中的勾股定理，不僅沒有被人認為老掉了牙而不屑一顧，相反還被人稱為千古第一定理，一直被高度頌揚、反復應用。

“數學這種科學的語言，是十分精確的，同時這種語言又是世界通用的。”李大潛說，加減乘除，乘方開方，指數對數，微分積分，常數等，這些數學語言和符號一開始雖然可能五花八門、各有千秋，但早已統一為一個固定的樣式，世界各地通用。

李大潛表示，數學在人們的日常生活及生產中隨時隨地發揮著重要的作用，已經是有目共睹。數學作為現代化建設的重要武器，在很多重要的領域中更起著關鍵性，甚至決定性作用，我們國家在兩彈一星研制中的出色成就，凝聚了不少優秀數學家的心血。

現在，不僅在自然科學、技術科學中，而且在經濟科學、管理科學，甚至人文、社會科學中，為了準確和定量地考慮問題，得到有充分根據的規律性認識，數學都成了必備的重要基礎。“離開了數學的支撐，有關的科學已很難取得長足的進步，很多學科（特別是很多自然科學學科）近年來甚至已經出現了數學化的趨勢。”李大潛如是說。

“數學也是一門重要的科學。”李大潛緊接著說，數學忽略了物質的具體形態和屬性，純粹從數量關系和空間形式的角度來研究現實世界，它和哲學類似，具有超越具體學科、普遍適用的特征，對所有的學科都有指導性的意義。現在的數學科學已構成包括純粹數學及應用數學內涵的眾多分支學科和許多新興交叉學科的龐大的科學體系。

李大潛還提醒大家，千萬不要認為我們已經學過的數學、包括已經了解的數學，就是數學的全部。其實，中學里學習的數學，大體上屬于初等數學的范疇，而大學本科所學的高等數學，是以牛頓、萊布尼茨在17世紀創立的微積分為標志和起步的，到現在也已經有300多年的歷史了。

“數學遠比我們已經看到的要豐富多彩、博大精深。” 李大潛認為，數學愈發展，不是使事情變得愈來愈復雜，相反，處理問題會變得更簡單，人們認識世界與改造世界的能力也愈來愈擴大。這會使人們愈學愈感到數學的魅力，愈學愈想學。

為此，李大潛以過去小學六年級算術課中的“雞兔同籠”難題為例，闡釋數學本身所蘊涵的魅力。“雞兔同籠”難題，說的是將一些雞和兔放在一個籠子里，比如說，已知頭數等于10，足數等于28，問雞多少只？兔多少只？由于雞只有兩只腳，而兔有四只腳，問題就復雜了，而且算術課的要求是要一步寫出答案來，那就難上加難。但到中學學了代數，只要設雞有X只，兔有Y只，根據題意列出一個二元一次聯立方程式，一下子就可求得問題的解答。

他同時表示，中學里學的平面幾何，為了證明，要挖空心思畫輔助線，實在是對智力的一個重大挑戰與考驗，但學習了解析幾何，將代數與幾何結合起來，過去絞盡腦汁才能求解的幾何問題就一下子變得輕而易舉了。

據李大潛回憶，他在高中時，對如何用數學方法求半圓的重心這個問題曾經發生了興趣，也為此花了不少的課余時間，結果是無功而返。后來聽老師說這個問題只有用微積分才能解決，才知道世界上還有微積分這樣一門威力無窮的學問，也更激發了他進一步學習數學的好奇心和動力。“真正好的數學，是愈來愈深入、愈來愈簡明、愈來愈有用的。”李大潛表示感悟頗深。

“過去一支筆、一張紙就能搞定的數學，竟然可以成為一門技術？”在座聽眾的臉上流露出些許懷疑。

李大潛這樣作答：“高技術本質上是一種數學技術。數學的思想和方法與高度發展的計算技術的結合的確已經形成了技術，而且是一種關鍵性的、可實現的技術，稱為‘數學技術。在這種技術中起核心作用的部分是數學，拿走它就只剩下一堆廢銅爛鐵。”

他同時舉例說，我們在醫院里看到的CT這一先進的技術的本質，其實是利用X光從各個不同角度所拍攝的眾多平面照片，恢復出體內物體（如腫瘤）的立體形狀。

“這完全是一個數學問題。”李大潛表示，“在這里，數學的內涵物化為計算機的軟件及硬件，就成為技術的一個重要組成部分與關鍵，從而可以直接地轉化為生產力。”

眾所周知，數學開始于數數，原始人只能區分1與多，碰到3就覺得多了，三人為“眾”大概就是這樣來的。后來有了十進制，用1，2，3，4，5，6，7，8，9和0這十個數字，再加上逢十進一（以及一個小數點），就可以表示世界上任何一個數字。其實，這也是經歷了一段漫長的歷史進程的，是數學給人類文明帶來的一個不可磨滅的巨大貢獻。

“數學是人類文明的重要基礎。它的產生和發展伴隨著人類文明的進程，并在其中一直起著重要的推動作用，占有舉足輕重的地位。數學過去是、現在是、將來也將是一種先進的文化。它帶領著、推動著、影響著人類的文明進程，深刻地改變著世界的面貌，也改變著人類本身的思維能力和認識水平，改變著人類的本身。”李大潛由衷感慨。

“天不生仲尼，萬古長如夜。”李大潛引用朱熹《朱子語類》中的話語，道出“重視數學、重視數學文化的引領和熏陶”的重要性：人類充分享受著數學文化的恩惠，但往往渾然不覺、習以為常，“身在福中不知福”。如果沒有數學，沒有數學的進步，人們可能還生活在愚昧之中，過著“長如夜”的生活。

學習數學有哪些益處？

“數學既然這么重要，那么，學習數學的目的就僅僅在于得到一大堆定理、公式和結論，懂得各種各樣的數學方法和手段，會求解各種各樣的習題甚至難題嗎？”

李大潛用一個字作答：“否！”

“如果將數學的學習僅僅看成是接受一大堆數學知識，那么即使熟記了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發揮作用；如果將數學學習的好壞僅僅理解為 ‘刷題的數量和速度，那充其量也只能成為一名熟練的數學工匠。”他同時這樣作出闡釋。

李大潛強調，數學是鍛煉思維的體操。數學是一門重思考與理解、重嚴格的訓練、充滿創造性的科學，學習數學能使人們更合乎邏輯、更有條理、更嚴密、更精確、更深入地思考和解決問題，能增強人們的好奇心、想象力和創造性。只有掌握了數學的思想方法和精神實質，才能由不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論，顯示出無窮無盡的威力。

在工作中，真正需要用到的具體數學分支學科，具體的數學定理、公式和結論，其實并不一定很多；學校里學過的一大堆數學知識很多都似乎沒有派上什么用處，有的甚至可能已經忘記，但大家所受的數學訓練，所領會的數學思想和精神，所獲得的數學教養，卻無時無刻不在發揮著積極的作用，成為取得成功的最重要的因素。

他同時表示，通過認真的數學學習和嚴格的數學訓練，可以使學生具備一些特有的素質和能力。這些素質和能力是其他課程的學習和其他方面的實踐所無法替代或難以達到的，而且，即使所學的數學知識已經淡忘（這是經常發生的情況），這些素質及能力作為一個人的數學教養仍不會消失，將伴隨終生，始終發揮積極的作用。

據李大潛介紹，這些素質和能力包括以下幾種：

第一，自覺的數量觀念。使人會認真注意事物的數量方面及其變化規律，而不是 “胸中無數”，憑感覺、“拍腦袋”做決定、辦事情。

第二，嚴密的邏輯思維能力。使人能保持思路清晰，條理分明，有條不紊地處理頭緒紛繁的各項工作。

第三，高度的抽象思維能力。使人面對錯綜復雜的現象，能分清主次，抓住主要矛盾，突出事物的本質，按部就班地、有效地解決問題，而不會無所適從、一籌莫展，或是眉毛、胡子一把抓。

第四，數學上的推導要求每一個正負號、每一個小數點都不能含糊敷衍，有助于培養認真細致、一絲不茍的作風和習慣。

第五，數學上追求的是最有用（廣泛）的結論、最少的條件（代價）以及最簡明的證明，通過嚴格的數學訓練，會逐步形成精益求精、力求盡善盡美的習慣和風格。

第六，關注數學的來龍去脈，知道數學概念、方法和理論的產生和發展的淵源和過程，會提高建立數學模型、運用數學知識處理現實世界中各種復雜問題的意識、信念和能力。

第七，作為一種思想的體操和競賽，數學會使人增強拼搏精神和應變能力，通過不斷分析矛盾，從困難局面中理出頭緒，最終解決問題。

第八，數學的學習和思考，會為學生打開自由創造的廣闊天地，激發他們的探索精神、創新意識及創新能力，使他們更加靈活和主動，聰明才智得到充分的表現和發揮等。

“數學教育看起來只是一種知識教育，但本質上是一種素質教育。這種素質教育不是從外界強加進來的，而是數學教育本身所固有的。”李大潛還就如何培養上述素質和能力進行作答：“以傳授與學習數學知識為載體，通過嚴格認真的數學學習和訓練，就可以由不自覺到自覺地將上述這些方面的素質和能力，耳濡目染，身體力行，銘刻于心，形成習慣，逐步變成自己的數學素養。”

“真正學好了數學，不管人們將來從事哪行哪業，都會讓人變得更聰明、更有智慧、更有競爭力，終生受用不盡。”他同時告誡大家，不應該僅僅是常規意義下的學習，而是要遨游于博大精深而又美輪美奐的數學王國，品嘗并探索數學科學的精義和奧秘，并努力為之添磚加瓦；同時，還要借助數學這一既神奇又實用的思路、工具和方法，努力揭示大自然和人類社會的種種奧秘和規律，對我們所處的這個世界有更好的了解和認知，進而為國家、為民族、為人類造福。