淡化概念顯本質經歷過程促理解

黃天飛

[摘 要]對“三角形的高”這一概念的教學，一直以來都是小學數學“圖形與幾何”知識中的難點。為了突破這一難點，立足于教學實踐，從“源頭知識”的內在聯系、“相關知識”的呈現溝通以及“本位知識”的動態發展三個方面對這一概念教學提出了相應的教學策略。

[關鍵詞]概念；本質；經歷過程；理解；三角形的高

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）08-0033-02

日前，由朱樂平老師領銜的“一課研究”公眾號發布了針對“三角形的高”這一概念教學開展的相關研究，該研究主要從“三角形的高”的概念屬性、前測與分析、教學策略三個方面進行了詳細闡述，并在教學策略中提出了“探尋學生‘前數學經驗——暴露學生‘原初思維——引發學生‘認知沖突——發展學生‘邏輯思維能力”的設計思路和觀點。筆者細讀之下深感受益匪淺。現筆者結合我校教研組對“三角形的高”開展的研討活動，就課堂教學中如何使學生把握這一概念的本質屬性，從而促成學生對該知識點深刻理解的教學目標進行探索與思考。

一、以“源頭知識”的內在聯系鋪墊

所謂“源頭知識”，指的是概念介紹中涉及的基本要素，在小學數學“圖形與幾何”方面的概念表述中通常指點、線、面及其數量、狀態、特征等。教材對“三角形的高”這一概念采用發生式的定義方式，其中“一個頂點”“它的對邊”“垂線”“頂點和垂足之間”“線段”等組成部分都可以稱為“源頭知識”。這些知識點中，有相當一部分屬于學生已有的知識基礎，在本課前面部分三角形的特征教學中對“頂點”也有了較為直觀的認識。但在教學實踐中，對于“對邊”這個含有狀態描述的知識點卻很容易被教師所忽視，這在后續教學中經常會造成學生對直角、鈍角這兩類三角形的高存在理解上的困擾。在實施以下教學環節之前，應先將三角形按角分類的知識進行簡單介紹和認識，并讓學生利用學具分別搭出銳角、直角和鈍角三角形。這樣對學生更好地理解三角形的高具有一定的促進作用。

[片斷1]三角形的字母表示

師：為了方便表達，我們用字母表示頂點，如A、B、C（板書如圖1），那么這個三角形就讀作三角形ABC。這里你能找出頂點A所對的邊嗎？

課件演示：頂點A所對的邊為BC邊，也可以把BC稱為A的對邊（板書如圖1）。其余兩個頂點呢？誰來說一說？（課件分不同顏色進行表示，以突出對應關系）

師：一個三角形中有幾組頂點和對邊的關系？（三組）是由誰的個數決定的？（頂點）你能在自己拼成的直角三角形和鈍角三角形上找到這三組頂點和對邊的關系嗎？試一試。

待操作后，指名讓學生在教師提供的直角三角形、鈍角三角形教具上指出來并進行表述。

【點評】以上環節中，在介紹三角形字母表示的方法后，真正的著力點是使學生建立三角形中“頂點”與“相對的邊”之間的關系，并將此種關系與三角形的特征進行有效溝通。以此為基礎，引導學生自主探索直角三角形、鈍角三角形中頂點與對邊的關系，為后續教學做好鋪墊。

二、以“相關知識”的呈現溝通遷移

單從數學知識的角度來講，與三角形的高相關的知識基礎主要是“點到直線的距離”和“平行四邊形、梯形的高”。但是，從學生已有的生活經驗角度分析，每個學生對于“高”這一基礎概念的理解程度是各不相同的，但也體現出一定的共性，即他們的認知水平集中于對實際物體“高度”的直觀感知上。針對這樣的情況，如何溝通生活中的高與數學中的高之間的聯系，并以此為基礎完成由已學的“平行四邊形或梯形的高”向“三角形的高”進行遷移呢？筆者在實際教學中進行了以下嘗試。

[片斷2]游戲探究三角形的高

師：同學們學得真不錯！接下來，我們做個游戲——“圖形平移過橋洞”。

（1）利用長方形教具演示

師：如圖2所示，圖形能通過嗎？（不能）為什么不能？（太高了）高在哪里？請同學們用三角板比出長方形的高。

師：有什么辦法讓這個圖形平移通過呢？演示壓扁成平行四邊形之后通過橋洞（如圖3）。

師：為什么這樣就能通過了呢？

生：形狀變了。其實是什么變了？（高）（指向變化后平行四邊形的一條邊）是這條嗎？（不是）在哪里？用三角尺在教具上比出來。（操作還原成長方形）這個時候的高在哪里？（學生指出）其實就是這個長方形的什么？（寬）那你覺得對于圖形的高有什么要求？（必須垂直）

（2）出示銳角三角形教具演示

師：（請出第二個圖形，演示，如圖4）能通過嗎？（不能）什么原因？（太高了）高在哪里？你能用三角板演示一下嗎？（如圖5）

師示范（如圖6）：這樣表示是這個三角形的高嗎？為什么？（不是，沒有經過最高的頂點）繼續演示（如圖7），這樣表示呢？（不是，高應該是垂直距離）你能用自己的話來說一說什么是三角形的高嗎？

（3）根據學生回答，逐步引導得出（板書）：

高所在的對邊叫作底（板書），也就是說，底是由誰決定的？（高）

用這樣的方法，能用三角尺表示出你拼成的銳角三角形的高嗎？你能在圖上畫出這條高嗎？（學生練習）

在這個三角形中，還能找到幾組這樣的關系呢？你能根據這種關系（指向板書）分別畫出其余的高嗎？（學生練習）

展示學生作業后提問：有幾條高？（3條）能找到幾組底和高相對應的關系呢？（3組）

【點評】“圖形平移過橋洞”這一實際操作活動的設計展示，主要包含兩方面的教學意圖。一是溝通生活中的高與數學概念的高之間的聯系；二是溝通已學的平行四邊形的高與三角形的高之間的聯系。其中涉及長方形的高就是它的寬，除了強調高必須垂直的特征以外，也對后續學習直角三角形的高埋下了伏筆。具體到三角形高的概念，以使學生經歷感知和探索為基礎，大大簡化了教材中發生式的描述語言，從中抽取出“頂點到對邊之間的距離”這一核心知識。需要著重說明的是，本文標題中提及的“淡化概念”主要是指“淡化”概念的描述語言，事實上，教材采用這樣的定義方式也暗含著使學生經歷過程，從而加深學生對本質屬性的理解的意圖。在“三角形的高”這一個概念的教學中貫穿“直觀感知——實踐操作——概括抽象”的總體思路。此外，由前一個教學片斷中落實的“3組頂點和對邊之間的關系”這個知識點，自然引出在三角形中有3條高和3組高與底相對應的關系這些后續知識。

三、以“本位知識”的動態發展建構

這里所指的“本位知識”即為三角形的高概念本身，只是體現在直角三角形、鈍角三角形中呈現的形式發生了一定的變化。這種變化通常被認為是造成學生理解困難的根源。那么，在實際教學中，如何破除學生不良思維定式的影響，從對本質屬性的理解出發，實現對“三角形的高”概念的完整建構，是本課設計與實施中突破教學難點的關鍵。

[片斷3]探索直角、鈍角三角形的高

利用教具直觀演示。移動其中的一邊成銳角三角形（圖8），現在經過頂點A的高在哪里？（請學生利用三角板表示出來）繼續演示，高在哪里？第三次演示：現在是一個什么三角形？（直角三角形）我把直角三角形請過來（圖9），現在經過頂點A的高在哪里？（請一位學生上來用三角尺演示一下）

只要怎么樣就是高？（頂點到對邊之間的距離，在直角三角形中，這條邊就是垂直線段，所以它是高）那么這個時候底在哪里？（板書：高 底）你能在自己的直角三角形上找到這條高以及與它對應的底嗎？在畫的圖上表示一下。我把這個直角三角形轉一下，從這個頂點出發，你能找到它的高嗎？這個時候底在哪里？也就是說在直角三角形中，這兩條互相垂直的邊可以互為高和底嗎？

繼續轉變（如圖10），現在成了什么三角形？（鈍角三角形）還是從頂點A出發，它的高在哪里？（頂點到對邊的距離）可以怎么表示？對邊不夠長怎么辦？（教師示范在延長線上畫高）你能在自己的鈍角三角形上找到這條高，并在作業紙上畫出這條高嗎？（學生練習并反饋）

課件動態展示（效果圖略），讓學生發現并歸納：過一個頂點畫高時與三角形的另兩條邊無關。在此基礎上進一步使學生明確：畫三角形的高其實是過一點畫已知直線的垂線。

【點評】該環節以教具直觀演示為主，先將銳角三角形轉變為直角三角形，在強化概念的基礎上引導得出：直角三角形中互相垂直的兩條直角邊互為高、底。再轉變為鈍角三角形，在前期不斷鋪墊，強化對“高”這一概念深入理解的基礎上，絕大部分學生都能自主完成知識的遷移。緊接著，教師在圖上示范畫法，再引導學生在自己的學具上找一找、畫一畫。最后，輔以課件動態演示，旨在消除學生對畫高時由其他兩條邊造成的錯誤干擾，并揭示三角形的高就是“點到直線的距離”這一核心概念，與已有知識體系建立了恰到好處的關聯。

綜上可知，教師對“三角形的高”概念進行教學時，應始終把握概念的本質屬性，并合理利用知識的內在聯系、前后關系和發展特性恰當選取教學素材，充分利用教具、學具，使學生完整經歷“感知——操作——抽象”的認知發展過程，從而達成深刻理解概念的目標。

（責編 黃春香）