在數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換中深化概念的理解

陸建峰

[摘 要]學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程就是數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換、內(nèi)化和運(yùn)用的過程。數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號(hào)語言和圖表語言，這三種語言形式各不相同，但在突出數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)特征方面目標(biāo)一致。在概念教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在概念形成的不同階段靈活轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，促進(jìn)學(xué)生深化理解數(shù)學(xué)概念。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)語言；轉(zhuǎn)換；概念；分?jǐn)?shù)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）08-0039-02

數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程就是他們把數(shù)學(xué)語言進(jìn)行轉(zhuǎn)換、內(nèi)化和運(yùn)用的過程。在概念教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在概念形成的不同階段靈活轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，促進(jìn)學(xué)生提高語言轉(zhuǎn)換的能力和表達(dá)能力，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、在文字語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言中引入概念

概念引入是學(xué)生感知概念的初始階段。引入新概念時(shí)，教師要用它的前概念幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移。分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，它的前概念是除法的意義，根據(jù)小學(xué)生以形象思維為主的特點(diǎn)，教師要充分利用直觀化手段，借助直觀模型（如面積模型、數(shù)線模型等），讓學(xué)生感知如何表示一個(gè)物體平均分成2份的結(jié)果，體會(huì)分?jǐn)?shù)表示的是部分與整體的關(guān)系。“平均分”是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的根源，表示“一半”的大小是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的內(nèi)需。引入概念時(shí)，教師用文字語言“一半”引導(dǎo)學(xué)生操作，讓學(xué)生充分體會(huì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性。

課始，教師先抓住文字語言“一半”在操作中的含義，創(chuàng)設(shè)小明想把所帶物品（有8個(gè)奶片、4瓶牛奶、1塊比薩餅、1張正方形彩紙）分“一半”給小紅的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生分出它們的“一半”。

學(xué)生用動(dòng)作詮釋了“一半”的含義——把物品平均分成2份，其中的一份就是它們的“一半”。學(xué)生在操作過程中初步感知分?jǐn)?shù)既可以表示多個(gè)物品的一半（ 8個(gè)奶片的一半是4個(gè)，反過來4個(gè)奶片是8個(gè)奶片的一半），也可以是一個(gè)物品的一半。緊接著，一個(gè)物體的“一半”的大小如何用一個(gè)新的數(shù)表示呢？有的學(xué)生用[2][1][1] （2分成1和1）表示；有的學(xué)生用2|1表示；有的學(xué)生用表示；有的學(xué)生用表示……學(xué)生思維角度不同，反映了分?jǐn)?shù)既可以作為過程性操作的分?jǐn)?shù)（把“1”看作 “2”，平均分成2份，每份都是1），也可以作為一個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)2|1、、。分?jǐn)?shù)作為結(jié)果，表征形式上不同，但意義一致——都是把一個(gè)物體平均分成2份，表示其中的1份，把“關(guān)系”意義作為認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的邏輯起點(diǎn)，避免學(xué)生形成個(gè)（量）等同于（比率）的“糊涂”認(rèn)識(shí)。把文字語言表達(dá)的“一半”借助動(dòng)作表征轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言“”，能有效幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)概念感知階段的初步抽象。

二、在符號(hào)語言轉(zhuǎn)換為圖表語言中形成概念

概念形成階段是學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，也是學(xué)生思維過程中最復(fù)雜的部分。概念形成不但要學(xué)生從許多事物和情境中抽象并概括出它們的共同特征，而且需要學(xué)生能辨別與概念不相關(guān)的非本質(zhì)特征。學(xué)生在抽象概括的過程中，需要把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖表語言，借助于圖形語言的直觀性凸顯概念的本質(zhì)特征。

認(rèn)識(shí)的意義時(shí)，教師先提出問題：“誰還能想到什么物體的‘一半？”引導(dǎo)學(xué)生先在頭腦中建立具象，再提供各種材料（圖形、實(shí)物）讓學(xué)生選擇，然后帶領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)“”的現(xiàn)實(shí)意義：有的學(xué)生選擇“切”出實(shí)物的“一半”；有的學(xué)生選擇用圖形“對(duì)折”出“一半”；有的學(xué)生選擇在紙上“畫”出“一半”……盡管方法不同，但學(xué)生在語言轉(zhuǎn)換過程中都反映了“一半”的本質(zhì)——把一個(gè)物體平均分成2份，其中的1份就是它的。接下來，讓學(xué)生嘗試“用圖形說話”，結(jié)合圖形與操作過程解釋“”的實(shí)際意義，說出其中的“2”表示什么，“1”表示什么，“為什么折法不同，每一部分的形狀也不同，但結(jié)果都可以用‘表示？”“為什么所選材料不同，創(chuàng)造的方式也不同，但都可以創(chuàng)造出？”最后，教師拿出一個(gè)胡蘿卜，并將其從中間一分為二，問學(xué)生“是否每份都可以用表示”，突出平均分物體的大小所指向的模型意義，有助于學(xué)生在反思中識(shí)別分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)特征。

學(xué)生在實(shí)物操作中的“切”“折”“畫”等過程就是把符號(hào)語言“”轉(zhuǎn)換成圖形語言的過程。這種轉(zhuǎn)換，不但符合學(xué)生思維直觀性的特征，而且有利于學(xué)生理解和掌握分?jǐn)?shù)的意義。通過動(dòng)作表征，學(xué)生能真正找出分?jǐn)?shù)的圖示意義；及時(shí)追問和引導(dǎo)，有利于學(xué)生在反思中把握知識(shí)本質(zhì)；適時(shí)應(yīng)用圖形語言進(jìn)行反例矯正，有助于學(xué)生澄清在概念形成過程中可能出現(xiàn)的混淆；非概念圖形語言與概念圖形語言的比較，有助于凸現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性——分?jǐn)?shù)與所分材料和形式無關(guān)，但和平均分的份數(shù)有關(guān)。

三、在圖表語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言中深化概念

概念深化是指從已獲得的概念中能夠聯(lián)想出與之有聯(lián)系的新概念，可以是表征形式上的聯(lián)系，也可以是操作方法上的聯(lián)系，還可以是本質(zhì)意義上的聯(lián)系。分?jǐn)?shù)對(duì)小學(xué)生而言是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)：一方面因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在生活中應(yīng)用非常少，學(xué)生缺少相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)；另一方面是因?yàn)檎麛?shù)運(yùn)算是數(shù)“1”的累加（減），數(shù)的組成規(guī)則是“滿十進(jìn)一”，而分?jǐn)?shù)由于“平均分”的份數(shù)不同，計(jì)數(shù)單位也不同，學(xué)生無法把整數(shù)計(jì)數(shù)規(guī)則順利遷移到分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)中，造成認(rèn)知困難。因此，教師要有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生把圖表語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言，使學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)概念的另一層意義——把一個(gè)物體平均分成n份，其中的每一份用分?jǐn)?shù)表示就是。

教師首先引導(dǎo)學(xué)生自主創(chuàng)造分?jǐn)?shù)。有的學(xué)生對(duì)折一條毛線創(chuàng)造出，有的學(xué)生將長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，創(chuàng)造了它的，也有的學(xué)生選擇圓形紙片創(chuàng)造出它的……不同分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，幫助學(xué)生初步內(nèi)化了分?jǐn)?shù)與平均分成的份數(shù)之間的關(guān)系。教師應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)把1個(gè)物體平均分以后，表示其中每一份的數(shù)都比1小、比0大。在此基礎(chǔ)上，當(dāng)學(xué)生說出一個(gè)分?jǐn)?shù)后，教師隨即從圖上找出對(duì)應(yīng)的分母和分子，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)分母表示平均分的份數(shù)，分子表示其中的一份，分?jǐn)?shù)整體表示平均分成的份數(shù)與其中一份之間的關(guān)系。最后，教師出示一組圖形（如下圖），要求學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示涂色的部分。

學(xué)生通過創(chuàng)造分?jǐn)?shù)，從認(rèn)識(shí)“”的過程獲得操作的方法和表征形式的經(jīng)驗(yàn)，從而培養(yǎng)了自身的創(chuàng)造力和想象力。把直條圖變成一條線段，并在線段上標(biāo)出對(duì)應(yīng)位置的分?jǐn)?shù)的過程就是把圖表語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言的過程。學(xué)生從認(rèn)識(shí)直條圖中的“1”開始，依次認(rèn)識(shí)更多的分?jǐn)?shù)，直觀感知每個(gè)分?jǐn)?shù)與整體的關(guān)系——把直條圖“1”平均分成2份，每份是；把平均分成2份相當(dāng)于把整體平均分成4份……以此類推，學(xué)生能逐漸掌握分?jǐn)?shù)之間的大小關(guān)系：直條圖變成一條線段，線段上每個(gè)點(diǎn)都可以對(duì)應(yīng)一個(gè)分?jǐn)?shù)，一直平分下去，直至趨近0……用圖形語言解釋符號(hào)語言，能使抽象符號(hào)語言變得直觀、具體，有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的“量”感，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的整體認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生更深刻地理解分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)意義。

總之，教師要遵循概念理解的層次性，合理使用各種數(shù)學(xué)語言，使學(xué)生在概念形成的過程中順利構(gòu)造知識(shí)網(wǎng)，從而理清知識(shí)的本質(zhì)。

（責(zé)編 童 夏）