初一學生有理數概念理解現狀的研究

吳文靜+黃秦安

[摘 要] 有理數是初中數學學習最重要也最基礎的內容. 筆者從有理數概念角度出發，分三個方面調查了學生有理數理解的現狀，結果發現學生對有理數的符號“+”“-”以及絕對值、倒數、相反數和度量結構的掌握均不理想，而對有理數稠密性的理解卻超越了一般期望值. 并且男女生在有理數概念的學習上，沒有顯著的性別差異.

[關鍵詞] 有理數概念；數學理解；數學教學

問題的提出

學生在小學高年級已經接觸了分數，理解分數是學習有理數的開始，而有理數又是代數學習的基礎. 從課程標準中也不難發現，有理數在初中生的數學學習中占據著非常重要的地位. 《義務教育數學課程標準（2011版）》（以下簡稱《標準》）強調要理解有理數的意義，借助數軸理解相反數和絕對值的意義，掌握有理數運算的法則. 在實際教學過程中，由于考試的導向作用和教師的教學習慣，教師往往把有理數的運算放在最為顯著的地方，而相關概念和基本認識卻被認為是“無所謂”的東西. 搜集有關有理數的研究發現，它們多為有理數運算方面的研究，并且這些研究一致認為，學生在有理數運算方面存在較多問題，究其原因，是學生對符號“+”“-”的兩種屬性、絕對值等概念理解得不夠透徹、清晰.

在國外，關于有理數教學和理論研究的關注點恰與我國相反，他們更強調對基礎概念的理解，《美國學校數學教育的原則和標準》就指出：在初中，學生應擴展對有理數的意義、表征形式及使用的理解，應該認識并能運用分數，不能只是像在低年級所學到的那種意義——一種度量、數量、整體的一部分、數軸上的一點以及表示除法，而要擴充數的意義去包括新的內容. 如應接觸涉及比的問題、比率的問題和算子的問題（例如乘的意思是得到原數的八分之三）等.

在數學體系中，數學概念是最基本的構成元素，它是反映事物在空間形式與數量關系方面的關鍵屬性或本質屬性的基本單位，掌握了一個數學概念，也就意味著掌握了一類事物的本質. 因此，對于數來說，運算應該是基于概念理解的.

綜上，調查學生對有理數相關概念的理解非常有必要，這不僅是新課改和素質教育的要求，而且通過調查結果可以更加清晰地看到學生的理解障礙是什么，從而幫助教師在這部分教學過程中調整教學策略，著重對學生困惑的地方進行有針對性的講解與訓練，提高學生對有理數的理解. 獲得概念的理解性掌握，不僅能減輕有理數運算學習的負擔，而且能幫助學生積累數學活動經驗，提高數學素養.

研究方法

本次調查選取的對象是深圳市沙井中學初一（1）、（2）班的學生，問卷共收回74份，有效問卷63份. 調查在2016年1月初一上學期即將結束的時候進行. 測試時間為45分鐘.

結合前面對《課標》的分析，將問卷內容分為三部分（共6道大題）.

1. 有關有理數的符號及相關概念：“+”“-”、絕對值、相反數、倒數. 《標準》中關于有理數的部分指出，學生要理解有理數的意義，理解相反數和絕對值的意義. 這是從整體上理解有理數的基礎.

2. 有理數的子結構：西方學者認為有理數不是一個單獨的結構，他們普遍認為有理數的子結構包括部分—整體子結構、度量子結構、商子結構、比子結構和算子結構. 但是綜合我國的有理數教學實際，只選取其中的度量和商兩種與四則運算相關性較大的子結構對學生進行測試，包括3～4題.

3. 有理數的稠密性. 有理數集是學生數學學習中接觸到的第一個對加、減、乘、除四則運算均封閉的稠密集，雖然我們不可能通過嚴格的證明來幫助初一學生掌握，但是理解這樣一個基本事實卻是非常有必要的，對學生數學思維的發展及無理數的學習有重要意義. 并且學生對有理數稠密性的理解可能會受自然數集離散性的影響. 包括5～6題.

測試完成后，對前三個題目進行賦分，未回答或者答錯記為0分；回答不全面記為1分；回答完全正確記為2分. 特別地，第四題為選擇題，A、B、C三個選項對有理數商子結構的理解是逐漸深入的，因此分別賦1、2、3分. 第5、6題不予賦分，單獨進行統計. 數據用spss22.0進行處理、分析.

調查結果統計與分析

1. 各題簡單統計結果分析

為了了解學生在各題上的得分情況，首先對前四題數據進行頻數統計，如表1.

從表1我們可以看出學生對Q4（有理數商子結構）掌握最好，平均得分率達到94.33%，標準差也是最低的，只有0.4593，說明學生對有理數商子結構的掌握普遍偏好. 有理數的商子結構主要測試的是學生對分數、小數以及百分數等的認識及其之間的轉化，《美國學校數學教育的原則和標準》中強調：靈活處理有理數的關鍵在于對分數、小數和百分數的不同表征有堅實的理解. 學生應該理解，0.4，40%代表的是同一個數，同時在不同的情境中，學生應該能夠區分各種表示的優缺點，選擇合適的表征表示相應的數學對象.

其次，學生在Q1（有理數的兩個重要符號“+”“-”）上的得分率為77.77%，標準差為0.6164，說明學生的掌握程度是比較一致的，但是這一掌握程度比我們預期的要差，“+”“-”作為有理數兩個最重要也最基本的符號，應該每個學生都熟悉，特別是它們作為運算符號是從學生一接觸數學就開始認識的，而“+”“-”作為性質符號，雖然從學生學習負數才開始認識，經過初一一學期的學習與練習，學生也應該熟練掌握. 此外，對于“-”，還有另外一種意義，表示相反數. 比如，對于a，-a表示a的相反數；對于-a，-（-a）表示-a的相反數. 但是，在數據統計過程中，發現沒有學生想到“-”的這一層含義. 因此，在教學過程中，教師不應該只強調數的運算，對于一些重要符號的本質也應該向學生解釋清楚，幫助學生深層次地理解有理數.

相比之下，學生對Q2（學生對絕對值、倒數、相反數的認識）、Q3（度量子結構）的掌握則非常差，平均得分率分別只有51.59%和41.67%，得分的離散程度也非常大，分別為2.1903和1.0160，這從每題的最高分和最低分也可以很容易看出（Q2的最高分為6，最低分為0；Q3的最高分為4，最低分為0）.

在Q2中，大部分學生對a=-a的理解僅停留在絕對值的符號化表示的形式（a=-a表示a的絕對值為-a）上. 當然我們知道，這不應該是學生理解的終點，北師大版七年級上冊教科書中對絕對值性質的描述為：一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零. 在這63位學生中，只有10人（占比15.87%）能夠推出a為負數或0. 而對相反數和倒數的測試（ab=1，a+b=0），有不少學生直接解釋為a乘b的積等于1， a加b的和等于0. 從這個答案我們可以看出，學生并沒有深入地理解這個數學對象，對倒數和相反數的符號化表示比較陌生，只看到了這兩個式子的外部形式.

Q3是該問卷中正確率最低的一道題，通過分析學生的答案可以看到，學生對有理數的度量結構理解得很不到位. 比如，在兩個小題中，分別有31人（49.2%）和32人（50.8%）得到的答案分別為6和10. 原因是學生選取一小格為一個單位長度，那么Y到O點的距離是6個單位長度，所以是6，同理得到第二問為10. 我們可以很明顯地看到學生的一個思維定式是，當取一小格為單位長度時，學生默認這個長度為1，而忽視了數軸上已經給出的兩個端點的值；還有部分學生只給出了距離的一般表示Y-0和X+Y. 另外，有個別學生直接通過直尺測量的方式，得到兩個距離分別為4 cm和7 cm，也就是說，還有學生對距離的理解只停留在物理測量上.

通過上面的分析我們可以看出，學生對有理數概念理解的總體水平不盡如人意，并且學生之間的理解水平差距也比較大. 學生升入初中后，數學學習內容的難度比小學數學的難度大很多，有些學生在數學學習上已經有了力不從心的表現. 因此，教師在教學之余，應該格外關心學生的學習狀態，幫助學生從小學數學成功過渡到中學數學的學習.

2. 性別因素對有理數概念理解的影響分析

（1）性別因素在Q1～Q4上的差異性分析

為了測試性別對各題得分的影響，我們可以考慮對性別因素進行獨立樣本t檢驗. 因此，首先要檢驗數據的正態性. 我們發現四個題目的男、女生成績均不服從正態分布（顯著性均小于0.05），因此，我們改用非參數檢驗方法：曼—惠特尼U檢驗，結果如表3.

從表3中我們可以看出，四個題目的曼—惠特尼U系數分別為U=427.500，U=421.000，U=477.000，U=456.000，并且四道題的顯著性概率分別為P=0.296>0.05，P=0.296>0.05，P=0.763>0.05，P=0.377>0.05. 因此，四道題中，男、女生的成績均沒有顯著性差異.

（2）性別因素在總成績上的差異性分析

首先對總成績數據進行正態性檢驗，得到男、女生總成績分別服從正態分布（P（男）=0.120>0.05，P（女）=0.117>0.05），因此，可以對總成績進行獨立樣本t檢驗，結果如表4.

由表4可知，雙側假設檢驗結果是P=0.465>0.05. 因此，總成績的性別差異不顯著，即男、女生的平均成績在統計學意義上是相等的. 且通過計算得到性別因素對總成績的實際影響效應η2=0.009<0.01，也就是說，成績差異中今有0.9%的變異是由性別差異引起的，從而性別差異對學生總成績幾乎沒有什么影響.

3. Q5與Q6的關聯度分析

Q5與Q6均是關于有理數稠密性的測試，Q5側重于數字角度，Q6側重于字母角度. 學生在初一上學期正式開始代數學的學習，部分學生對于字母表示數感到難以理解，從這一角度來看，兩個題目的難度是逐漸遞進的. 但兩道題又具有很大的相似性，學生的回答應該也具有相關性.

由于兩個題目各四個選項，有四個單元格（50%）的期望計數少于5，這一比例超過了20%的臨界值. 因此，我們使用費希爾精確檢驗（Fishers exact test），結果如表5.

通過檢驗發現，學生在兩個題目的回答上相互獨立，即沒有顯著性差異（P=0.259>0.05）. 結合前面的選項頻數統計，無論是基于數字的還是基于字母的，學生對有理數稠密性的理解都已經達到了一定的高度.

通過前面的分析，男、女生在各種得分上均無顯著性差異. 也就是說，男、女生對這部分內容的掌握程度是相當的，這也比較符合義務教育階段課程的性質和設置目的. 《標準》指出：義務教育階段的數學課程是培養公民素質的基礎課程，具有基礎性、普及性和發展性. 因此，無論是男生還是女生，學習效果應該是相當的. 另一方面，既然課程具有基礎性的特點，特別是初一數學課程的基礎性更強一點，那么從整體答題情況來看，學生顯然沒有達到這一要求，這應該引起學校教師的重視.

結論及建議

有理數可以說是初中數學最重要、最基礎的內容，但它的掌握卻不那么容易. 通過研究，我們得到如下結論：

學生對“+”“-”作為運算符號和性質符號的兩種意義只有一半左右的學生能夠完全掌握；對絕對值、倒數和相反數的掌握不好.

學生對有理數度量子結構掌握得非常不好，較難把握度量單位與已給定值的關系；但對有理數的商子結構掌握較好，對分數、小數以及百分數等的關系理解較完整.

從學生對Q5和Q6的回答來看，無論是基于數字的還是基于字母的，學生對有理數稠密性的理解都不錯，給出的解釋也比較新穎，有一定的深度，并且學生對這兩個問題的回答是相互獨立的.

對于前四個題目及其總分來說，性別因素在得分貢獻率上均處于不顯著水平，即男、女生的回答沒有顯著性差異.

本次調查時間處于初一上學期期末考試前夕，學生復習任務繁重，不乏有學生對問卷應付了事. 因此，學生對有理數概念的真實掌握情況應該比問卷反映的結果要稍好一些，但也不容樂觀. 針對上面反映出來的情況，我們給出如下建議.

1. 明確新舊知識的聯系與區別，幫助學生建立新的認知結構

有理數的學習擴展了學生對數的認識. 學習有理數，最重要的就是把負有理數同化到正有理數的認知結構中去. 這一過程的難點就是要讓學生理解“+”與“-”作為運算符號和性質符號，擁有兩種不同角色. 因此，對于不同狀態下的兩種符號，教師要幫助學生理解它們的性質與特點，耐心地引導學生進行區分.

其次，對于任何一個有理數，我們都可以在數軸上找到它的一個對應點. 在數軸上，負有理數是0左邊的數，在數軸0的右側有一正有理數，那必然在0的左側有一負有理數，該負有理數的性質和正有理數的性質正好相反. 因此，教師可以利用這種關系，對負有理數進行加工、改造，幫助學生建立起正有理數與負有理數之間的聯系.

2. 提供足夠的直觀材料，豐富學生的活動經驗

在皮亞杰的認知發展理論中，12歲左右的學生正處于從具體運算階段向形式運算階段的過渡時期，處于這一階段的學生的抽象思維還沒有正式形成，他們只能聯系具體事物進行思考，思維的內容與形式尚未分離. 因此，在教學過程中，教師應盡可能提供一些直觀的學習資料，讓學生能夠從具體的事物和材料出發進行思維，通過對直觀材料不斷地重新建構，逐漸在學生頭腦中形成對知識的抽象表征，完成對新知識的心理建構. 比如，可以通過溫度計引入數軸的概念等. 同時，以實物為支撐的抽象化過程，又能促進學生抽象思維能力的發展.