實施概念教學五步走，突破平方根教學難點

張青

[摘 要] 數學是由概念與命題等內容組成的知識體系，概念教學是中學數學教學的重要內容，是基礎知識和基本技能教學的核心. 正確理解概念是學好數學的基礎. 概念是數學內容的基本點，概念的學習是數學學習的核心，概念課的教學是教師落實基礎的關鍵，是學生打好基礎的首要環節. 概念課也是中學數學教學中的一種主要課型，本文以概念教學的基本步驟淺談浙教版七年級上“3.1平方根”教學.

[關鍵詞] 數學概念教學；鞏固概念；形成過程；平方根

在本校的一次“3.1平方根三段兩反思”教研活動中，陳老師在筆者所在班級開設了一節公開課，學生課堂反應靈敏，回答積極，課堂答題正確率高，教學內容充實，竊喜學生對這節內容掌握得不錯. 課堂作業批改時卻發現學生有多種錯誤，心里甚是疑惑，于是作業訂正課和學生來了一次對話. （典型錯誤如圖1）

師：昨天的課你們沒有聽懂嗎？

生（齊）：聽懂了.

師：那昨天的作業怎么錯了那么多？

生（齊）：回家做作業時我們都忘了. （一臉無辜）

反思？搖 對于本節概念教學，造成學生作業錯誤率較高的原因主要是學生沒有掌握概念本質，教師只是被學生的課堂反應所迷惑了. 課改下我們的課堂形式多樣，內容充實、題量大，很多老師求新求異，學生大多還是在模仿，被動地接受新知，根本沒有理解概念本質，所以學生很快便遺忘了新知. 教師只有把概念講清楚，學生真正理解了，才能一帆風順地解題.

“3.1平方根”概念教學課不僅抽象，而且是教學難點. 由于數學概念的抽象性，數學符號也高度抽象，不僅使得學生學習這部分內容時普遍感到比較困難，而且教師在教學這些內容時，也覺得不滿意. 這樣的抽象概念課“傳統五步法教學”還是值得借鑒. 概念課教學不應該追求花哨偏難，概念教學是很多課程的基礎，因此，在教研組議課時對陳老師的課進行了修改，本文以浙教版“3.1平方根”改進課教學為例，談抽象類概念教學課的五步走.

情境激發，巧設問題，引入概念

初一學生的認知以直觀為主，在教學中應創設一定的直觀情境，借助問題引導，讓學生形成過渡，從而認識概念. 引入是概念課教學的第一環節，概念教學的引入方法有多種，一個好的問題情境對學生理解新的數學概念、形成新的數學原理、產生新的數學公式，或蘊含新的數學思想會有積極的促進作用，更能激發由情境引起的數學思考. 例如“3.1平方根”概念教學引入：教師通過讓學生折紙活動順勢引入以下問題，激發學生探求新知的欲望.

問題？搖 如圖2，有一個邊長為2的正方形.

（1）你能用它折一個面積為1的正方形嗎？說說你是怎么折的. （答案如圖3）

（2）你能用它折一個面積為2的正方形嗎？若能，說說你是怎么折的. （答案如圖4）

（3）你知道這兩個面積為1和2的正方形的邊長分別是多少嗎？

這樣的導入揭示了新知識產生的背景，同時又具有較強的認知沖突. 面積為1的正方形的邊長，學生很容易根據平方的意義求出，但面積為2的正方形的邊長，學生就不容易求出了. 這樣的情境激發了學生的好奇心，調動了學生學習的積極性，從而引導學生解決這個問題的本質，即求平方等于1和2的數. 教師順勢引出平方根的概念，利用學生熟悉的情境和知識使這樣一個抽象概念更容易理解.

剖析概念，突出本質，發展學生

的抽象思維

數學概念是用精練的數學語言表達出來的. 在教學中，抽象概括出概念后，還要注意深入剖析概念的定義，幫助學生進一步理解概念的含義，這一環節是這節課的重點. 像“平方根”這類數學名稱，直接講授，抽象難懂，學生不易接受，因此對平方根概念的分析要舍得花時間弄清概念的本質以及概念的符號語言，并強調規范書寫. 本節課的主要內容是讓學生理解平方根和算術平方根的含義，并能熟練地用文字語言和數學語言兩種不同的方法表示出來，掌握平方根的符號表示，能正確區分平方根與算術平方根，知道兩種符號的含義，并熟練求一個數的平方根. 教師應充分讓學生理解文字語言的意義，并準確、嚴格地寫出符號語言. 如平方根概念的文字語言：如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 為了讓學生充分理解文字語言的意義，應多舉一些例子，如教師安排了如下兩個問題：

（1）請分別說出49，4，0的平方根；

（2）什么數的平方等于-4？

解 （1）因為（±7）2=49，所以 49的平方根是±7. 因為（±2）2=4，所以4的平方根是±2. 因為02=0，所以 0的平方根是0.

本環節，教師首先讓學生對平方根概念進行正說與逆說（±7是49的平方根，49的平方根是±7），加深其對平方根概念的初步理解，并用具體的例子幫助學生形成抽象思維. 在學生掌握了平方根概念的基礎上，教師進一步提出問題：我們所學過的數都有平方根嗎？如果有，有幾個？本環節安排學生以小組形式進行討論研究，這里其實涉及分類討論的思想，教學中不僅要注重對知識的講授，還應對學生進行數學思想方法的滲透. 學生很快就討論出了只有非負數才有平方根這一結論. 接著，筆者讓學生觀察并總結平方根的性質：一個正數有正、負兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根. 平方根的概念也是一個描述性的概念，具有抽象性的特點. 在教學過程中，我們一定要揭示概念的發生過程，逐步地理解它、掌握它， 抓住概念的本質屬性，讓學生經歷從量變到質變的過程，從而突破抽象，引導學生回憶學過的互逆運算，使學生意識到本章的學習是前面所學知識的一個再發展. 開平方和平方運算的關系：求一個數的平方根的運算叫做開平方，開平方是平方運算的逆運算. 接著，教師提出問題：平方根概念的符號怎么表示？

學生對平方根概念的理解經歷了由文字語言到符號語言的轉化，由直觀到抽象的轉化，然后在上面敘述的基礎上提出平方根概念的符號表示方法后，再次利用所舉的上列等式，提出問題：請你用符號語言表示等式右邊各數的平方根，并計算出結果. 通過學生正、反兩面多次的敘述，達到了由量變到質變的過程，幫助學生建立了符號感.

學用結合，鞏固新知，理解概念

本質

對于任何一個概念，新知形成以后都要加以鞏固，鞏固應該分兩塊，一是精選例題，然后分析、理解題意，明確解題方向，再師生互動解題，并規范步驟，最后總結反思；二要跟蹤練習，及時鞏固. 所選例題要具有典型性和代表性，課本的例題都是精挑細選的，教師要認真分析課本上的例題，體會編者意圖，發揮好例題的功能，也可以根據學情適當增減. 分析例題時，要明確各例題之間存在著某種邏輯聯系，只有這樣，才能構成一個整體，完成概念的應用與鞏固. 我們既要理解例題的內涵，又要把握幾個例題的整體關系. 本節例題教學如下.

這里只選第（2）小題規范書寫，教師在課堂上每一小題都要求規范書寫，也可示范一題然后學生說、教師寫，這個例題既涉及整數，又有分數和小數，加深了學生對平方數的熟悉度，既有文字語言，又有符號語言，讓學生更進一步理解了平方根的意義. 教師講完例題后還補充了一個問題：11的平方根是多少？讓學生明確了不是平方數的平方根的表示形式，進一步理解平方根的符號意義. 例題解完還應回過頭來梳理一下解題過程，把解題格式程序化，便于操作. 師生完成例題后，配置了模仿性的練習，如下：

練習題讓學生在練習本上規范書寫，再投影展示寫得比較規范的同學的作業，以及其他出現的問題，教師在巡視檢查中發現了一些典型錯誤，此時應立即找出原因并予以糾正，并進行總結與反思. 課堂上，有時錯誤資源可以很好地加以利用. 在概念教學中，決不能單純地進行抽象的概念挖掘，必須注重應用，體現學以致用的教學原則，通過應用，讓學生進一步理解概念、深化概念、鞏固概念，掌握運用概念解題的方法. 課堂練習不僅是學生練習、鞏固的必要過程，而且是教師檢測學生對所學內容掌握程度的一個重要手段，是收集學情信息，及時反饋的一條重要途徑. 待學生熟悉平方根的概念和意義之后，教師便可以水到渠成地直接引出算術平方根的概念和意義了.

概念：正數的正的平方根稱為算術平方根；0的算術平方根是0.

熟練平方根和算術平方根的概念后，教師需進一步讓學生理解概念的本質意義，可設置如下例題（并要求學生會讀）.

綜合運用，拓展提升

概念教學中要通過一定的練習來掌握、鞏固概念. 練習也是學生掌握基礎知識和技能，培養和發展學生思維能力的重要手段. 練習要明確，具有針對性，突出重點，幫助學生理解已學的概念，發展學生的思維. 例如，為了幫助學生鞏固平方根概念和形成基本技能，在每一個例題后我們都設置了針對性練習；為了幫助學生分清容易混淆的概念，可以設置對比練習， 數學的很多概念，它們之間既有聯系又有區別，學生容易混淆，教學中教師應引導學生進行比較，區分兩種概念的異同. 針對第一節課作業本上出現的錯誤——平方根和算術平方根的混亂，筆者在本節課設置了表1，以區分算術平方根和平方根之間的關系. 教師先讓學生填表，師巡視，再找有典型錯誤的同學進行板演.

為了培養學生的數學思維能力，實現由技能到能力的轉化，在學生已基本掌握平方根概念和初步形成一定的技能之后，筆者設置了如下一組綜合練習，使學生進一步深化平方根的概念，提高其解題的靈活性.

1. 判斷正誤，并把錯的改正.

（1）-9的平方根是-3.？搖（ ）

（2）49的平方根是7.？搖（ ）

（3）4的平方根是±2.？搖（ ）

（4）7是49的平方根.？搖（ ）

2. 填空.

（1）若x2=16，則x=______.

（2）已知2a+3的平方根是±3，則a=______.

3. （1）你知道的平方根是多少嗎？

（2）已知某個數的平方根是2a+3和3-5a，求這個數.

1題可以利用反例對平方根的概念進行鞏固，讓學生在辨析的過程中鞏固概念、掌握概念. 這三道題可以讓學生先獨立思考，探求解題方法，讓學生體驗一下方法形成的過程，經歷探求的途徑. 在解題方法與途徑的探究過程中，教師要給予時間和空間，在這個時間和空間里，教師只能是啟發，引導他們去實踐，通過師生互動、思想碰撞，來達到交流和溝通. 當學生深刻理解了平方根的意義后，本組習題學生就不難找到解題途徑了. 接著，可讓學生先嘗試解決.

課堂小結，深化提高

課堂小結對一節課起著畫龍點睛的作用，應該從知識體系和思想方法上都給予總結，可以采取開放式，讓學生自己談感受，教師引導學生抓住本質，進行有效總結. 在平方根這節課中，教師可從以下幾個方面進行課堂小結.

1. 平方根：±（a≥0）？搖和算術平方根：（a≥0）的符號語言以及意義.

2. 平方根的性質： 一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.

3. 思想方法：分類討論思想.

最后，教師拋出一個問題：你現在知道面積為2的正方形的邊長了吧？想一想：這個邊長介于哪兩個相鄰整數之間？這個問題既解決了課前的情景創設，又引發學生積極思考，使學生意識到此問題的實質是求1和2的平方根，應用所學知識得以解決，起到了前后呼應的作用，而且為下節實數的講解做了鋪墊，能讓學生體會到知識之間的連續性.

總之，概念課的教學應精心設計，努力做到：生動恰當地引入概念；準確細致地講清概念；在靈活運用中鞏固概念；在綜合運用中深化概念. 只有這樣，才能提高概念課的教學效率. 特別是對于基礎較差的學生，教師要用基礎性的問題來引導他們應用，在分析和解決問題中要鼓勵他們描述概念，解決問題后還要進行總結. 教師在教學過程中也不應只注重對知識的講授，還應該注意在教學過程中對學生進行數學思想方法的滲透.