理性回歸：初中數學教材使用中的生態環境探析與優化

呂亞軍+顧正剛

[摘 要] 初中數學教材使用中的生態環境是和諧統一的生態環境，是動態平衡中的生態環境，是可持續發展的生態環境. 初中數學教材使用應理性回歸教材：融入信息技術，點亮數學課堂；依托數學教材，尋根問題本質；以“疑”為媒介，剖析數學教材；讓探究成“常態”，彰顯教材內涵.

[關鍵詞] 初中數學教材；生態環境；優化；理性回歸

《義務教育課程標準》（2011版）（以下簡稱《課程標準》）提出：“數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源. ”數學教材是數學課程理念的基本物化形式，是學生學習數學、教師教授數學最基本的藍本. 在所有合適的數學學習資源中，數學教材是最主要的. 數學教材體現了數學學科的價值，作為課程標準化的產物，其既是教師教的重要資源，又是學生學的主要依據. 本文從生態學視角分析初中數學教材的使用環境，以期為教學提供借鑒.

初中數學教材使用中的生態環

境探析

1. 和諧統一的生態環境：遵循教育教學規律及注重學生身心協調發展

生態學原理提示：生態系統中各單元和因子之間互相聯系、互相作用和影響，在功能上組成一個統一的整體. 整體統一性不是各種組成成分簡單地疊加，而是相互聯系、相互制約形成的新的集合體，它具有各種組成成分都不具有的新特點和新功能. 生態式教育非常強調促進人的創生，而這又依托于相互作用. 我們知道，教學中的相互作用，不僅包括教師和學生之間，還應該包括教師與教材以及學生與教材之間的相互作用.

2. 動態平衡中的生態環境：教材結構、功能的提升與完善

初中數學教材使用中的生態環境也處于不斷變化中，內、外部生態環境改變會影響原有的平衡狀態，但經過適當的調節，教材結構與功能會達到新的平衡狀態. 比如運用信息化手段整合課堂教學、對教材中提出的問題進行常態化探究等，此時原有的教材內容、結構及功能都得到了提升與完善，教材使用中的生態環境會進入更高層次的動態平衡中.

3. 可持續發展的生態環境：注重多方因素協調

初中教材使用中需要考慮多方面的因素，如教師方面：教師對數學教材的理解，對學生的認知水平、知識儲備的熟悉程度等；學生方面：學生的學習目標、方法、特點等；教材的課堂呈現方式；課堂互動等，只有使各因素都處于最佳狀態，才能取得良好的教學效果，進而順利達成教學目標. 因而使用初中數學教材時，應協調多方因素，培養學生的學習興趣，提升學生的數學素養，實現可持續發展的教材使用生態環境.

理性回歸：初中數學教材使用

中的生態環境優化策略

1. 融入信息技術，點亮數學課堂

大數據時代的來臨，各種信息技術的普及，無疑給教材使用、課堂教學帶來了巨大的沖擊. 《課程標準》提出要充分考慮信息技術對數學學習內容和方式的影響，開發并向學生提供豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去. 信息技術與課堂教學的融入，正引發教材使用生態環境從沖擊后的失衡狀態，進入更高層次的動態平衡中，促使學生數學學習方式的革新及對知識更深層次的理解.

今年筆者有幸聽過一位數學骨干教師開設的公開課. 教師在講解圓的切線長定理，利用教科書上的練習題進行鞏固訓練時，運用GeoGebra軟件引導學生進行探究教學，節錄如下.

師：（蘇科版《九上》第2章P74習題13）如圖1所示，四邊形ABCD的各邊與⊙O分別相切于點E、F、G、H，AB、BC、CD、DA之間有怎樣的數量關系？為什么？

（教師通過GeoGebra軟件操作，在四邊形的各邊與圓相切的前提下，任意改變圓的大小及四邊形的大小，學生觀察，教師操作）

師：從剛才我的操作過程中，請你猜測一下AB、BC、CD、DA之間有怎樣的數量關系.

生1：我覺得四邊形ABCD中AB與CD的和應該與AD與BC的和相等. （如圖2）

（教師再次任意改變圓的大小及四邊形的大小，教師引導學生觀察代數區，AB、AD、BC、CD，L1（AB+CD）、L2（BC+AD）的大小變化，同學一致認同圖中無論圖形如何變化，都有結論AB+CD=BC+AD成立）

師：在剛才的探究過程中，大家都認可得出的結論，請問如何通過演繹推理證明此結論呢？

（學生思考中）

生2：根據剛才講的切線長定理，可得AH=AG，BH=BE，CE=CF，DG=DF，則有AH+BH+CF+DF=AG+BE+CE+DG，即AB+CD=BC+AD.

師：很好！大家能否用一句話來描述這道題的結論？（學生討論）

教師引導得出結論：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.

師：從剛才這道題的講解中，你還能提出怎樣的問題？大家可以討論一下. （學生討論中）

生3：本題是圓的外切四邊形，得出了剛才的結論，那么題目如果改為圓的外切六邊形、八邊形，會有類似的結論嗎？甚至可以推廣到圓的外切偶數邊形是否有類似的結論.

師：這位同學的問題提得很有價值，值得探究. （教師用GeoGebra軟件畫出圓的外切六邊形，如圖3，學生探究得到AB+CD+EF=BC+ED+AF，教師提出課后大家去研究證明方法，并思考外切八邊形、外切偶數邊形是否有類似的結論）

評析？搖 在講解例題時，教師運用了GeoGebra軟件，教師通過引導，結合信息技術手段，讓學生從動態的視角，去觀察原先靜態的幾何問題，合情推理得出結論，即圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等，并給予演繹推理論證. 接著教師引導學生類比推廣到圓的外切六邊形、八邊形、偶數邊形等情況. 正如學者伍春蘭所說：“信息技術本身并不會自動產生教育作用，只有同一定的教育內容、教育目標、教學組織形式、教學方法等聯系起來時，其教育價值才能表現出來.”

2. 依托數學教材，尋根問題本質

數學教材“是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源”，是聯結“數學課程目標”與“數學課堂教學”的最主要橋梁. 從生態學角度看：生命的重要特性是有機性，本質是內在的關聯. 生態系統中的所有成員是以一個網狀的關系而使彼此相互關聯，所有的生命歷程皆相互依賴. 縱觀歷屆中考試題，“依綱扣本”是命題的主方向，“源于教材，高于教材”似乎已成為一條不變的“真理”.

比如2014年四川自貢數學中考題第23題——

閱讀理解：如圖4，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A，B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”.

解決問題：（1）如圖4，若∠A=∠B=∠DEC=45°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；

（2）如圖5，在矩形ABCD中，A，B，C，D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖5中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點；

（3）如圖6，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB與BC的數量關系.

評析 本題屬于閱讀材料題，要求學生能看懂題意. 問題（1）要證明點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，在證明的過程中需運用∠DEB=∠A+∠ADE=45°+∠ADE，又∠DEB=45°+∠BEC，從而得到∠BEC=∠ADE，得證. 問題（2）的原型是蘇科版教科書九年級下第65頁練習5：如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點D. （1）△ACD與△CBD相似嗎？為什么？（2）圖中還有幾對相似三角形？是哪幾對？此題只需以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的交點即可. 問題（3）屬于對折問題，在蘇科版教材第70頁教材中安排了一個數學活動，設計了一個折紙專題，本問題的解決實質就是運用軸對稱性質，并利用相似三角形的性質求解.

3. 以“疑”為媒介，剖析數學教材

《課程標準》提出：“教材的編寫要面向全體學生，也要考慮到學生發展的差異，在保證基本要求的前提下，體現一定的彈性，以滿足學生的不同需求，使不同的人在數學上得到不同的發展，也便于教師發揮自己的教學創造性. ”教材在編寫時，新授概念、定理、公式有時會留給學生探究和思考的空間，不一定都給出詳細的介紹及推導過程，教師在教學中要整體把握教科書的編寫思路，深入挖掘教科書中蘊含的觀點和思想方法，充分理解教材編寫的用意，引導學生善于提出問題，培養問題意識.

蘇科版九年級上冊“圓周角”一節教材給出了圓周角定理：“同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半. ”對于本定理，教材沒有給出其他說明，教學實際中很多學生對此定理的理解比較模糊. 筆者聽到一節優秀的公開課，教師在講授時的處理過程節錄如下.

師：同學們，針對這條定理的理解，可以把定理拆分成哪幾個問題？

生1：同弧所對的圓周角相等，且它們的度數都等于該弧所對的圓心角的度數的一半？

生2：等弧所對的圓周角相等，且它們的度數都等于該弧所對的圓心角的度數的一半？

師：很好，剛才兩位同學將定理根據自己的理解進行了梳理，提出了兩個問題，請大家思考如何解決？

評析？搖 教材的編寫往往會給教師和學生留下廣闊的“生態空間”， 讓教師和每個學生都能在自己的“生態位”上有所發展. 本定理的表述非常精煉，對于初學者來說理解還是比較困難的，為了讓學生能深刻理解，教師采取讓學生嘗試將定理拆分提出問題，通過引導學生經歷質疑、探索、推理等過程，讓學生自己建構個人新的知識體系，培養學生的批判性思維. （此定律在蘇科版2014版本做了改進，為“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等”）

4. 讓探究成“常態”，彰顯教材內涵

在教學中要充分挖掘教材中的探究素材. 教材中有很多例題、習題都是很好的探究素材. 教學中，教師往往會忽視教材中例題、習題的潛在教育功能，常常就題論題，或者因為題目“簡單”而一帶而過，缺乏對例題和習題的深入研究、引申、推廣，其實應充分挖掘例題和習題中蘊含的數學思想方法、數學本質、文化背景和情感、態度、價值觀，充分調動學生的積極性，激發學生的求知欲，培養學生的創新意識及數學思維品質，在教材的使用方面，為學生的發展提供可持續的生態教學環境.

筆者聽了一節市級公開課，教師舉了蘇科版九年級上冊第一章習題1.3第7題為例——在正方形ABCD中，（1）如圖11，點E，F分別在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足為點M，求證：AE=BF. （2）如圖12，如果點E，F，G分別在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足為點M，那么GE，BF相等嗎？證明你的結論. （3）如圖13，如果點E，F，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，垂足為點M，那么GE，HF相等嗎？證明你的結論. （學生易解決，教師將習題進行改編）

問題1？搖 如果將原題進行改編，將（1）（2）（3）中的條件和結論互換，是否仍然成立？（結論仍然成立，學生易解決）

問題2？搖 現將原題中（1）（圖11）中的線段BF向右平移到EN，連接CN，其他條件不變，如圖14，∠NCH是否為定值？如果是，求出此定值.

對于問題2，學生給出了如下兩種方法——

方法1：如圖14，在AB上取點K，使得AK=CE，易得△AKE≌△ECN，所以∠AKE=∠ECN=135°. 所以∠NCH=45°.

方法2：如圖15，連接FN，過點N作NG⊥CH，易得FN=NG，所以∠NCG=45°.

問題3？搖 如圖16，已知矩形ABCD.

（1）如圖16，點E，F分別在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足為點M，AD=kAB，求證：BF=kAE.

（2）如圖17，如果點E，F，G分別在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足為點M，AD=kAB，那么BF=kGE嗎？證明你的結論.

（3）如圖18，如果點E，F，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，垂足為點M，AD=kAB，那么HF=kGE成立嗎？證明你的結論. （結論仍然成立，學生易解決）

問題4？搖 如果將問題3進行改編，將（1）中的兩個條件AE⊥BF，AD=kAB，BF=kAE任意兩個作為條件，另一個作為結論，是否成立？請說明理由. 類似地，（2）和（3）中是否也有類似的結論？并說明理由（結論均成立，學生易解決）

問題5 ？搖現將問題3中（1）（圖16）中的線段BF向右平移到EN，連接CN，且AE⊥BF，垂足為M，AD=kAB，如圖19，∠NCH是否仍然為定值？如果是，求出tan∠NCH.

對于問題5，學生給出了如下兩種方法——

方法2：如圖20，連接FN，過點N作NG⊥CH于點G，設BE=FN=CG=x，容易證得△ABE∽△EGN，所以NG=kx，tan∠NCH=k，為定值.

評析？搖 課本例題、習題作為滲透新理念、傳授知識、培養能力的主要載體，教師應進行充分挖掘和研究，為學生創設合理的學習情境，構建開放的學習環境.

結束語

教材作為教師教和學生學的載體，對教材的研究是否到位，能否充分發揮教材的作用，直接影響教師的課堂教學質量，直接影響學生對數學本質的掌握情況. 因此，教師應樹立科學的教材觀，不斷提高自身的數學素養，深入理解和把握教科書的潛在價值，優化教材使用中的生態環境，使教科書真正成為學生學習和教師教學的重要課程資源.