狀態依賴的隨機干擾對一類流行病模型的影響

趙延輝，魏鳳英

(福州大學數學與計算機科學學院，福建 福州 350116)

狀態依賴的隨機干擾對一類流行病模型的影響

趙延輝，魏鳳英

(福州大學數學與計算機科學學院，福建 福州 350116)

研究了一類狀態依賴的隨機干擾對流行病模型的影響，討論了具有飽和發生率的流行病模型的絕滅性及平穩分布.根據伊藤公式及構造的李雅普諾夫函數，證明了解的存在唯一性.主要研究結果說明：在適當的充分條件下疾病會滅絕；該模型存在一個遍歷的平穩分布；利用傅里葉變換，得到了解在地方病平衡點漸近服從三維正態分布.數值模擬驗證了所得結論的有效性.

隨機擾動；流行病模型；飽和發生率；平穩分布；正態分布

0 引言

1992年，Mena-Lorca等[1]在假設種群密度并非恒定不變，且易感者具有常數輸入率，部分感染者在恢復后具備免疫能力情形下，討論了雙線性傳染率的流行病模型

(1)

其中：S(t)，I(t)與R(t)分別代表t時刻易感者、感染者與恢復者的數量；A表示易感者的常數恢復率；β是疾病的傳染率，βS表示單位時間內被一位感染者所傳染的人數，βSI是單位時間內被所有感染者所傳染的人數；μ表示平均自然死亡率；ρ是感染者的因病平均死亡率；δ是免疫喪失率；γ為感染者的恢復率.

(2)

對模型(2)引入線性隨機白噪聲干擾項，即隨機干擾是狀態變量S，I，R的線性函數，得到干擾后的隨機SIRS流行病模型

(3)

其中：B1，B2，B3為相互獨立的一維標準的布朗運動；σ1，σ2與σ3分別是易感者、感染者與恢復者的隨機噪聲強度.

1 解的存在唯一性

引理3[9]假設存在有界開集U?En且滿足以下性質：

(1) 在開集U及其鄰域中，擴散陣A(x)的最小特征值是非零的；

(4)

(5)

于是

dV(S，I，R)≤Mdt+σ1(S-c)dB1(t)+σ2(I-1)dB2(t)+σ3(R-1)dB3(t).

(6)

將上式兩端從0到τn∧T積分后，再取數學期望得

EV(S(τn∧T)，I(τn∧T)，R(τn∧T))≤V(S(0)，I(0)，R(0))+MT<+∞.

對每一個ω∈Φn={τn≤T}，S(τn，ω)，I(τn，ω)，R(τn，ω)中至少有一個等于n-1或n，則

+∞>V(S(0)，I(0)，R(0))+MT≥E[IΦn(ω)V(S(τn∧T)，I(τn∧T)，R(τn∧T))]≥

(7)

其中IΦn(ω)為Φn的示性函數.令n→+∞，有+∞>V(S(0)，I(0)，R(0))+MT≥+∞，矛盾.因此τ∞=+∞幾乎處處成立，定理得證.

2 解的絕滅性及平穩分布

(8)

其中

(9)

定義C2-函數

b1V1+b2V2+b3V3+b4V4，

(10)

(11)

-L2(u2+v2+w2)+L1，

(12)

從而

dV≤[-L2(u2+v2+w2)+L1]dt+udB1(t)+vdB2(t)+wdB3(t).

(13)

對上式兩邊從0到t積分再取數學期望有

(14)

故

(15)

定理3 假設(S*，I*，R*)是模型(2)的地方病平衡點.若

(16)

則模型(3)存在遍歷的平穩分布.其中

(17)

證明 由于(S*，I*，R*)是模型(2)的地方病平衡點，滿足

定義C2-函數

(18)

(19)

取e1=δ，e2=δργ-1，e3=β-1(a+bI*2)[δ(2μ+ρ)+2μ(2μ+ρ+γ)]，e4=2μ，則由(17)式得

LV≤-η1(S-S*)2-η2(I-I*)2-η3(R-R*)2+η.

定理4 若模型(2)的地方病平衡點(S*，I*，R*)是穩定的，則模型(3)的解(S，I，R)漸近服從三維正態分布N((S*，I*，R*)，C(S，I，R)(0)).

證明 模型(3)簡記為(dS，dI，dR)T=g(S，I，R)dt+σ(S，I，R)dB(t)，在地方病平衡點(S*，I*，R*)泰勒展開，又由于偏差S-S*，I-I*，R-R*不大，且σ1，σ2，σ3是較小的噪聲強度，所以σ1(S-S*)，σ2(I-I*)，σ3(R-R*)較小，忽略高階項，得到近似模型

df=[g(S*，I*，R*)+g′(S*，I*，R*)f]dt+σ(S*，I*，R*)dB(t).

(20)

其中f=(S-S*，I-I*，R-R*)T，σ(S*，I*，R*)=diag(σ1S*，σ2I*，σ3R*)，

由于(S*，I*，R*)是穩定的，所以g(S*，I*，R*)=0，g′(S*，I*，R*)<0，從而方程(20)退化為三維Ornstein-Uhlenbeck過程

df-g′(S*，I*，R*)fdt=σ(S*，I*，R*)dB(t)，

(21)

(22)

(23)

-(iω)2Sf(ω)+g′Sf(ω)g′T+iωg′Sf(ω)-iwSf(ω)g′T=(σ(S*，I*，R*))2.

(24)

由于g′的所有特征值都具有嚴格的負實部，所以g′±iωI是可逆矩陣，于是

Sf(ω)=(g′-iωI)-1(σ(S*，I*，R*))2[(g′+iωI)T]-1.

(25)

將上式作傅里葉逆變換，并取τ=0，得到方差矩陣

(26)

故Cf(0)=C(S，I，R)(0).

3 數值模擬

利用Milstein高階方法[10]，得到離散化方程組

(27)

其中ξi，k(i=1，2，3，k=1，2，3，…，n)為獨立高斯隨機變量N(0，1).

在模型(3)中，取初值(S(0)，I(0)，R(0))=(5，3.5，1.5)，及參數

A=2，β=0.01，a=1.5，b=0.5，μ=0.03，δ=0.74，

ρ=0.45，γ=0.35，σ1=0.013，σ2=0.001，σ3=0.05.

取模型(3)的初值(S(0)，I(0)，R(0))=(2.4，1.2，0.5)，k=10 000，t=200，參數A=45，β=0.07，a=0.02，b=0.085，μ=0.3，δ=0.95，ρ=0.65，γ=0.24，σ1=0.025，σ2=0.008，σ3=0.024.則定理3的條件成立，因此模型(3)的解在地方病平衡點周圍振蕩，并漸近服從三維正態分布N((S*，I*，R*)，C(S，I，R)(0))，這說明疾病將流行.

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(責任編輯：李亞軍)

Impact of random perturbations with state-dependent on an epidemic model

ZHAO Yan-hui，WEI Feng-ying

(College of Mathematics and Computer Science，Fuzhou University，Fuzhou 350116，China)

This paper focuses on the impact of random perturbations with state-dependent on an epidemic model.The extinction and the stationary distribution of the epidemic model with a saturated incidence are discussed.By means of Ito’s formula and constructing Lyapunov functions，the existence and uniqueness of a global positive solution is investigated.The main results declare that the disease will die out under some sufficient conditions.And the model admits a stationary distribution with ergodic property and the solution asymptotically follows a three-dimensional normal distribution around the endemic equilibrium according to Fourier transform.Some numerical simulations are carried out to show the efficiency of our main results.

random perturbations；epidemic model；saturated incidence；stationary distribution；normal distribution

1000-1832(2017)01-0009-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.002

2015-11-20

國家自然科學基金資助項目(11201075)；福建省自然科學基金資助項目(2016J01015).

趙延輝(1990— )，女，碩士，主要從事隨機微分方程研究；魏鳳英(1976—)，女，博士，教授，主要從事生物數學與隨機微分方程研究.

O 211 [學科代碼] 110·64

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