無界區域p(x)-Laplacian方程組全局弱解的存在性

趙彥軍，姜淑珍，王增輝，車金星

(1.東北師范大學人文學院數學系，吉林 長春 130117；2.南昌工程學院理學院，江西 南昌 330099)

無界區域p(x)-Laplacian方程組全局弱解的存在性

趙彥軍1，姜淑珍1，王增輝1，車金星2

(1.東北師范大學人文學院數學系，吉林 長春 130117；2.南昌工程學院理學院，江西 南昌 330099)

用弱連續法研究p(x)-Laplacian方程，在一定的假設下證明了p(x)-Laplacian方程組在無界區域上全局弱解的存在性.

弱連續法；p(x)-Laplacian方程組；全局弱解

0 引言

本文研究p(x)-Laplacian方程組全局弱解的存在性：

(*)

這里fi：Ω×RN→R是Caratheodory函數，Ω?Rn是無界區域.當p=2時，文獻[1-2]中證明了此類非線性橢圓方程組弱解的存在性.對在無界區域上關于該方程組的討論，由于缺少最大值原理和De Giorgi 類的估計，且拓撲度方法、變分法以及單調算子法失效，故使得問題的研究變得很困難.文獻[3-4]中，馬天和余慶余建立了弱連續法，這是研究微分方程解的存在性的一個有效工具.文獻[5]中，趙敦和鐘承奎用該方法證明了系統(*)在p(x)=2時，拉普拉斯方程組Dirichlet問題在無界區域上局部強解的存在性.本文將進一步應用弱連續法將文獻[5]中的結果推廣到無界區域p(x)-Laplacian方程組(*)上.

1 弱連續方法

設X、Y是兩個Banach空間，且X是自反的，Y是可分的；L是一個線性空間，L在X與Y中分別稠密；Y1，Y2是任意兩個Banach空間.

則稱映射G是弱連續的.

定義2[4]設有界映射G：X→Y*.如果對任意xn(n=1，2，…)，x0∈X，若xn弱收斂于x0且滿足：

則稱映射G是A-弱連續的.

定義3 設映射G：X→Y*.如果G限制在X的任意有限維子空間上是連續的，則稱G是有限n-連續的.

弱連續方法的主要根據是下面的定理.

銳角原理[3-4]設映射G：X→Y*弱連續(或A-弱連續且有限n-連續).如果存在有界開集B?X，0∈B，使得

〈Gu，u〉≥0，?u∈?B∩L，

則算子方程Gu=0在X中至少存在一個解.

2 四個引理

設Ω為Rn中的開區域，E表示Ω上可測函數全體，p(x)∈E且滿足

引理1 設Ω?Rn是具有錐性質的區域，{un}?W1，p(x)(Ω)，p-≥1.若un在W1，p(x)(Ω)中弱收斂于u0，則對任何有界子區域Ω0?Ω，un在Ω0上依測度收斂于u0.

令

因{fn}依測度收斂，故存在整數N≥0，使得當j，k≥N時有

令

則

因此{fn}是Cauchy列，{fn}在Lq(x)(Ω)中收斂于ɡ，從而{fn}依測度收斂于ɡ.又由于fn依測度收斂于f0，從而f0=ɡ，即fn→f0在Lq(x)(x)上.

引理3 設f：Ω×Rl滿足

(1)

有界，ui0∈Lpi(x)(Ω)，對任意有界子區域Ω0?Ω，uik在Ω0上依測度收斂于ui0(i=1，…，l)，則對任意

有

(2)

證明 根據(1)式，定義

f：Lp1(x)(Ω)×Lp2(x)(Ω)×…×Lpl(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)，

〈fu，v〉=∫Ωf(x，u10，u20，…，ul0)vdx.

f(x，u1k，…，ulk)→f(x，u10，…，ul0)

引理4 設J∈C1(X，R)，

則算子J是凸泛函，且J′：X→X*是A-弱連續的.

證明 設xn(n=1，2，…)，x0∈X，xn弱收斂于x0且滿足：

則當n→∞時有

〈J′xn-J′x0，xn-x0〉=

〈J′xn，xn〉-〈J′xn，x0〉-〈J′x0，xn〉+〈J′x0，x0〉→0.由文獻[9]知J′是(S+)型算子，故在X中xn→x0，從而在X*中J′xn→J′x0.因此〈J′xn，y〉→〈J′x0，y〉，?y∈X.

3 基本假設

設Ω?Rn(n≥2)是開區域，u1(x)，u2(x)，…，uN(x)，f1(x)，f2(x)，…，fN(x)是定義在Ω上的函數，且fi(x)(i=1，2，…，N)是Caratheodory函數.對問題(*)給出下面假設：

‖w‖Xi=‖w‖pi(x)+‖Dw‖pi(x).

令X=X1×X2×…×XN，則X在范數

下是一個自反、可分的Banach空間.

∫Ω[|Dui|pi(x)-2DuiDvi+fi(x，u1(x)，u2(x)，…，uN(x))vi]dx=0，

則稱u=(u1，u2，…，uN)是方程組(*)的全局弱解.

4 主要結果及其證明

定理1 在假設(P1)—(P3)下，p(x)-Laplacian方程組(*)存在全局弱解u=(u1(x)，u2(x)，…，uN(x)).

證明 設u=(u1，…，uN)∈X.定義G：X→X*為

則

由假設(P3)和Young不等式，對任意ε>0，

故對于球BR(0)?X，當R足夠大時，對任意u∈?BR(0)∩L，有〈Gu，u〉≥0成立.

下面證明G的A-弱連續性.由引理4，要證G的A-弱連續性，只要證明uik?ui0(i=1，…，N)時，

(4)

其中Fi是由fi定義的Nemytsky算子

算子G的有限n-連續性是顯然的.根據銳角原理，方程組(*)的全局弱解u=(u1(x)，u2(x)，…，uN(x))存在.

[1] MUSIELAK J.Orlicz spaces and Modular spaces[M].Berlin：Spring-Verlag，1983：151-163.

[2] LADYZENSKAJA O A，URAL’TZEVA N N.Linear and quasilinear elliptic equations[M].New York：Academic Press，1968：386-405.

[3] MA T，YU Q Y.The Keldys-Fichera boundary value problems for degenerate quasilinear elliptic equations of secong order[J]. Diff Int Eqns，1989(2)：379-388.

[4] MA T，YU Q Y.Nonlinear partial differential equations and weakly continuous method[M].Lanzhou：Lanzhou University Press，1990：118-213.

[5] ZHAO D，ZHONG C K.Existience of local strong solutions of elliptic systems on unbounded domain[J].Inter J Diff Eqns and Appl，2003(7)：115-121.

[6] FAN X L，ZHAO D.On the spacesLp(x)(Ω) andWk，p(x)(Ω)[J].J Math Appl，2001，263：424-446.

[7] FAN X L，SHEN J S，ZHAO D.Sobolev embedding theorems for spacesWk，p(x)(Ω)[J].J Math Anal Appl，2001，262：749-760.

[8] 趙敦，范先令.具p(x)-增長條件的2m階橢圓型方程弱解的存在性[J].蘭州大學學報(自然科學版)，2001，37(2)：1-6.

[9] FAN X L，ZHANG Q H.Existence of solutions forp(x)-Laplacian Dirichlet problem[J].Nonlinear Anal，2003，52：1843-1852.

(責任編輯：李亞軍)

Existence of global weak solutions forp(x)-Laplacian systems in unbounded domain

ZHAO Yan-jun1，JIANG Shu-zhen1，WANG Zeng-hui1，CHE Jin-xing2

(1.Mathematics Department，College of Humanities and Sciences of Northeast Normal University，Changchun 130117，China; 2.College of Science，Nanchang Institute of Technology,Nanchang 330099，China)

Through the weakly continuous method，thep(x)-Laplacian systems are studied.The existence of global weak solutions ofp(x)-Laplacian systems in unbounded domain is given.

weakly continuous method;p(x)-Laplacian systems;global weak solution

1000-1832(2017)01-0015-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.003

2015-07-20

國家自然科學基金資助項目(71301067).

趙彥軍(1979—)，男，碩士，講師，主要從事偏微分方程及其應用、應用時間序列分析與數據挖掘研究；通訊作者：王增輝(1956—)，男，教授，主要從事應用數理統計方法與生物數學研究.

O 177.92 [學科代碼] 110·57

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