一類具有p-Laplace算子的二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性

萬樹園，王智勇

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 南京 210044)

一類具有p-Laplace算子的二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性

萬樹園，王智勇

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 南京 210044)

利用臨界點(diǎn)理論中的極大極小方法，在一個(gè)新的局部漸近p-二次條件下研究了一類具有p-Laplace算子的二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性，得到了新的存在性定理.

p-Laplace系統(tǒng)；局部漸近p-二次；周期解；鞍點(diǎn)定理

1 主要結(jié)果

考慮系統(tǒng)

(1)

其中p>1，F(xiàn)：R×RN→R對(duì)所有u∈RN關(guān)于t是T-周期的(T>0).本文假設(shè)：

‖u‖∞≤d2‖u‖.

(2)

當(dāng)p=2時(shí)，系統(tǒng)(1)退化為二階Hamilton系統(tǒng)

(3)

近年來，許多學(xué)者利用變分法研究了系統(tǒng)(3)周期解的存在性，得到了一系列存在性和多解性結(jié)果.[2-10]但其局部漸近p-二次的情形很少被考慮過，受文獻(xiàn)[3，6，8-10]的啟發(fā)，本文利用鞍點(diǎn)定理，研究系統(tǒng)(1)中位勢(shì)函數(shù)F(t，x)僅為局部漸近p-二次的情形，得到新的存在性定理.

定理1.1 若F滿足假設(shè)(A)及以下條件：

則系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)T-周期解.

注1.1 (a) 由條件(H3)—(H4)可知定理1.1中的F(t，x)弱于通常的漸近p-二次條件：

這里的(H3)，(H4)僅僅只是局部漸近p-二次的.

(b) 存在函數(shù)F滿足定理1.1但不滿足文獻(xiàn)[2-10]中相關(guān)定理的條件.例如，令

其中

2 預(yù)備知識(shí)

由文獻(xiàn)[1]易知φ是連續(xù)可微的，且φ的臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(1)的T-周期解.

定義2.1[1]設(shè)X是實(shí)Banach空間，φ∈C1(X，R).如果{un}?X，φ(un)有界，φ′(un)→0(n→+∞)蘊(yùn)含{un}有收斂子列，則稱泛函φ滿足Palais-Smale條件(簡(jiǎn)稱PS條件).

定義2.2[1]設(shè)X是實(shí)Banach空間，φ∈C1(X，R).如果{un}?X，φ(un)有界，‖φ′(un)‖(1+‖un‖)→0(n→+∞)蘊(yùn)含{un}有收斂子列，則稱泛函φ滿足Cerami條件(簡(jiǎn)稱C條件).

則當(dāng)φ滿足PS條件時(shí)，c為臨界值.

注2.1 文獻(xiàn)[11]表明，鞍點(diǎn)定理在更弱的C條件下仍然成立.

引理2.2 若假設(shè)條件(A)，(H1)—(H3)成立，則能量泛函φ滿足C條件.

|φ(un)|≤L，(1+‖un‖)‖φ′(un)‖≤L.

(4)

由條件(H2)可知存在常數(shù)M1>0，使得對(duì)所有|x|≥M1，幾乎處處的t∈[0，T]有

F(t，x)>0.

(5)

再結(jié)合條件(H1)，對(duì)?β>0，存在常數(shù)M2>M1>0使得

(6)

令Ωn∶={t∈[0，T]||un(t)|≥M2}，根據(jù)假設(shè)(A)與(4)─(6)式有

(p+1)L≥(1+‖un‖)‖φ′(un)‖-pφ(un)≥(φ′(un)，un)-pφ(un)=

(7)

由此結(jié)合(2)與(5)式可得

(8)

利用假設(shè)(A)與(8)式有

(9)

另一方面，由(4)與(9)式，

(10)

(11)

(12)

在不等式(10)兩邊同時(shí)除以‖un‖p，由β的任意性有

(13)

(14)

故當(dāng)n→+∞時(shí)，|un(t)|→+∞，a.e.t∈[0，T]一致成立.結(jié)合(H2)，(H3)及Fatou引理，

(15)

3 定理證明

(16)

另一方面，?u∈RN，利用(H2)，(H3)與Fatou引理，當(dāng)|u|→+∞時(shí)有

即(ⅱ)也成立.

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Existence of periodic solutions for a class of second-order Hamiltonian systems withp-Laplace

WAN Shu-yuan，WANG Zhi-yong

(School of Mathematics and Statistics，Nanjing University of Information Science & Technology，Nanjing 210044，China)

Using the minimax methods in critical point theory，the existence of periodic solutions for a class of second-order Hamiltonian systems withp-Laplace under a local asymptoticp-quadratic condition is considered and a new existence theorem is given.

p-Laplacian systems；local asymptoticp-quadratic；periodic solution；saddle point theorem

1000-1832(2017)01-0025-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.005

2015-09-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571176).

萬樹園(1992—)，女，碩士，主要從事非線性泛函分析研究；通信作者：王智勇(1979—)，男，博士，副教授，主要從事非線性泛函分析研究.

O 175.12 [學(xué)科代碼] 110·41

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