基于BiCR算法的數值保角變換計算法

呂毅斌，代榮恒，王櫻子

(1.昆明理工大學理學院，云南 昆明 650500；2.昆明理工大學計算中心，云南 昆明 650500)

基于BiCR算法的數值保角變換計算法

呂毅斌1，代榮恒1，王櫻子2

(1.昆明理工大學理學院，云南 昆明 650500；2.昆明理工大學計算中心，云南 昆明 650500)

將BiCR(Bi-Conjugate Residual)算法與基于模擬電荷法的外部數值保角變換算法原理相結合，提出了基于BiCR算法的數值保角變換計算法，并通過數值實驗檢驗了所提出算法是有效且可行的.

模擬電荷法；保角變換；BiCR算法

保角變換是函數論的一個基本問題，它被廣泛應用于電磁理論、彈性理論、熱傳輸、流體力學與圖像處理等許多物理學和工學的問題上.[1-3]解析法和數值計算法是保角變換的主要求解方法.在保角變換中黎曼存在定理可以證明保角變換是構造型的變換，因此通常只能知道變換函數存在但不能求出，只有很少數情況下才能用初等函數表示解析函數.在復雜的實際應用工程問題中，很多情況只能通過數值方法來近似求解滿足給定條件的保角變換.

基于模擬電荷法的數值保角變換算法由日本學者天野要提出.[4-6]相對于傳統的級數展開法、積分方程法與變分法等數值保角變換求解方法，利用模擬電荷法原理計算保角變換的過程中不計算數值積分，所以計算時間短.在保角變換的計算中可以使用拉普拉斯方程的最大值原理評價誤差，因而保角變換的計算精度很高.

BiCR算法[7-8]由Sogabe提出，是CR(Conjugate Residual)方法的推廣，是一種可以高效求解線性方程組的算法，主要用于求解非對稱線性方程組.

本文首先配置模擬電荷點和邊界上的約束點，進而得到約束方程.然后通過BiCR算法求解約束方程，在求解出保角變換半徑的近似值和模擬電荷的電荷量后，構造保角變換的近似函數.最后通過數值實驗對算法進行了檢驗.

1 基于模擬電荷法的外部數值保角變換算法

本節簡要介紹基于模擬電荷法的外部數值保角變換算法[9-11].考慮如下保角變換：設D為z平面上任意封閉若爾當曲線C的外部區域，此時存在一個保角變換函數f(z)，將區域D映射為w平面上的單位圓的外部區域|w|≥1.在不失一般性的情況下，假定原點z=0在C的內部且有f(0)=0.此時，若f(z)滿足正規化條件f(∞)=∞，f′(∞)>0，則f(z)可以唯一表示為

其中：g(z)是Dirichlet問題

的解.γ是外部變換半徑.h(z)為g(z)在D內的共軛調和函數，且有h(∞)=0.此時由模擬電荷法，可用C圍成區域內部配置的N個電荷點ζj作為極的對數勢場的一維結合

來高精度的近似g(z)，這時h(z)可以用如下函數近似：

由于電荷qj以及變換半徑γ滿足Dirichlet問題邊界條件

其中Γ為外部變換半徑γ的近似.從而只需求解以上線性方程組并回帶，即可得到數值保角變換函數f(z).

綜上，基于模擬電荷法的外部數值保角變換算法步驟如下：

(1) 分配適當數量的約束點和模擬電荷點，安排相對應的約束點和模擬電荷點的位置；

(2) 利用Dirichlet問題邊界條件構造線性方程組，得到保角變換半徑和電荷量；

(3) 通過保角變換半徑和電荷量構造外部保角變換近似函數.

2 基于BiCR算法的外部數值保角變換新算法

在前節闡述的基于模擬電荷法的數值保角變換算法過程中，線性方程組的求解對最終計算結果起著關鍵性作用.經整理，需要求解的線性方程組為

Ax=b(A∈R(N+1)×(N+1)，b∈RN+1).

其中

這里aij=log|zi-ζj|.

本文采用BiCR算法對以上線性方程組進行求解.[12-14]BiCR算法是一種適用于非對稱線性方程組的迭代求解方法，用零向量作為初始解.下面給出標準的BiCR算法步驟：

Input：A，b，x0.

forn=0，1，…，

xn+1=xn+αnpn，rn+1=rn-αnApn，

end.

在上述BiCR算法中，x0是給定的初始近似解，這里選取零向量；r0=b-Ax0為初始向量.

3 數值實驗

在下面的數值例中，選取了兩種不同的參數a進行實驗.外部數值保角變換的誤差是根據拉普拉斯方程的最大值原理進行評價.將誤差定義為z平面上橢圓邊界上的點保角變換到w平面上的相應點與單位圓周的最大距離，即誤差計算公式為error=max{‖f(z)|-1|}.

根據天野要[4]的方法對模擬電荷點和約束點的位置進行了設置，模擬電荷點數量為200.橢圓邊界及其邊界外部區域情況見圖1，保角映射的結果見圖2，保角映射的最終誤差值為7.147 6×10-8.本實驗通過給定不同的約束點和模擬電荷點得到誤差分布曲線見圖3.

圖1 a=3時橢圓及外部區域

圖2 a=3時橢圓及外部區域的保角變換

圖3 a=3時數值保角變換的誤差分布曲線

例2 對a=5時的橢圓邊界及其邊界外部的區域進行保角變換，橢圓邊界為

與例1相同，根據天野要[4]的方法對模擬電荷點和約束點的位置進行了設置，模擬電荷點數量取為200，橢圓邊界及其邊界外部區域情況見圖4，保角映射的結果見圖5，保角映射的最終誤差值為5.713 8×10-8.本實驗通過給定不同的約束點和模擬電荷點得到誤差分布曲線見圖6.

圖4 a=5時橢圓及外部區域

圖5 a=5時橢圓及外部區域的保角變換

圖6 a=5時數值保角變換的誤差分布曲線

上述實驗表明，本文闡述的算法可以高精度的構建保角變換函數，故而該算法是行之有效的，并且通過參數的調整，可以得到更好的結果.

4 結論

本文將求解非對稱線性方程組的BiCR算法與基于模擬電荷法的數值保角變換算法相結合，提出了數值保角變換的一個新算法，并通過數值實驗，檢驗了算法的有效性.這個算法具有程序簡潔、運行占用內存小、計算精度高等優點.在對其進行誤差分析后，可以將其應用于多連通區域保角變換和流體力學等很多物理學和工學問題中.

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(責任編輯：李亞軍)

The BiCR method for numerical conformal mapping

LU Yi-bin1，DAI Rong-heng1，WANG Ying-zi2

(1.Faculty of science， Kunming university of science and technology， Kunming 650050， China； 2.Computer Center， Kunming university of science and technology， Kunming 650050， China)

A new method for numerical conformal mapping is considered.In this method，the linear equation of charge simulation method is solved using the BiCR(Bi-Conjugate Residual) algorithm，and the approximate conformal mapping function is constructed using the charge points and conformal mapping radius.Finally，the efficiency of the proposed method is illustrated by several numerical examples.

charge simulation method；numerical conformal mapping；BiCR method

1000-1832(2017)01-0048-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.010

2015-08-21

國家自然科學基金資助項目(11461037).

呂毅斌(1972—)，男，博士，副教授，主要從事科學計算與圖像處理研究；通信作者：王櫻子(1972—)，女，碩士，講師，主要從事科學計算與數學應用軟件設計研究.

O 241.2 [學科代碼] 110·61

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