基于問題驅動教學模式的高等數學教學案例研究

包云霞 魯法明 劉洪霞

【摘要】以“方向導數的計算公式”為教學案例，探討了問題驅動式的教學方法在教學過程中的實施步驟，從而使學生成為教學過程的主體，激發其學習興趣，提高學生學習的主動性和積極性。

【關鍵詞】高等數學? 問題驅動? 教學案例? 方向導數的計算公式

【基金項目】山東科技大學青年教師本科教學拔尖人才培養計劃（BJRC20190503）;山東科技大學優秀教學團隊建設計劃資助（JXTD20160507）;山東科技大學數學分析課程教學團隊建設計劃資助（JXTD20180504）。

【中圖分類號】G642 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）21-0081-02

一、引言

高等數學是理工類專業的重要理論基礎課程，它所提供的數學思想和方法不僅是學生學習后繼課程的重要工具，也是培養學生理性思辨能力和創新能力的重要途徑。“方向導數”是多元函數微分學的重要的概念，是刻畫多元函數變化率的重要工具，在解決許多實際問題中具有廣泛應用，因此需要學生理解并熟練掌握方向導數的計算公式。

在以往的教學中，我們一般按照“回顧定義——推導公式——練習鞏固”的教學方法。雖然這一教學方法也能取得不錯的教學效果，但是存在著內容枯燥、脫離實際、不宜激發學生的學習興趣等缺點。針對上述缺點，本文探討了問題驅動式的教學方法在教學過程中的實施步驟，通過“提出問題——理論推導——實例分析——知識拓展——小結或進一步思考”等步驟實現教學過程，從而使學生成為教學過程的主體，提高學生的學習積極性和創新能力，以此推動新工科背景下大學數學的教學改革與實踐。

二、教學安排

1.問題引入

案例1（圖1）：毒品有害身體健康，危害社會穩定，但是每年仍然有大量的毒品交易，警察在緝毒過程中用的一個很重要的工具是警犬，那么請同學們思考警犬是如何找到毒品的呢？

答：聞氣味;即沿著氣味濃度增加最快的方向來尋找毒品。

案例2（圖2）：炎熱的夏天，一只螞蟻不慎落入一塊滾燙的石板中，為了逃命，螞蟻該沿著什么樣的方向快速逃生呢？

答：沿著溫度下降最快的方向逃生。

上述兩個問題中，如何找到氣味濃度增加最快的方向或者溫度下降最快的方向呢？

進一步引導學生思考：上節課我們學習的方向導數可以描述函數沿給定方向的變化率，氣味濃度沿某方向增加或溫度沿某方向下降正是濃度函數或溫度函數沿給定方向的方向導數;而上述實際問題是找出方向導數取最大值或最小值的方向，從而將實際問題歸結為先求濃度函數或溫度函數的方向導數，再求使其方向導數取最大值或最小值的方向。

注：上述過程我們是從日常生活中警犬緝毒和螞蟻逃生時最佳方向的選擇問題入手，引出方向導數的計算問題，讓學生帶著問題和興趣學習。

2.理論推導

首先，復習方向導數的定義：

指出顯然可根據定義計算方向導數，但這一過程非常繁瑣，由此引出推導方向導數的簡便公式。

借助函數在點P0（x0，y0）可微這一橋梁，師生共同完成了利用方向導數的定義構建了方向導數的計算公式。

由計算公式可知，只需要求出函數在該點的偏導數以及所給方向對應的單位向量的兩個分量，然后代入公式即可得到方向導數，從而大大簡化了方向導數的計算過程，體現了數學的簡潔美。

注：此處可設置互動環節，讓學生思考推導過程中由f（x0，+tcosα，y0+tcosβ）-f（x0，y0）到fx（x0，y0）tcosα+fy（x0，y0）tcosβ+ο（t）轉換是否始終成立？由此強調方向導數計算公式成立的條件，即函數f（x，y）在點P0（x0，y0）可微分;若條件不滿足，還是利用定義計算方向導數。

3.實例分析

首先，結合一個具體實例講解利用計算公式求方向導數值的具體步驟;

其次，以警犬緝毒過程中最佳搜索方向的確定問題為背景，由方向導數的計算公式推導方向導數取最大值的方向。

解：建立如圖所示的坐標系，毒品位于原點處，現給出毒品氣味濃度的等值線（圖3）：

最佳搜索方向為氣味濃度增加最快的方向，即為方向導數取最大值的方向，沿任意方向的方向導數為：

注：上述例1鞏固了方向導數的計算公式，例2解決了本次課我們提出的問題，首尾呼應，讓學生體會到了所學概念在實際問題中的應用，大大提高了學習的積極性。

4.知識拓展

首先，設置課下思考題（圖4）。啟發學生思考如何將例2中給定位置最佳搜索方向的求解拓展為從初始地點到毒品源之最佳搜索路線的求解問題。可做相應的提示：利用最佳搜索方向建立關于搜索路線的微分方程。

其次，設置課后練習題（圖5）。要求學生課下給出螞蟻逃生方向選擇問題的求解方案。引導學生思考螞蟻逃生問題與警犬緝毒問題對方向導數取值要求以及具體求解過程中的不同。

5.小結及作業

回顧方向導數的計算公式，強調該公式成立的前提條件;同時，指出方向導數取最大值的方向就是下次課所要學習的梯度，要求學生提前預習并查閱梯度在最優化、人工智能等領域應用的相關資料。

布置相關作業，本節課推導了二元函數的方向導數計算公式及其取得最大值的方向，那如何建立三元函數的方向導數計算公式及其取得最大值或最小值的方向呢？以此鞏固學生本節課學習的知識，培養學生學習知識的遷移能力。

三、總結

在方向導數的計算公式的教學過程中，我們主要利用了生活的實際案例，采用啟發式教學法引導學生發現問題、分析問題和解決問題。在這一過程中，培養了學生的抽象能力和邏輯推理能力，激發了學生學習數學的興趣，提高了學習積極性和主動性，并留有相應的思考題和練習題讓學生在課余時間通過查資料、小組討論等方式做進一步的研究，最后以書面匯報的形式上交作業，從而鞏固了本節課的知識，并為下節課的內容學習做好準備。

上述基于問題驅動式的教學方式能夠讓學生積極主動地分析、解決問題，從而更加深刻地理解了方向導數的概念及其實際應用，達到了教學目標。教師在講述其他概念如曲率、各類積分的應用、微分方程及其應用時均可結合上述方法進行，全都收到了非常好的教學效果。

但是教學過程中也發現部分基礎較弱、學習主動性不強的同學明顯跟不上課堂的節奏，學習起來比較吃力;所以在后續的教學過程中對如何調動這一部分同學學習的積極性，如何更好地進行分層教學將作進一步的探討。

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作者簡介：

包云霞（1979年3月-），女，漢族，山東省海陽市人，碩士研究生，講師，研究方向：貝葉斯統計。