數學素材在概念建構中的教學價值例談

張宏梅

[摘 要]

數學概念是反映數學對象的本質屬性和特征的思維形式。在小學階段的數學教學中，概念教學具有極強的基礎性，教學效果的好與差將直接影響著學生對數學知識的理解和掌握。以《正比例的意義》一課為例，談談如何基于教材，基于學生已有的知識經驗，挖掘豐富的數學素材，讓學生通過積極的思維活動，去偽存真，提煉概念的本質屬性，引導學生有效地建構概念的認知體系。

[關鍵詞]

對比素材；教材素材；游戲素材；有效建構

筆者近期聆聽了本校一位老師執教的《正比例的意義》。課堂上熱熱鬧鬧，但教學效果不容樂觀，表現在：一是學生對“兩種相關聯的量”的概念理解片面，認為同向變化的兩種量才是相關聯的量，這樣的思維定勢對后面的反比例的學習極為不利；二是學生對“正比例的意義”的抽象描述不能真正理解，只是死記硬背，運用這一知識解決實際問題時也只是以葫蘆畫瓢。究其原因，主要是教師鉆研教材、解讀教材不夠深刻，未能切實把握好教學的重點、難點，導致課堂上素材單一，照本宣科，機械訓練。學生未能經歷在對比、發現、辨析、歸納中，逐步抽象概念本質的過程，致使學生對概念的理解模糊，教學的效果大打折扣。

數學概念是反映數學對象的本質屬性和特征的思維形式。在小學階段的數學教學中，概念教學具有極強的基礎性，教學效果的好與差將直接影響著學生對數學知識的理解和掌握。鑒于此，本文擬以《正比例的意義》一課為例，談談如何基于教材，基于學生已有的知識經驗，挖掘豐富的數學素材，讓學生通過積極的思維活動，去偽存真，提煉概念的本質屬性，引導學生有效地建構概念的認知體系。

一、設計對比素材，在比較中明晰概念本質

【教學片段】認識“兩種相關聯的量”

游戲：跟好朋友玩石頭、剪刀、布的游戲，比比誰贏的次數多，時間為20秒。如果贏一次得5分，在剛才的比賽中你贏了幾次，得多少分？

（生熱情高漲，爭先恐后搶答）

師：為什么他們得的分數不一樣？

生：因為他們贏的次數不一樣。

（出示：贏的次數變化，得分也隨著變化，贏的次數和得分就是兩種相關聯的量。板書：兩種相關聯的量）

出示：這四個材料中的兩種量是相關聯的量嗎？

①64名同學排隊做操：

排數： 2 4 8 …

每排人數： 32 16 8 …

②小紅澆樹時間和澆樹棵數：

澆樹時間/時： 1 2 3 …

澆樹棵數/棵： 18 30 36 …

③王老師用計算機打字：

時間/分： 1 2 3 …

打字數量/個：60 120 180 …

④圓周率和圓的周長：

圓周率： π π π …

圓的周長： π 2π 3π …

交流匯報：

生1：我認為①、②、③中的兩種量都是相關聯的量，因為排數變化，每排人數也在變化……

生2：是因為排數的變化，每排人數才發生變化的，②、③中也是這樣。

師：是呀，都是因為第一種量的變化引起第二種量的變化。

生2：（迫不及待）我發現了①、②、③中的兩種量雖然都是相關聯的量，但它們變化不一樣。①中的排數在增加，但每排人數在減少，而②、③中的兩種量都是一種量增加，另一種量也增加。

生3：②、③中兩種量的變化也有不同，③中王老師每小時打字的個數都是60個，而②中小紅每小時澆樹的棵數不相同。

生4：④中的圓周率和圓的周長不是兩種相關聯的量，因為圓周率是固定不變的量。

生5：我同意，前面3個材料中的兩種相關聯的量都是變化的。

師：你還能根據自己的生活經驗，列舉出兩種量，它們也是相關聯的嗎？

生6：這幾天我正在看一本書，已看頁數和還剩頁數應該是兩種相關聯的量。

生7：我的年齡和媽媽的年齡也是兩種相關聯的量，因為我的年齡變化，媽媽的年齡也在變化。

……

師：你們現在覺得怎樣的兩種量是相關聯的量呢？

師相機出示：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。

課始，教師采用學生熟悉的“石頭、剪刀、布”的游戲，緊扣學習內容和學生的生活經驗，讓每位學生都參與到游戲中，既充分激發了學生的學習熱情，又使學生在潛移默化中感知贏的次數變化，得分也隨著變化，從而為學生學習“兩種相關聯的量”進行了有效的思維預熱。

著名教育家烏申斯基說：“比較是一切理解和思維的基礎，促成了我們對世界的了解。”教學中，注重運用比較策略，有利于學生把握區別，深化認識。上述片段中，為了凸顯“兩種相關聯的量”的概念本質，教師精心選擇了4個對比性學習素材，讓學生判斷每個材料中的兩種量是否相關聯，學生在比較、反思、舉例中逐步發現：相關聯的兩種量首先是兩種變量，它們的變化可以是同向的，也可以是反向的，可以是相除、相乘、相加、相減關系的兩種量……學生依托教師提供的對比素材，主動感知，層層剝離，實現認知結構的改組與重建，明晰兩種相關聯的量的概念本質，即一種量變化，另一種量也隨著變化。這樣的設計遵循了學生的認知規律，促進了學生對概念本質的內化，充實飽滿，意味深長。

二、巧用教材素材，在類比中建構概念模型

【教學片段】理解“正比例的意義”

出示例題：一輛汽車在公路上行駛，行駛時間和路程如下表：

[時間/時＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&…＼&路程/千米＼&80＼&160＼&240＼&320＼&400＼&480＼&…＼&]

認真觀察表中路程和時間的變化，你發現了什么規律？

（學生獨立思考、小組交流后全班匯報）

生1：我發現了時間增加，路程也隨著增加，路程和時間是兩種相關聯的量。

生2：我發現了每一組的路程除以時間的商相等。

生3：這輛汽車每小時行駛的速度都是80千米。

生4：時間每增加1小時，路程就增加80千米。

生5：時間擴大幾倍，路程也擴大幾倍。

生6：任意選兩組對應的時間和路程，能組成比例。

……

師：剛才同學們通過觀察、計算、討論、交流發現了路程和時間的變化蘊藏著這么多規律。有了這樣的變化規律，路程和時間就成正比例關系，路程和時間是成正比例的量。（板書：正比例）

出示“試一試”：購買一種鉛筆的數量和總價如下表：

[數量/支 ＼&1 ＼&2 ＼&3 ＼&4 ＼&5 ＼&6 ＼&…＼&總價/元 ＼&0.4 ＼&0.8 ＼&1.2 ＼&1.6 ＼&2.0 ＼&2.4 ＼&…＼&]

數量和總價也成正比例關系嗎？（學生從例題的研究受到啟發，自主進行探究）

匯報交流： ……

引導回顧：通過剛才的探究，你覺得成正比例的量都有哪些共同的特點？

生：成正比例的兩種量是兩種相關聯的量，一種量增加，另一種量也隨著增加，一種量擴大或縮小幾倍，另一種量也擴大或縮小幾倍，任意兩組對應的數量能組成比例，每一組兩種量的商或者比值是一定的。

師：說得真完整！數學家們又是怎樣概括正比例的意義的呢？能不能再簡潔些呢？

（生深思片刻）

生1：我覺得“正”字表示的就是這兩種量的變化方向是相同的，因此“一種量增加，另一種量也增加”可以省去。

生2：兩種量的比值一定時，商也是一定的，所以只要留一個。

生3：（恍然大悟）根據比的基本性質，當兩種量的比值一定時，這兩種量必然是同時擴大或縮小相同的倍數，當然相對應的兩組數據也可以組成比例。所以把“一種量擴大或縮小幾倍，另一種量也擴大或縮小幾倍，任意兩組對應的數量能組成比例”也可省去。

生4：（迫不及待）原來成正比例的兩種量特點就是：相關聯，比值一定。

師：你真有眼光，你們的想法和數學家是一樣的！（出示正比例的意義）

《數學課程標準》指出：“學生學習過程應當是一個生動活潑的、主動地和富有個性的過程。”這里的富有個性是指學生在掌握知識的過程中，依靠自身理解，結合已有經驗，從不同角度對數學知識進行探索與詮釋。上述教學活動中，教師先出示例題，拋出開放性問題“認真觀察表中路程和時間的變化，你發現了什么規律？”有了前面學習活動作鋪墊，學生的回答異彩紛呈，展示了自己多樣的認知表達，對正比例有了初步的、個性化的理解。此時，教師沒有急于揭示正比例的意義，而是趁熱打鐵，再讓學生嘗試判斷“數量”和“總價”這兩種量是否成正比例，在判斷過程中學生對正比例的各個零散的特點自覺地進行整合，在師生交流、生生互動中初步總結出了正比例的意義。“數學家們又是怎樣概括正比例的意義的呢？能不能再簡潔些呢？”最后，教師適時提出這一問題，引發學生的深思，透過現象看本質，在與其他學生的思維碰撞中，抽絲剝繭，一步步觸及概念的本質，真正建構起概念模型。此時，正比例意義的揭示便水到渠成了。

上述教學過程，教師充分遵循兒童的認知特點，巧用教材中的例題和試一試素材組織教學，由表及里、層層深入，讓學生展開充分地思考、表達。雖然花時較多，但學生在學習中一直處于積極的思維狀態，學生的學習潛能得到充分發揮，回顧、分析、反思，去除“正比例的意義”的外殼，抽取概念本質，學生在生動活潑、富有個性化的自主學習活動中有效建構起數學概念模型。

三、改編游戲素材，在應用中強化概念理解

【教學片段】利用新知，解決問題

（播放“最強大腦”視頻）

師：想不想運用我們今天剛學習的正比例的意義的知識也來玩玩這個游戲？

生：想！

課件出示：最強大腦在哪里？

生：在這里！（生熱情高漲，躍躍欲試）

（伴隨著“最強大腦”的背景音樂，先出示第一組數據1、15，數據停留在屏幕上的時間為2秒，接著出示第二組、第三組……）

張師傅生產零件的情況如下表：

[時間/時＼&1 ＼&2 ＼&4 ＼&6 ＼&8＼&… ＼&生產零件數量/個＼&25＼&40 ＼&60＼&180＼&200＼&… ＼&]

（學生們屏著呼吸，目不轉睛地盯著屏幕，嘴里輕輕地念叨，口算著每一組數據的比值）

師：表中列出的兩種量成正比例關系嗎？

生（異口同聲）：不成正比例！因為時間和生產數量雖然是兩種相關聯的量，但比值不相等！

師：看來，判斷兩種量是否成正比例關系，關鍵看什么？

生1：比值是不是相等。

生2：首先要看是不是兩種相關聯的量。

師：（豎起大拇指）你是“最強大腦”，還想再玩嗎！

（課件出示：做同一種服裝，做的套數和用布米數如下表。）

（幾個學生非常激動地舉起了手）

生：老師，現在我就能判斷了！我從“做同一種服裝”上看出了：做的套數和用布米數是兩種相關聯的量，用布米數和做的套數的比值就是每套用布的米數的比值是一定的。

（師投去贊賞的目光，生紛紛點頭同意）

師：咦，看來，你們還能抓住關鍵詞句來判斷，“超強大腦”非你們莫屬！

師出示數據驗證：

[服裝數量/套＼&1 ＼&2 ＼&3＼&4 ＼&5＼&…＼&用布數量/米＼&2.2＼&4.4 ＼&6.6＼&8.8＼&11＼&…＼&]

師：還敢接受挑戰嗎？

生：（信心滿滿）想！

課件出示：（1）圓的直徑和周長。（2）小紅的年齡和身高。

生： ……

師：還想繼續嗎？

出示： x和y成正比例關系，空格處應填幾？

生1：我知道空格處應填7.2，因為2擴大3倍是6，所以將2.4擴3倍就是空格處的數據了。

生2：我用的是解比例的方法，列出的比例式是[22.4=][6y]。

生3：我是先求比值：2.4∶2=1.2，那么y∶6=1.2，y=1.2×6=7.2。

……

數學學習的最終目的是應用數學知識和方法來解決實際問題，在應用中加深對知識的深層理解，提高學生靈活運用知識的能力。上述片段中，教師將教材中的練習鞏固巧妙地進行改編，使用學生非常喜愛的“最強大腦”游戲形式，在頗具神秘感的“最強大腦”的背景音樂中，數據短時出現、消失，再出現、再消失，營造了緊張而有趣的練習氛圍，此時的學生必然會抓住概念中最本質的特點，利用兩種相關聯的量的比值是否一定，進行快速判斷。因而，材料2中學生根據“做同一種服裝”這一關鍵句直接判斷服裝數量和用布數量成正比例關系，貌似“出乎意料”，實則“順理成章”。后面的純文字表述在前面的層層鋪墊下，學生的正確判斷也已不再是難點。在最后一道練習題中，正因為學生在探究中對正比例的特點有了豐富的認識，學生在解題時便能靈活地運用，出現多種不同的解題方法。學生在游戲中身臨其境的體驗勝過教師的千言萬語，在循序漸進式的練習活動中，學生變“認真聽”為“主動想”，變“死記硬背”為“經驗積累”，學生對概念的理解在這樣的應用、交流和積累中逐步深入、強化。

筆者認為，概念教學應摒棄讓學生簡單復述、死記硬背的做法，杜絕教師越俎代庖式的簡單歸納，重視在豐富的數學素材中，引領學生走近概念、主動思索、智慧發現、明晰本質、升華認知。上述三個教學片段，教師沒有拘泥于教材，而是充分利用學生原有的知識基礎和生活經驗，用心打造豐富的教學素材，給學生提供了自主發現的突破口，促使學生主動建立起對概念的整體認知。學生能透過抽象的概念，在腦海中映射出多樣的、豐富的、個性化的理解，這樣的概念建構是有生命力的、無痕的，學生對概念的理解也是深刻的、有效的。

[參 考 文 獻]

[1]閆天靈.小學數學概念教學策略的研究[J].天津師范大學，2010（3）.

（責任編輯：李雪虹）