淺談拉格朗日中值定理的證明

李靜茹

【摘要】 微分中值定理是連接函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一座橋梁，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)去推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的重要的、極為有效的工具，其核心的定理是拉格朗日中值定理.本文主要介紹證明拉格朗日中值定理時輔助函數(shù)的幾種構(gòu)造方法.

【關(guān)鍵詞】 中值定理；輔助函數(shù)；構(gòu)造

一、引 言

人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了.拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，而教材中關(guān)于拉格朗日中值定理的證明并沒有系統(tǒng)地歸納與總結(jié).為加深學(xué)生對微分中值定理的理解，更好地掌握微分中值定理的應(yīng)用，本文主要介紹拉格朗日中值定理的幾種證明方法，這樣一來便可以很清晰地理解拉格朗日中值定理的精髓及其意義所在.

二、拉格朗日中值定理的證明

定理 （Lagrange中值定理）若函數(shù) f（x）滿足下列條件：

（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得

f′（ξ）= f（b）-f（a） b-a .

證明拉格朗日中值定理時，通常要引進輔助函數(shù).可是，如何巧妙地構(gòu)造這些輔助函數(shù)，常常讓人感到困惑.下面通過五種途徑來構(gòu)造輔助函數(shù)，并著重強調(diào)構(gòu)造的思維過程.

（一）推論法

定理 （Rolle中值定理）若函數(shù)f（x）滿足條件：

（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（a）=f（b），

則在區(qū)間（a，b）內(nèi)必有一點ξ，使得f′（ξ）=0.

現(xiàn)在設(shè)f（x）與g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，再加上什么條件，函數(shù)f（x）-g（x）就能滿足羅爾定理的條件呢？

由羅爾定理的條件知，還需添加

f（a）-g（a）=f（b）-g（b），

即f（b）-f（a）=g（b）-g（a）.

這樣由羅爾定理知，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′（ξ）-g′（ξ）=0.

即f′（ξ）=g′（ξ）.

這樣我們就得到下面的推論1.

推論1 若函數(shù)f（x），g（x）滿足條件：

（1）f（x），g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x），g（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（b）-f（a）=g（b）-g（a），

則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得

f′（ξ）=g′（ξ）.

簡單地說，兩個連續(xù)且在內(nèi)部可導(dǎo)的函數(shù)，若在同一區(qū)間上有相同的增量，則必在某一內(nèi)點處有相同的導(dǎo)數(shù)值.

下面我們由推論1來證明拉格朗日中值定理.

因為f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，若取g（x）= f（b）-f（a） b-a x，其連續(xù)性與可導(dǎo)性是顯然的，又明顯地看出f（x）與g（x）在[a，b]上有相同的增量f（b）-f（a）=g（b）-g（a），由推論1，因而存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=g′（ξ），即f′（ξ）= f（b）-f（a） b-a .

（二）分析法

設(shè) f（b）-f（a） b-a =k，則有f（b）-f（a）-k（b-a）=0.下證k=f′（ξ），ξ∈（a，b）.

把等式的左邊看成是某個函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的兩個端點的函數(shù)值，可以看出，這個函數(shù)在[a，b]上的兩個端點的函數(shù)值相等，而這正是羅爾定理所要求的條件，這也就使我們找到了要構(gòu)造的函數(shù).將式中數(shù)b用變量x代替，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-f（a）-k（x-a），a≤x≤b.

顯然F（a）=F（b）=0，

這種構(gòu)造方法像行云流水般的自然、流暢，構(gòu)造出來的函數(shù)簡單明了，令人賞心悅目.

（三）待定系數(shù)法

設(shè)F（x）=df（x）+ex+l，x∈[a，b]，其中d，e，l為常數(shù)，則函數(shù)F（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，令F（a）=F（b）得e=-d f（b）-f（a） b-a ，

于是所構(gòu)造的輔助函數(shù)為

（四）幾何法

設(shè)y=f（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件.如圖所示，曲線弧AB 與弦AB 相交于A，B兩端點.利用函數(shù)y=f（x）及弦AB 所表示的函數(shù)的縱坐標之差來構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）.對同一個x，曲線弧AB 與弦AB 在區(qū)間[a，b]的端點的縱坐標之差都是0，即F（a）=F（b）=0（這正是羅爾定理的第三個條件）.因弦AB 的斜率為kAB = f（b）-f（a） b-a .

由點斜式得到弦AB 的方程為

（五）原函數(shù)法

從而也可將F（x）=f（x）（b-a）-（f（b）-f（a））x作為證明拉格朗日中值定理所構(gòu)造的輔助函數(shù).

三、結(jié) 論

通過以上討論可知，在證明拉格朗日中值定理的時候，輔助函數(shù)的構(gòu)造方法是靈活多樣的.同時，拉格朗日中值定理的證明不僅提供了用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)學(xué)命題的精彩典范，也通過巧妙的數(shù)學(xué)變換，體現(xiàn)了將一般化為特殊，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的論證思想，這是高等數(shù)學(xué)的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn).我們在學(xué)習(xí)過程中要善于汲取前人的經(jīng)驗，積極思考，把“死”的數(shù)學(xué)學(xué)活，把“枯燥無味”的證明變?yōu)槊钊M生的創(chuàng)造.這樣，數(shù)學(xué)才會越學(xué)越有味，越學(xué)越想學(xué)，我們也就越學(xué)越聰明，越學(xué)越能干.

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