Mathematica軟件在高等數學教學中的應用

章麗娜

【摘要】 借助Mathematica軟件強大的符號運算功能和作圖功能，在高等數學教學中引入該軟件進行輔助教學，可解決學生數學運算問題、函數的圖形繪制問題等，提高學生的數學分析能力和解決綜合應用問題的能力.

【關鍵詞】 Mathematica軟件；高等數學；繪圖；計算

【基金項目】 湖州師范學院教學改革一般項目（JGB026）；浙江省自然科學青年基金項目（LQ14A010009）.

近幾年，一些教師對借助數學軟件Mathematica輔助教學做了深入的研究[1-7].Mathematica是美國Wolfram研究公司開發的一個功能強大的數學軟件[8].它可以進行公式推導、方程求解、矩陣運算、微積分計算以及數理統計等多種符號演算和數值計算工作.同時，它有強大的圖形處理功能，可以很方便地畫出一元和二元函數的圖形，也可直接生成動態可視化圖形.更重要的是，Mathematica軟件界面簡潔、操作簡單，易學易用.對于高等數學這樣一門內容較抽象的課程，如何突破教學難點，使高等數學由難變易，Mathematica軟件可以發揮重要作用.本文通過在高等數學教學中使用Mathematica軟件輔助教學過程的幾個案例來加以說明.

一、Mathematica軟件的繪圖功能的應用

例1 通過圖形及數值觀察理解兩個重要極限：

（1）lim x→0 sinx x =1.

（2）lim x→∞ 1+ 1 x x=e≈2.718 28.

（1）Mathematica語句：Plot[{sin[x]/x，sin[x]，x，{x，-4，4}，Plotstyle→{AbsoluteThickness[4]}，AspectRatio→1.2，PlotRange→{-2.5，2.5}]

得到結果如圖1所示.從圖1可看出，當|x|很小時，sinx≈x.函數y=sinx和函數y=x在x=0處相切，從導數的定義出發，可知sinx與x在x=0處具有相同的變化率，從而直觀猜測這兩個函數之比 sinx x 當x→0時的極限為1.借助這些形象的展示也可以為后面要學的洛必達法則的理解帶來一定幫助.

（a）n→∞時數列 1+ 1 n n的變化趨勢.（b）x→∞時函數 1+ 1 x x的變化趨勢.（c）（a）與（b）在同一幅圖中的顯示.

圖2通過描繪數列 1+ 1 n n和函數 1+ 1 x x在其定義域上的圖像，讓學生對該函數有一個直觀的了解，進一步對該函數當x→∞時的極限能夠自然地接受.

由例3可以看出，用圖形法判定和討論函數極限，直觀而真實，能透過現象直達本質，具有純理論的抽象研究無法媲美的優點.學生在學習高等數學的過程中，普遍體現出空間想象能力的薄弱.很多學生不能畫出許多立體曲面、曲線等復雜圖形，從而挫傷他們的學習積極性.在進行多元函數積分學的教學中，可以借助Mathematica軟件在圖形演示功能方面的優勢，讓學生更加直觀地看到所求問題的演示，從而幫助學生加深理解.

二、Mathematica軟件的符號和數值計算功能的應用

例4 計算不定積分∫sinax·sinbx·sincx dx.

要計算這個不定積分，需要用到多次積化和差.計算枯燥、煩瑣、易錯.但是，利用Mathematica符號計算就很簡單.

輸入：Integrage[sin[a*x]sin[b*x]sin[c*x]，x]

輸出： 1 4 （ cos[（a-b-c）x] a-b-c - cos[（a+b-c）x] a+b-c - cos[（a-b+c）x] a-b+c + cos[（a+b+c）x] a+b+c ）

例5 計算不定積分∫ x2+1 （x+1）2（x-1） dx.

有理函數的積分，往往要對被積函數進行拆項.這個拆項的過程煩瑣、單調乏味，十分影響學生的學習興趣.筆者認為，在不影響學生手工計算能力培養的基礎上，適當利用Mathematica軟件來輔助計算未嘗不可.這樣不僅可以提高學生的學習積極性，還可以讓學生有更多的時間和精力投入真正的數學問題的解決上.

Mathematica能求常微分方程（組）的精確解，能求解的類型基本覆蓋了人工求解的范圍.當然Mathematica求常微分方程的數值解也很方便，且能作出解的圖形.

【參考文獻】

[1]陳美英.Mathematica對學生學習《高等數學》的意義簡析[J].石家莊學院學報，2008，10（3）：110-114.

[2]紀宏偉，蘇瑩，高金新.Mathematica在高等數學中的典型問題應用探索[J].貴州師范學院學報，2011，27（3）：211-213.

[3]王小華.基于Mathematica的高等數學教學實踐[J].重慶科技學院學報，2010，12（4）：195-198.

[4]曹慧珍.基于Mathematica的二元函數連續性可視化判定[J].高師理科學刊，2011，31（4）：26-30.

[5] 孫曉玲，王寧.利用Mathematica實驗教學融入數學思想的研究與實踐[J].合肥師范學院學報，2009（3）：32-34.

[6] 劉興元，何宜軍.Mathematica軟件的繪圖功能在高等數學教學中應用示例[J].邵陽學院學報，2008，5（4）：41-44.

[7]程春蕊，朱軍輝.Mathematica軟件在常微分方程教學中的應用[J].高等函授學報，2012，25（1）：21-23.

[8]Heikki Ruskeepaa.Mathematic navigator：mathematics，statistics，and graphics[M].3rd ed，London：Elseiver，2009.