離散數學課程知識結構建設與改革

汪楚嬌　張艷群　韓麗霞

【摘要】 為了解決“離散數學”教育課程概念多、內容散的問題，本文提出了針對不同內容的學習策略，設計了針對離散數學課程的學習模型.在對課程的知識點進行了劃分的基礎上，重點利用知識點之間的邏輯關系，建立有序的前導關系.在貫穿數學建模思想上，提出了合理的教學內容學習模型，加強邏輯，激發學生的學習興趣.

【關鍵詞】 課程建設；教學改革；知識點；知識結構

【基金項目】 2015年中國礦業大學校級教改項目（項目編號：2015YB26）.

一、引 言

離散數學課程，從1982年向本科生開設起，可以說進行了不間斷的建設.在1999年，離散數學被確定為計算機學院的重點建設課程.由于離散數學充分描述了計算機學科離散性的特點，為計算機學科的研究和應用提供了有力的數學工具，同時，能夠訓練學生的邏輯思維和推理能力，所以是計算機學科基礎理論課程.為了體現離散數學與后繼專業課的密切性，離散數學的教育目標是使學生不僅能了解某個領域的知識，而且要學生能運用所學的知識，提出相應問題解決的一類數學方法.離散數學，既然是數學，其嚴密的數學理論是自身特色.但我們在教學中不能只陳述抽象的概念，證明抽象的定理，而應讓學生清楚地感受到數學學習中“知其然，并知其所以然”的樂趣.該課程具有“概念多、內容散、理論強且高度抽象”的特點，因而對概念的理解是這門學科的核心.因此，在教學實踐中，我們重點探索離散數學課程的教學內容之間的關聯關系，針對如何提供有效的學習策略幫助學生提高學習效率.

二、課程知識結構表示

在計算機本科專業中，離散數學一般主要包括數理邏輯、集合論、代數系統與圖論這四個部分.大量的概念和定義定理證明讓本來充滿樂趣和挑戰的學習變得枯燥無味.以往的教學經驗表明，學生們對數學學習的畏懼心理來自于對概念和性質的掌握困難性上.而對概念掌握的困難其實在于學生不能理解概念定義的緣由以及用途.學生往往不能在腦海中建立起它們與現實世界中客觀事物的聯系，抓不住知識的內在聯系，所以，通常對書上的例題一看就懂，但獨立解題的時候卻無從下手，因而，導致學生學習該門課程的興趣不高，教學效果不理想.因此，我們強調學習的過程是不斷建立體系的過程，通過幫助學生了解概念背后的真實含義，了解概念和概念之間的聯系，了解概念累積之后相關性質的探討的目的性，來讓學生感受到概念不再只是文字和符號，概念是一種語言，是描述專業知識的活生生的語言.

離散數學各章節看似無多大聯系，但事實上整個課程體系相互聯系、相互依賴.圖、樹可作為我們認識世界的一個直觀、有力的工具，集合的運算、關系可用圖來描述；關系是在集合的基礎上來定義，函數是一種特殊的關系；代數系統的定義又是建立在關系的基礎上；而所有的推理證明都是在邏輯代數的指導下進行.本文針對離散數學這門課程，按照課程的知識結構，表示出一個以知識點為結點的結構圖.首先，要對知識進行劃分、構造知識結構、再將知識結構劃分為原子知識點，按照知識點的內容和之間的關聯關系進行劃分，把知識點之間的關系表示為有序關系，讓學生清楚理解到這個有序關系中的前導關系和后續關系.下面以數理邏輯部分為例，展示如何將離散數學中不同的章節的知識點之間的聯系清晰地建立起來，讓學生能夠輕松地掌握大量概念以及推理證明的數學符號之間的關系.

（一）構造知識結構

數理邏輯是方法論的學習，它是所有學科的基礎，同時，也貫穿在離散數學其他章節的內容里.尤其需要說明的一點是：在條件關系中的“善意的推定”規則（即如果前件為假，則命題為真，不管后件如何），可以讓邏輯理論較完備，但學生通常不能理解和接受.但是通過數學推理中的一系列結論，可以讓學生清楚地了解到，規則制定的邏輯性和嚴密性.

首先，將知識結構劃分為原子知識點，按照知識點的最小粒度進行劃分.數理邏輯部分的內容大致如圖1所示.

例如，一個最小的連接詞組就是一個集合.由一個或者若干個連接詞構成的集合，使得對于任何命題公式都可以用這個集合中的某些連接詞來等價的表示，而刪除這個集合中的任何一個連接詞，就不能將所有的命題公式表達出來.因此，表達命題的基礎是連接詞，表達命題公式的基礎是命題.

（二）構造知識點關系圖

為了讓學生更清楚地理解所有知識點之間的承接關系，我們在課堂上應用離散數學中的關系表達方式，來將所有的知識點串接起來.以一個二元組表示（知識點，相鄰知識點），其中，關系包含兩種，即前驅與后繼，如圖2所示.2元組表達式（連接詞，集合），（連接詞，命題），（命題，命題公式）的第一個元素表示為前驅結點，第二個元素表示為后繼結點.

然后，在知識點劃分的基礎之上，重點梳理知識點之間的聯系.例如，連接詞和命題之間的關系，命題和命題公式之間的關系，等價式以及范式之間的關系，等價式和范式之間的關系，以及連接詞和等價公式之間的關系等等，是課程重點.

（三）知識結構模型

1.本章內容之間的知識結構

首先，梳理集合論本章的概念之間的遞進聯系，讓學生能夠清楚課程內容之間的本質聯系.例如，由命題標識符與命題連接詞之間的聯系引入命題公式，由原子命題和命題連接詞引入命題翻譯，由命題公式引入真值表，由真值表引入永真式和永假式以及可滿足式等.對知識點進行組織，形成無向圖如圖3所示.

2.不同章節之間內容的知識結構

我們不能只是局限于本章節知識點之間的關系，要同時讓學生能夠理解不同章節之間的內容的相關性.要讓學生了解到不同章節知識點看似松散，實則承前啟后，相互呼應.知識點所在的層次和深度會隨著所學習的課程內容不斷擴展.所以，形成本章內容概念和其他章節內容之間的鏈接，讓知識點之間形成一個有機的整體，才能最終讓學生真正掌握所學知識.掌握這些概念的時候，不能孤立地一個個討論，必須有比較地看，討論它們之間的關系、區別和聯系，這樣才能比較容易把握住各個概念的實質.如果并運算可以表示為滿足兩個命題的析取所構成的所有元素，交運算可以表示為兩個命題的合取所構成的所有元素.另外，集合的敘述法可以用謂詞公式進行描述.并且，集合中的全集可以看作謂詞邏輯中的重言式，空集是謂詞邏輯中的矛盾式.并且數理邏輯中的運算定律在集合論中也成立.但是謂詞邏輯與集合論是兩個不同的范疇，需要注意它們之間的聯系和區別.

在理解關系的基本性質的時候，根據定義，學生經常出現誤判，對定義不能完全理解.學生不能理解只有一個序偶的關系是具有傳遞性的，按照通常的理解學生認為這里沒有傳遞關系的存在，如果只是簡單地讓學生記住判斷方法并不能消除學生心里的疑惑.我們要做的是讓學生真正地知其然并知其所以然.在這里，如果用數理邏輯的方式描述，學生會恍然大悟.因為定義是以條件式的形式出現，因而前件為假，則條件式必定成立.所以，在沒有首尾相連的序偶對出現時，是滿足傳遞性的.

三、學生參與到知識結構的組織中

在課外學時分小組對其進行討論，通過提出特定化的問題，讓學生根據自己的思考，討論知識點之間的聯系.例如，為了讓學生清楚地了解到集合中的概念和證明方法和數理邏輯之間的聯系，提出以下問題：（1）集合恒等式的證明方法有幾種？（2）命題邏輯和謂詞邏輯推理的方法有幾種？（3）比較二者之間的聯系.（4）比較集合中的列舉方法和數理邏輯中的真值表，并畫出表格進行比較.（5）用數理邏輯中的連接詞將關系的五個基本類型表達出來.（6）集合中的等價關系和偏序關系同數理邏輯中的蘊含和等價式的概念如何聯系.在后續的教學中，我們也注意選取有趣的事例來活躍課堂.除了在內容上選取有趣的事例外，在課堂教學中，我們還非常注意使用幽默風趣的語言.這些嘗試激發了學生的直接學習動機，增強了對這門課程的興趣.對于間接性學習動機的激發，我們主要通過增加教學內容與專業的聯系，讓學生了解離散數學的重要性和作用.我們還將努力從不同的角度思考來改進教學方法，改革課程內容，讓離散數學這門古老的課程繼續煥發迷人的風采.

【參考文獻】

[1]劉鐸.離散數學結構課程研究性教學改革初探[J].計算機教育，2012（24）：41-44.

[2]賀國強.個性化協學生習系統中學生模型的構建與應用[D].北京：首都師范大學，2009.

[3]聶雅琳，王海軍.基于悖論的離散數學教學改革與實踐[J].教育論壇，2010（5）：128.