系統講解函數極限的求法

曾大恒

【摘要】 高職高專高等應用數學所有使用的教材中，均沒有對函數極限的求法進行過系統的歸納和總結.筆者根據個人教學經驗，就高職高專層次如何求函數極限的問題進行了簡要梳理，系統提出了利用函數的連續性求極限、利用兩個基本極限公式求極限、利用Hospital法則求極限這三種求函數極限的方法.

【關鍵詞】 高職高專；高等應用數學；函數極限；教學方法

高職高專開設的高等應用數學核心內容是微積分基礎，而極限的概念與運算是微積分基礎的基礎，連續、導數等概念都是在函數極限的定義上完成的.在高職高專所有使用的教材中，均沒有對函數極限的求法進行過系統的歸納和總結.筆者根據個人教學經驗，教學中就高職高專層次如何求函數極限的問題進行了簡要梳理，系統提出如下三種方法.

一、利用函數的連續性求極限

由函數連續的性質可知，若函數y=f（x）在其定義域D內連續，則對于任意一點x0∈D，都有函數在x0處的極限值等于其函數值，即 lim x→x0 f（x）=f（x0）.教材中不加證明地指出，所有初等函數在其定義域內都是連續的.實際上這就等于告訴我們，要求初等函數在其定義域內任意一點的極限時，只要求這一點的函數值即可.

例如，求lim x→2 （3x-5）.

只要教會學生：① y=3x-5是一個初等函數（說明為什么是初等函數）；② y=3x-5的定義域是全體實數集R且2∈ R ；③ y=3x-5在x=2處是連續的.于是，直接將x=2代入3x-5中，得：lim x→2 （3x-5）=3×2-5=1.

二、利用兩個基本極限公式求極限

教材中不經推導地給出了兩個基本極限公式：（1）lim x→0 sinx x =1；（2）lim x→∞ 1+ 1 x x=e.教學中，如何記住這兩個基本公式的特點并用好這兩個基本公式是教學的關鍵.

（1）lim x→0 sinx x =1，此公式有兩個特點：

公式特點一：自變量的變化趨勢是“x→0”而不是其他.如果把自變量的變化趨勢改為“x→∞”，則 lim x→∞ sinx x 的結果就完全變了.根據無窮小量的性質，無窮小量與有界的積仍為無窮小量，得 lim x→∞ sinx x =lim x→∞ 1 x ·sinx =0，教學時，可以告訴學生把這個極限與基本公式（1）對照起來學習和掌握.

公式特點二：公式中的三個“x”必須三者統一.例如，求 lim x→0 sin3x 2x 時，就應該將 lim x→0 sin3x 2x 變形為 lim x→0 3 2 · sin3x 3x ，而當x→0時，有3x→0，即“x→0”等價于“3x→0”，因此，lim x→0 sin3x 2x =lim x→0 3 2 · sin3x 3x = 3 2 lim 3x→0 sin3x 3x ，利用基本公式（1）得：lim x→0 sin3x 2x = 3 2 .

（2） lim x→∞ 1+ 1 x x=e，此公式有三個特點：

① 在自變量的變化過程中，括號內以“1”為極限；② 括號內用“+”號連接；③ 1 x 和x存在一個倒數關系，滿足以上三個特點，其極限才等于e.

在公式（2）中，令 1 x =t，則x= 1 t ，且當x→∞時，有t→0，于是公式（2）變形為 lim x→0 （1+t） 1 t =e，很容易看出，變形后的公式仍然滿足以上三個特點.

教學時，可以舉例說明，如，lim x→0 1+ 1 x x不滿足特點①，lim x→∞ 1- 1 x x不滿足特點②，lim x→∞ 1+ 1 2x x不滿足特點③，因此，它們的極限都不等于e.

抓住了公式（2）的三個特點，就可以輕松解決一部分類似函數求極限的問題.如，

（1）lim x→∞ 1- 1 x x=lim x→∞ 1+ 1 -x x=lim x→∞ 1+ 1 -x -x -1=e-1；

（2）lim x→∞ 1+ 1 2x x=lim x→∞ 1+ 1 2x 2x 1 2 =e 1 2 .

三、利用Hospital法則求極限

在利用極限的四則運算法則求兩個分式函數的極限時，要求分母的極限不能為0，即 lim x→x0 f（x） g（x） = lim x→x0 f（x） lim x→x0 g（x） = A B （其中lim x→x0 f（x）=A，lim x→x0 g（x）=B且B≠0）.假設A=0，B=0，

則不能再使用以上運算法則求分式函數的極限了.Hospital法則便提供了用來解決“ 0 0 ”型（或“ ∞ ∞ ”型）等未定式函數求極限的方法.根據Hospital法則，對于這兩類未定式函數，我們可以對分子、分母分別求導，然后，求它們導數之比的極限.即 lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f′（x） g′（x） .

一般地，當x→x0時， f′（x） g′（x） 仍是 0 0 （或 ∞ ∞ 型），且滿足Hospital法則的條件時，則可繼續使用Hospital法則求極限，且可依此類推.如，lim x→0 x-sinx x3 =lim x→0 （x-sinx）′ （x3）′ =lim x→0 1-cosx 3x2 =lim x→0 sinx 6x = 1 6 ，此例中就使用了兩次Hospital法則.

但是，若所求極限已不是未定式時，則不能再用這個法則，否則將得出錯誤的結果.如，在計算 lim x→2 x3-2x-4 （x-2）2 =lim x→2 （x3-2x-4）′ [（x-2）2]′ =lim x→2 3x2-2 2（x-2） =lim x→2 （3x2-2）′ [2（x-2）]′ =lim x→2 6x 2 =6的過程中，第二次使用Hospital法則時便出現了錯誤.

求極限的方法遠不只以上幾種，但是對于高職院校的學生來說，掌握以上方法就基本上實現了預定的學習目標.

教無常法，學無定式.不斷積累、總結、完善、提高，應成為教師的一種習慣，勤于思考，學會歸納，終身受益.

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