巧用概率模型解決代數問題

狄勇婧　王冕

【摘要】 概率論是數學研究的一個重要分支，能夠通過其獨特的定義、方法，運用一定的模型解決其他數學分支的難題.代數是學生數學學習中的重要內容，由于代數問題的抽象性，常常使學生對代數的學習產生一種畏難心理，阻礙學生進一步的數學學習.基于此，文章通過將概率模型與代數問題相結合，通過構造一定的概率模型來解決代數難題，使學生能夠將抽象的代數問題運用直觀的概率模型加以表現、解決.本文試圖從概率模型在數列問題、代數恒等式問題、代數不等式問題以及排列組合中的應用來介紹如何通過構建概率模型直觀地解決代數問題.

【關鍵詞】 概率模型；代數問題；解決

【基金項目】 區級科研項目，項目名稱：基于校企合作模式的嵌入式實訓平臺研究與建設，項目編號：KY2016LX101；院級教改項目，項目名稱：面向應用型本科的《線性代數》的教學研究.

一、概率模型在數列問題中的應用

數列求和問題是學生在代數學習中經常遇到的問題，也是常常困擾他們的難題.有些學生通過公式記憶來解決這類問題，導致遇到新題型時往往不知變通.但如果仔細研究不難發現，有些數列問題可以通過構建一定的概率模型加以解決.

例1 數列的級數求和：

求證∑ ∞ n=1 n （n+1）！ =1.

解題思路：構造與之相應的概率模型：假設這是一個概率實驗，在一個重復、獨立的實驗條件下，若其每次只可能有兩種實驗結果，即A發生和A不發生. n n+1 為第n次試驗中A可能發生的概率，在實驗中假設A發生則整個試驗成功，則題目就轉換成為計算試驗成功率的概率問題，進而用概率方法和原則對問題求解.

對上述試驗的分析得知：

（1）假設在第一次試驗中A就發生，則其發生的概率可能性為 1 2 ；

（2）假設在第二次試驗中A發生，第一次試驗中A不發生，則事件發生的概率可能性為 1- 1 2 × 2 3 = 2 3！ ；

（3）假設在第三次試驗中A發生，第一次實驗中A不發生、第二次試驗中A也不發生，則該事件的概率可能性為 1- 1 2 1- 2 3 × 3 4 = 3 4！ ；

如果這個實驗在這種情況下一直循環進行下去，那么事件成功的可能性，也即成功的概率可以表示為：

1 2！ + 2 3！ + 3 4！ +…+ n （n+1）！ +…=∑ ∞ n=1 n （n+1）！ .

由于每一個試驗并不總是成功，因此，我們將在每一次試驗中失敗的概率依次表示為

1- 1 2 ，1- 2 3 ，…，1- n n+1 ，….

在此基礎上，我們將每一次試驗都失敗的概率表示為

lim n→∞ 1- 1 2 1- 2 3 … 1- n n+1 =lim n→∞ 1 n！ =0.

通過這個模型可以得出結論，試驗失敗的概率為0，據此我們可以得出試驗成功的概率為1-0=1，用公式模型表示出來就是

∑ ∞ n=1 n （n+1）！ =1.

二、概率模型在代數恒等式中的應用

代數恒等式的證明方法有許許多多，諸如幾何法、代數法、定理證明法等等.但隨著學生數學學習難度的加大，越來越多的代數恒等式的求證問題用傳統常規的運算方法很難求解，無法快速有效地切中問題的命脈，找出問題的核心所在進而快速解決該數學難題；另一方面，隨著學生數學學習內容的不斷擴大與加深，尤其是在對概率論不斷學習的基礎上，如果能巧妙地運用所學到的概率論知識，在求解代數恒等式難題時構建相應的概率模型，找出問題的核心要點，就能夠巧妙迅速地解決數學難題，進而進一步激發數學學習的熱情.

例2 求證下列代數恒等式成立：

∑ n r=0 Crn+r[（1-x）n+1xr+xn+1（1-x）r]=1.

解題思路：將該模型看作是一個現實生活中實際的概率應用模型.假設A和B兩個隊伍共同參加一項體育競賽，在整個競賽中，誰先贏得n+1場勝利誰所在的隊伍就將在整場比賽中優先勝出，在整個比賽中不存在平局的現象.由此，我們設x是A隊在每一次競賽中勝出B隊的概率可能性，由此可以推出，1-x是B隊在每一次競賽中勝出A隊的概率可能性.在n+1+r場比賽中（r=1，2，3，4，…，n），A隊要想最后獲得冠軍，必須要在最后一輪競賽中戰勝B隊，在此前提下，還必須要在前n+r場比賽中取得n場勝利.由此，我們可以將A隊在n+1+r場比賽中獲勝的可能性用概率公式表示出來，即

P（A）=∑ n r=0 Cnn+rxn+1（1-x）r.

依據A隊勝出的概率模型的構建，我們可以用同樣的方法構建B隊在n+1+r場比賽中勝出可能性的概率模型

P（B）=∑ n r=0 Cnn+r（1-x）n+1xr.

在此基礎上，我們可以很清楚地看到P（A）+P（B）=1，很容易就將整個代數恒等式求證出來.

三、概率模型在證明代數不等式中的應用

不等式的證明求解也是代數學習中常常遇到的問題，有些不等式常常由于其復雜的變量構成及數量關系，很難用之前所學的代數、幾何、定理求解法求解，而且在代數不等式問題中多是涉及一些抽象的變量，進一步加深了學生的學習理解難度.為此，在不等式證明中引入概率模型的求解方法，將問題不等式中的若干變量設置成應用模型或試驗中的若干相互獨立存在的事件的概率，通過一定的假設，將這些事件中的和事件看作概率論中樣本空間的一個子集，使之成為一個整體，這樣便能夠使事件概率小于或等于1，有利于在實際操作中得到題目要求的不等式.

例3 證明下列不等式成立：

a2bc+ab2c+abc2+1≤ab+ac+bc+a2b2c2，

其中a≥1，b≥1，c≥1.

解題思路：若想用概率模型求解，首先，要將不等式的總和小于或等于1，為此，先將不等式進行變形，由觀察可得，不等式兩端同時除以a2b2c2，得到如下不等式：

1 ab + 1 ac + 1 bc + 1 a2b2c2 ≤ 1 abc2 + 1 ab2c + 1 a2bc +1，移項得

1 ab + 1 ac + 1 bc - 1 abc2 - 1 a2bc - 1 ab2c + 1 a2b2c2 ≤1. （1）

根據整理后的不等式構造相應求解的概率模型如下：假設共有三個口袋，ab球在1號口袋中，ac球在2號口袋中，bc球在3號口袋中，其中在三個袋子中都會有一枚紅球.現在要求試驗者從每一個袋子中各取出一枚球.為方便起見，我們記A={從第i號袋中取出紅球}，i=1，2，3，則用概率中的事件表示模型可以將式子列為P（A1）= 1 ab ，P（A2）= 1 ac ，P（A3）= 1 bc .A1，A2，A3在事件中是相互獨立的事件，進一步的將式子變為：

P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）-P（A1A3）-P（A2A3）+P（A1A2A3）= 1 ab + 1 bc + 1 ac - 1 a2bc - 1 abc2 - 1 ab2c + 1 a2b2c2 .

又由題設可知P（A1∪A2∪A3）≤1.由此（1）式成立，（1）式是原題中不等式的簡單移項變形，因此，可得原不等式成立.

四、概率模型在排列組合中的應用

在概率問題的求解中若想要求出題目要求的事件概率A，首先，要知道基本事件總數n以及事件A在總事件中發生的頻數m，這其中的變量m，n我們可以將其看作排列組合中的數量關系.反之，在這種思維模式導向下，我們在解排列組合應用題時，也可以將所求的應用題目轉化為相應的概率模型進行求解，通過這種轉化，可以將之前抽象的代數數量關系轉化成為直觀的概率模型，便于學生的學習理解.我們在將排列組合轉化為概率模型時，首先，要通過一定的轉化將所求的排列組合問題歸結為某一類等可能事件組成的概率模型，事件A出現的頻數為m，P（A）是事件A發生的概率，n表示事件的總數，那么據此就可以求出m=nP（A）是所要求的排列組合的解.

例4 有六名學生在站路隊，由于特殊原因這六名學生中有一名學生的位置既不能在排頭、也不能在排尾，問在這樣的情況下，共有多少種可能的站法？

解題思路：將這個排列組合問題轉化成概率問題求解，就可以將這六名學生的站路隊現象看成一個隨機試驗，n=A66=720，表示該試驗所包含的基本事件的總數.記A={既不能站在排頭也不能站在排尾的學生}，B={站在排頭的某一名學生}，C={站在排尾的某一名學生}，聯系實際情況可知6名學生站在排頭排尾的情況是等可能現象，由此可以得出式子：

P（B）=P（C）= 1 6 ，P（A）=1-[P（B）+P（C）]=1- 1 6 + 1 6 = 2 3 ，

由此式子可以進一步得到m=nP（A）=720× 2 3 =480.

例5 證明Ckn+1=Ckn+Ck-1n.

解題思路：首先，要將排列組合的模型轉化成為概率小于或等于1的一個基本事件，為此，首先要對原式進行相應的變形：

Ckn Ckn+1 + Ck-1n Ckn+1 =1.

接下來就要構造相應的隨機試驗：假設n+1是一批待出廠的產品的總量，若工廠的工人不小心將一個廢品混入其中，現要求試驗者隨機從這批產品中抽取k個產品出來，求試驗者抽取的產品中廢品的概率是多少？抽取k個產品中沒有抽取到廢品的概率又是多少？

證明：為了方便起見，我們設事件A1={抽取的k件產品中沒有廢品}與A2={抽取的k件產品中有廢品}為兩個對立事件.

P（A1）= Ckn Ckn+1 ，P（A2）=P（A1）= C11Ck-1n Ckn+1 .

本文通過將概率模型應用在數列問題、代數恒等式問題、代數不等式問題以及排列組合等問題的解題過程中，可以看出，在解決數學學習中的代數問題時，我們可以用構造概率模型的方法創新解題思路，將抽象化的代數數學模型轉化成為相應的更為直觀的概率解題模型，這種方法既需要不依賴相應的代數解題公式，又能夠在一定程度上開拓、創新學生的解題思維，使學生的數學學習不只是枯燥的記憶公式，以及遵循傳統的解題思路和解題方法.由此可以看出，概率模型與代數問題的完美融合為解決復雜、抽象的代數問題提供了一種解題的新思路和解題方法.這種創新的解題思路和解題方法能夠不斷地激發學生學習和探索數學奧秘的熱情，使學生逐漸養成一種自主學習的好習慣.

【參考文獻】

[1]劉婉茹，徐信之.概率與統計[M].北京：高等教育出版社，1989.

[2]劉云，王陽.巧用概率模型解決代數問題[J].和田師范專科學校學報，2008（02）：215-216.

[3]黃旭玲.構造概率模型，巧妙解決數學問題[J].玉林師范學院學報，2004（03）：9-13.

[4]劉維先，孫瑩.建立概率模型解代數問題[J].南陽師范學院學報，2003（03）：114-116.

[5]侯鳳丹.線性代數里的幾個概率問題[D].鄭州：鄭州大學，2014.