新課標理念下的數學觀及思考

高祥秀

【摘要】 新課標的制定與出臺，是一定的數學觀指導下的結果，反過來，又體現了一定的數學理念.新課標正努力向人們展現數學的全部真實面貌：（1）數學并非不變的概念、法則和定理的簡單匯集，而是人類的一種創造性活動；（2）數學問題是豐富多彩的，不僅數學內部有，現實生活中也存在著許多與數學相關的問題；（3）數學問題解決的方法是多樣的；（4）估算也是數學.新課程理念下的數學觀促進了數學教育工作者對一些問題的思考：（1）數學課程改革需要數學觀強有力的指導；（2）教師要形成正確的數學觀.

【關鍵詞】 新課標；數學觀；教師

數學是研究現實世界中的數量關系與空間形式的科學.一般來說，數學觀就是指人們對數學的總的看法和基本觀點，是關于“什么是數學”問題的認識.由此可見，數學觀是對數學進行有關哲學方面的思考.每個學習過數學或與數學接觸過的人都有可能對數學產生看法，形成見解，由于個體具有不同的數學學習背景，接受不同的價值觀念，再加上自身的實踐經驗，因而在數學學習過程中逐漸形成自己對數學獨特的看法，經過進一步的整理、描述，即為數學觀.

一、新課標理念下的數學觀

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱新課標）對數學本質采用了描述性定義，指出“數學是研究數量關系和空間形式的科學”“數學與人類發展和社會進步息息相關”“數學是人類文化的重要組成部分”，[1]這種數學本質觀，一方面是對傳統數學觀的超越，另一方面，這些觀點又反映出新課標下的數學觀.具體如下：

（一）數學是人類的一種創造性活動

弗雷登塔爾早就指出，數學教學的核心是學生的“再創造”.新課標也強調參與綜合實踐活動、積累綜合運用數學知識、技能和方法等解決簡單問題的數學活動經驗.也就是說，數學學習活動必須以“再創造”的方式進行，讓學生根據自己的活動經驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識，使學生深刻體會到數學并非不變的概念、法則和定理的簡單匯集，而是人類的一種創造性活動.

例如，“零指數”的教學設計.本實例希望體現課程目標在課堂教學中的整體落實——通過本節課的學習，學生不僅理解和掌握有關的知識和技能，而且初步了解指數概念是如何擴充的，感受零指數“規定”的合理性.

通過計算23÷23提出問題：如果應用同底數冪的運算性質，可以得到23÷23=23-3=20.那么20有什么意義呢？我們需要對此做出解釋，數學面臨了挑戰.首先，我們回顧簡單的事實：23÷23=8÷8=1，于是可以自然提出猜想：20=1，然后，采用各種途徑引導學生感受規定20=1的合理性.例如，用細胞分裂作為情境，提出問題：一個細胞分裂1次變2個，分裂2次變4個，分裂3次變8個……那么，一個細胞沒有分裂時呢？這樣，在學生感受“20=1”的合理性的基礎上，做出零指數冪意義的“規定”，即a0=1（a≠0）.在規定的基礎上，再次驗證這個規定與原有“冪的運算性質”是無矛盾的，原有的冪的運算性質可以擴展到零指數[1].

綜上，學生在學習“零指數”時將經歷如下的過程：面對挑戰進行思考—提出“規定”的猜想—通過各種途徑說明“規定”的合理性—做出“規定”—驗證這種“規定”與原有知識體系無矛盾—指數概念和性質得到進一步擴展.

這樣的過程充分體現了數學自身發展的軌跡，學生借助學習“零指數”所得經驗，可以進一步嘗試對負整數指數冪的意義做出合理的“規定”，體現了數學是人類的一種創造性活動，有助于發展學生的理性思維.

（二）數學問題是豐富多彩的

數學問題是豐富多彩的，不僅數學內部有，現實生活中也存在著許多與數學相關的問題.然而，大多數學生并未認識到數學問題的豐富性，因此，有必要幫助學生認識現實生活中的數學問題，并形成解決這些問題的意識和能力.

例如，結合實例解釋3a.希望學生理解用字母表示的代數式是有一般意義的.a可以表示數量，如，葡萄的價格是3元/千克，則3a表示買a千克的金額；a也可以表示長度，如一個等邊三角形的邊長為a，則3a表示這個三角形的周長；等等.

數學知識的學習，應該力求從實際出發，以學生熟悉或感興趣的問題情境引入，并進行探究學習.下面的題目體現了這一點.

李阿姨去商店購物，帶了100元，她買了兩袋面，每袋30.4元，又買了一塊牛肉，用了19.4元，她還想買一條魚，大一些的每條25.2元，小一些的每條15.8元.請幫助李阿姨估算一下，她帶的錢夠不夠買小魚？能不能買大魚？[1]

這類問題在生活中很常見.從數學上看，第一問要判斷100元是否超過三種物品的價格總和，適當放大；第二問要判斷三種物品的價格總和是否超過100元，適當縮小.

數學問題不僅包含在數學內部，也體現在現實生活中，上述第一個例子是從數學問題到生活情境，第二個例子是從生活情境轉向解決數學問題.生活中充滿數學，數學與生活是息息相關的，數學問題也是豐富多彩的.

（三）數學問題的解決方法是多樣的

心理學研究表明，每名學生所處的文化環境、家庭背景和自身思維方式的不同，導致不同的學生有不同的思維方式和解決問題的策略.學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程[2].新課標中對于數學學習內容的呈現，注意采用不同的表達方式，體現解法、證法的多樣化，以滿足學生多樣化的學習需求.

例如，4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個，椅子腿數和凳子腿數共60條，問幾個椅子幾個凳子[1]？事實上，這個問題可以用三種方法建立模型：四則運算、一元一次方程、二元一次方程組.啟發學生從不同的角度思考同一個問題，有利于學生進行比較，加深對數學模型的理解.

利用四則運算時，引導學生運用嘗試的辦法探索規律，椅子數為16、凳子數為0，腿的總數為64；椅子數為15、凳子數為1，腿的總數為63；椅子數為14、凳子數為2，腿的總數為62……繼續計算下去，可以得到椅子數為12、凳子數為4時，腿數恰好為60.利用一元一次方程解決此問題時，可以引導學生通過具體列表的方式找出規律、建立方程，這樣有利于學生理解方程的意義、體會建模的過程.假設椅子數為a，則凳子數為（16-a），列一元一次方程4a+3（16-a）=60，可以解方程求出椅子數a，再用（16-a）求出凳子數.利用二元一次方程組可以直接列方程組.假設椅子數為a，凳子數為b，可以得到兩個方程a+b=16和4a+3b=60，代入法求解.

從上面的討論可以看到，用四則運算方法，思考最困難，但是結果最直接；用二元一次方程組的方法，思考最簡潔，但是計算較煩瑣.采用不同的解決方法，體現數學求解的多樣化，以滿足不同學生的學習需求.數學問題的解決方法是多樣的，在數學學習的過程中不應局限于一種解題方法，應拓寬思路，發散學生思維.

（四）估算也是數學

估算在日常生活中有著廣泛的應用，它是發展學生數感的有效途徑.新課標明確指出：“在數學課程中，應當注意發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想[1].”數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟.數感主要表現在：理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇恰當的算法；能估計運算的結果，并對結果的合理性做出解釋[2].建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系.

例如，“公園有多寬”？某地開辟了一塊長方形的荒地，新建一個以環保為主題的公園.已知這塊荒地的長是寬的2倍，它的面積為400 000 m2.（1）公園的寬大約是多少？它有1 000 m嗎？（2）如果要求誤差小于10 m，它的寬大約是多少？與同伴交流.（3）該公園中心有一個圓形花圃，它的面積是800 m2，你能估計它的半徑嗎？（誤差小于1 m）[3]

“公園有多寬”這一問題，讓學生用有理數估計一個無理數的范圍，或比較無理數的大小，或檢驗計算結果的合理性.通過估算，使學生感受和理解數的意義，同時，感受到并不是精確的計算才是數學，估算也是數學.

二、幾點思考

數學觀是人們從哲學層面對數學進行的概括認識.新課標中蘊含多種數學觀，對新課標中數學觀的不同解讀也影響著課程的設計及教師的數學觀，進而影響著數學課程教學的實施.這里要明確：數學觀沒有好壞之分，只有合理與否.

（一）數學課程改革需要數學觀強有力的指導

從數學發展的歷史進程來看，數學最初被看作不變的、絕對真理的集合.再者，邏輯主義、直覺主義、形式主義等不同基礎主義流派著眼于數學成果本身，把數學看成是從某個靜止的基礎演繹而來的，導致“新數運動”的失敗.隨著數學學科的發展進步以及人們認識的逐步深入，數學更多地被看作是人類的創造性活動，建構主義數學觀流行開來.建構主義數學觀強調，數學是在活動中根據主體需要建構起來的，是擬經驗的、可誤的.

我國新一輪課程改革強調促進學生全面、持續、和諧地發展，為實現這一目標需要數學觀強有力的指導，數學課程改革要求必須更新數學觀，為改革奠定堅實的思想基礎，保證改革穩定地向前發展.

（二）教師要形成正確的數學觀

英國學者P.Ernest認為，教師所具有的數學觀大致可分為3類：（1）動態的、易謬的數學觀[4].這是指把數學看成人類的一種創造性活動.從而，數學主要地就是一種探索的活動，并一定包含有錯誤、嘗試與改進的過程，更必然地處于不斷的發展和變化之中.（2）靜態的、絕對主義的數學觀.這是指把數學看成無可懷疑的真理的集合，是一個高度統一且十分嚴密的邏輯體系.（3）工具主義的數學觀.這是指把數學看成適用于各種不同場合的事實性結論、方法和技巧的匯集，數學不能被看成一個高度統一的整體[5].

新課標指出有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學生學習的組織者、引導者與合作者.教師在學生學習過程中應適當地加以引導，注重啟發和因材施教，激發學生的學習主動性和自覺性，實現交往互動，共同發展.因此，必須加強教師教育，尤其是數學觀念的教育，為此，可以開設數學哲學、數學教育哲學、數學史、數學思想發展史、數學方法論等有關學科，以幫助教師形成正確的數學觀.

【參考文獻】

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學，2011：127-128.

[2]顧繼玲.新教材中數學觀之分析及思考[J].數學教育學報，2003，5（12）：99-102.

[3]義務教育課程標準實驗教科書·數學（八年級上冊）[M].北京：北京師范大學出版社，2002：16-17.

[4]Ernest P.On Teachers Mathematics Education[M].Hamsphire：The Falmer Prsss，1991.

[5]鄭毓信.“（數學）教室文化”：數學教育的微觀文化研究[J].數學教育學報，2000（01）：11-15.