數學思想在高中數學解題中的應用

吳明飛

【摘要】 數學思想是經過數學思維活動而產生的結果.只有加強數學思想的培養，數學能力才會有一個大幅度的提高.掌握數學思想，就是掌握數學的精髓.而函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想是高中數學最常用的數學思想，也是歷屆高考的重點和熱點.

【關鍵詞】 數學思想；函數與方程思想；數形結合思想；分類討論思想；轉化與化歸思想

數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果.數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識；基本數學思想則是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性、總結性的最廣泛的數學思想，它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，并且是史地發展著的.

常見的數學思想有：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、整體思想、轉化與化歸思想、隱含條件思想、類比思想、建模思想、歸納推理思想、極限思想.其中，函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想是高中數學最常用的數學思想，也是歷屆高考的重點和熱點.下面就來探究一下這些常見數學思想在解題中的應用.

一、函數與方程思想的應用

函數思想的實質是摒棄所研究對象的非數學特征，在分析與研究數學中的數量關系時，建立或構造函數關系，利用函數的知識或函數的觀點觀察、認識、分析、解決問題的思想方法.

函數思想在高中數學解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助初等函數的圖像或性質，解有關求值、解（證明）不等式、解方程或求方程解的個數、求函數零點問題以及討論參數的取值范圍等問題.二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關問題，達到化難為易、化繁為簡的目的.如，數列中有關最值問題.

方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后，通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.有時，還需要函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的.

二、數形結合思想的應用

數形結合是把抽象的數學問題與直觀的幾何圖形結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，將抽象思維與形象思維相結合的一種數學思想方法.數形結合應用包括以數解形和以形助數兩方面.在解題時應用數形結合的思想方法往往可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到優化解題的目的.例如，方程 1 x-1 =2sinπx在區間[-2 015，2 017]所有根之和等于 .在解答時，要想求出本題在區間[-2 015，2 017]上所有根的具體值不太現實，因此，只能結合函數y= 1 x-1 與函數y=2sinπx，x∈[-2 015，2 017]的圖像特征，即兩函數圖像都關于點（1，0）對稱，從而選擇數形結合法，如下圖：

進一步得出答案4 032.

應用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野.

三、分類討論思想的應用

當一個問題因某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量或圖形的各種情況進行分別討論的思想方法就叫分類討論思想.實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略.

在高中數學中的分類討論很多，如，集合中求參數的值（或取值范圍）時，會對集合是否為空集進行討論；涉及指數函數或對數函數底數是參數，又要用到指數函數或對數函數單調性時往往要對底數進行討論；三角函數求同角的三角函數值，但又不清楚角所在的象限時要對角終邊所在象限進行討論.

四、轉化與化歸思想的應用

化歸與轉化的思想是指在解決問題時，采用某種手段使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略，是數學學科與其他學科相比，一個特有的數學思想方法，化歸與轉化思想的核心是把未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題.因此，每解一道題，無論是難題還是易題，都離不開化歸.例如，對于立體幾何問題，通常轉化為平面幾何問題；對于多元問題，轉換為少元問題；對于高次函數（或高次方程）問題，轉化為低次問題，特別是熟悉的一次、二次問題.對化歸思想的考查，總是結合對演繹證明、運算推理、模式構建等理性思維能力的考查進行，因此，可以說每一道試題，都在考查化歸意識和轉化能力.因此，重視常用變換方法：一般與特殊的轉化、繁與簡的轉化、構造轉化、命題的等價轉化.