高中函數(shù)中的奇偶性和對稱性分析

帥敏

【摘要】 函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是很重要的一部分內(nèi)容，在實際生活中也有著廣泛的應(yīng)用.因為函數(shù)可以考查的知識點有很多，所以在學(xué)習(xí)函數(shù)的知識點時要尋找合適的學(xué)習(xí)方法.本文的寫作目的就是分析高中函數(shù)中的奇偶性和對稱性.

【關(guān)鍵詞】 高中函數(shù)；奇偶性；對稱性

在函數(shù)學(xué)習(xí)中題型變化多樣，還會經(jīng)常結(jié)合其他的知識點，所以，學(xué)習(xí)難度很大.尤其是函數(shù)的奇偶性和對稱性，應(yīng)用十分廣泛，本文通過一些例題，探討函數(shù)的奇偶性和對稱性以及它們之間的關(guān)系.

一、函數(shù)的奇偶性和對稱性的含義

（一）函數(shù)的奇偶性

一般的，對于函數(shù)f（x）：如果在函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么我們就稱這樣的函數(shù)f（x）為奇函數(shù).[1]相對應(yīng)的，如果在函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=f（x），這樣的函數(shù)f（x）就叫作偶函數(shù).特殊的，如果一個函數(shù)f（x）同時滿足f（-x）=-f（x）與f（-x）=f（x），那么就稱這個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).判斷函數(shù)奇偶性的時候要注意定義域?qū)ΨQ.

（二）函數(shù)的對稱性

一些特殊函數(shù)的圖像擁有對稱的性質(zhì).一般對稱的情況有兩種，一種是軸對稱，另一種是中心對稱.如果某個函數(shù)的圖像沿著一條直線對折，在這條直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于這條直線成軸對稱.[2]如果某個函數(shù)的圖像圍繞某一點旋轉(zhuǎn)180°之后的圖像與原圖像完全重合，那么就說這個函數(shù)圖像關(guān)于該點呈中心對稱.

二、以題目為例分析奇偶性和對稱性的關(guān)系

（一）例題1（2014年江西文科16題）

已知函數(shù)f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）為奇函數(shù)，且f π 4 =0，其中a∈ R ，θ∈（0，π）.求a，θ的值.

解析 ∵且f π 4 =0，所以將x= π 4 代入f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）中得到等式

（a+1）cos π 2 +θ =（a+1）sinθ=0，

又∵θ∈（0，π），∴sinθ≠0，∴a+1=0，a=-1.

∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=0.

將x=0代入f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）中得到等式（a+2）cosθ=0，

又∵a=-1不等于0，∴cosθ=0，

∵θ∈（0，π），∴θ= π 2 .

從這一個題目中可以看出，一定要熟練掌握函數(shù)奇偶性的特點，這樣在題目中才能熟練地應(yīng)用.比如，f（x）=-f（-x），f（0）=0，如果f（x）是奇函數(shù)，點M的坐標(biāo)為（x，y），那么點M關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)為（-x，-y）等等.

（二）例題2（改編題）

函數(shù)y=f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，把f（1），f 5 2 ，f 7 2 用“<”連接起來 .

解析 ∵函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，

∴f（2+x）=f（2-x），f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱.

∵在（0，2）區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，∴在（2，4）區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，f（1）=f（2-1）=f（2+1）=f（3）.

又∵f（x）在（2，4）區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

所以f 7 2

這道例題將函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)圖像、函數(shù)的對稱性結(jié)合在一起.已知條件中的函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x），代入可得f（2+x）=f（2-x）.通過這一等式可以看出該函數(shù)關(guān)于直線對稱，對稱軸的求法為[（2+x）+（2-x）]÷2=2，所以對稱軸為x=2.因為函數(shù)f（2+x）是偶函數(shù)，所以在對稱軸的兩側(cè)單調(diào)性相反，在（0，2）區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間（2，4）內(nèi)單調(diào)遞減.還是因為y=f（x+2）是偶函數(shù)，f（2+x）=f（2-x），所以將x=1代入式子中，得到f（1）=f（3）.因為函數(shù)在（2，4）區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以f 7 2

（三）例題3（2015年全國卷Ⅰ12題改編）

f（x）=2x+a關(guān)于y=-x對稱，且f（-2）+f（-4）=1，求a的值.

解析 P（x，y）在f（x）上，則P′（-y，-x）也在f（x）上.

設(shè)f（-2）=y1，f（-4）=y2，則

2-y1+a=22-y2+a=4，

∴ -y1+a=1，-y2+a=2.

又∵y1+y2=1，∴-（y1+y2）+2a=3，即a=2.

圖像對稱，一般抓住點對稱找突破口，將反比例函數(shù)與原函數(shù)圖像對稱，化解這個難點.

三、結(jié)束語

通過例題可以看出，一般來說函數(shù)的奇偶性和對稱性是解出函數(shù)題目的關(guān)鍵所在，很多函數(shù)題目中只要充分利用好奇偶性和對稱性以及它們之間的關(guān)系，那么再去解答題目則會變得相對容易很多了.對于題目中給出的條件要正確地運用，同時涉及對稱性的題目可以畫出函數(shù)圖像，這樣涉及對稱點的位置和對稱點的坐標(biāo)情況就顯得一目了然了.應(yīng)用函數(shù)奇偶性和對稱性的一些特點，以及他們的關(guān)系，能夠在解決函數(shù)問題時更加容易，更有效率.學(xué)好函數(shù)的奇偶性和對稱性有利于學(xué)生更好地解答相關(guān)函數(shù)題目，從而學(xué)好函數(shù)，學(xué)好數(shù)學(xué).

【參考文獻】

[1]彭家盛.《中職數(shù)學(xué)中“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”章節(jié)的有效性教學(xué)》[J].科教文匯：下旬刊，2012（21）：99-100.

[2]劉偉佳.《關(guān)于函數(shù)奇偶性的一點注記——兼對一道習(xí)題的建議》[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013（05）：39.