數與形，結合與深入

岑茜　高明

【摘要】 如今，數形結合的思想有著重要的地位.這種思想的應用非常廣泛，它是數學解題中時常用到的一種思想方法，這種思想可以使某些抽象難理解的數學問題直觀化、生動化，能夠將抽象思維轉化為形象具體的思維，有助于我們把握理解數學問題的本質.

【關鍵詞】 數形結合；解題應用

數形結合的思想就是把問題的數量關系和空間形式結合起來加以考查，“數”和“形”是數學中兩個最基本的概念，它們既對立又統一，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之，數量關系常常又可以通過幾何圖形做出直觀的反映.

一、數形結合思想在不等式中的應用

數形結合在不等式問題上能起到鬼斧神工的效果，當不等式大于零時，代表函數圖像在x軸上方；當不等式小于零時，代表函數圖像在x軸下方.所以，在解不等式時，我們應先把函數圖像畫出來，再通過觀察函數圖像得到不等式的解集，比如下面的例子.

例1 解關于x的不等式|x2+2x|< 3 2 .

分析 像這種含有絕對值的不等式，首先，我們想到的是把絕對值符號去掉，而這里如果去掉絕對值符號，我們需要分類討論，即討論x2+2x的正負；我們也可以利用含絕對值符號的不等式性質求解，即若|f（x）|a，則f（x）>a或f（x）<-a（其中a>0）.除這兩種方法之外，我們還可以用數形結合思想來考慮此題，即畫出函數圖像，再觀察兩個函數圖像的高低.

解 設y1=|x2+2x|，y2= 3 2 ，在直角坐標系中做出這兩個函數的圖像如圖1所示，則原不等式的解集即為滿足函數y1=|x2+2x|的圖像在函數y2= 3 2 圖像下方的x的集合，即在圖中A、B兩點之間的函數圖像所對應的x的取值范圍，又因為方程|x2+2x|= 3 2 的解為x=± 2- 10 2 ，所以原不等式的解集為 x -2- 10 2

圖1

注：對于此題，我們運用數形結合的方法來解答，相對于其他方法來說沒有體現出很大的優越性，但是，如果不等式再加大難度的話，前面兩種方法就很難解決了，而數形結合在不等式中不管題的難易程度多大，它都是非常適用的.

二、數形結合思想在函數中的應用

函數的圖像和性質是利用數形結合思想解決問題的重要載體，在解題中，我們應做到看見解析式便可想到它所對應的函數圖像，并能將函數圖像畫出來，再由函數圖像的性質找出它所對應的代數式.養成這樣的好習慣，便可隨時記住數形結合思想，這對我們解題有很大的幫助，比如下面例子.

例2 求函數y= cosθ- 3 sinθ+1 的最大值.

分析 此題函數解析式是含有正余弦函數的分式形式，若想直接求得其最小值，很困難.我們觀察它的形式，可以看成是直線的斜率公式，由此，我們就將這一難題轉化成我們熟悉的直線斜率問題了.

圖2

解 如圖2，則 cosθ- 3 sinθ+1 可以看成過點A（sinθ，cosθ）與點B（-1， 3 ）的直線的斜率.點A是圓x2+y2=1上的動點，點B為定點.則有BO=2，AO=DO=1，則∠DBO=∠OBA=30°，

所以，圓O的切線BC的傾斜角為150°.

所以函數y= cosθ- 3 sinθ+1 的最大值為tan150°=- 3 .

注：此題賦予函數幾何意義，則可以根據幾何圖形求解函數的最值，若直接求解是不可行的，所以，數形結合在此題中的意義是非常重大的.

三、運用數形結合思想分析解決問題的局限性

運用數形結合思想解題雖然很方便，很直觀，可以很快找到解題思路，最重要的是可以避免一些計算和推理，簡化解題過程，但我們知道世間萬物都有利有弊，當然數形結合思想也不例外，雖然運用它解題有很多長處，但它的使用也是有局限的.所謂數形結合就是“數”與“形”相結合，這里的“數”當然精準無比，但“形”是我們用手畫的，難免會出現誤差，所以，對于一些函數圖像不易畫出來的題，我們最好避免運用數形結合思想的方法解決.

以上對數形結合思想在解題當中的應用做了一些分析，這種思想不僅僅在以上三種模型中得以應用，還在復數、立體幾何等等模塊中廣泛出現，巧妙應用數形結合思想，將題目化抽象為具體，效果將事半功倍.在高中階段，這種思想方法更是重要，在函數當中，數形結合思想的應用尤為廣泛，利用二次函數圖像解二次方程、二次不等式，三者之間有機的結合才利于這類問題的解決；有關指數函數與對數函數單調性的應用、方程和不等式問題等等都需要結合兩類函數的圖像來考查知識點，會發現數形結合在中學階段有著不可替代的地位，要求當代的中學生應當掌握這種思想方法，要求當代的教師必須有著扎實的數學功底.