高考聚焦

梁修曦

【摘要】 數(shù)列不等式是近些年來高考中的必考考點(diǎn)之一，由于不等式證明與數(shù)列聯(lián)系緊密，將其結(jié)合構(gòu)成的數(shù)列不等式，既具備數(shù)列的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)特征，也具備了不等式證明的多種證明思維.要想掌握數(shù)列不等式的解題方法，需要鍛煉出敏捷的觀察力并熟練掌握各種解題思路.本文中，筆者簡(jiǎn)單介紹了幾種常見數(shù)列不等式的證明方法.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)列不等式；放縮法；歸納法；直接證明法

一、引 言

在教學(xué)過程中不難發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生在解決數(shù)列不等式問題時(shí)不能得心應(yīng)手，那是因?yàn)闆]有找到解題的突破口，未培養(yǎng)良好的洞察力.一般來說，數(shù)列不等式主要分為兩大類：① 證明不等式或比較大小；② 恒成立問題.筆者在下文中通過例題介紹了幾類常見數(shù)列不等式的證明方法.

二、放縮法

證明數(shù)列不等式成立時(shí)，放縮法是從不等式的一邊入手，通過不等式本身的性質(zhì)，添加或舍去一些正數(shù)項(xiàng)或負(fù)數(shù)項(xiàng)，擴(kuò)大或縮小分式中分子或分母，調(diào)整到與目標(biāo)項(xiàng)相似，從而實(shí)現(xiàn)解題的一種方法.在創(chuàng)建改造不等式過程中，放縮法是對(duì)學(xué)生思維創(chuàng)造性的一種提升和挑戰(zhàn).放縮法結(jié)合了很多知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的要求較高.

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總結(jié) 放縮法證明十分靈活，既需要分析已知條件，也要分析結(jié)論.放縮法包括兩種形式：先放縮再求和及先求和再放縮，這需要先判斷數(shù)列求和的難易程度，再去選擇放縮的形式.

三、歸納法

數(shù)學(xué)歸納法簡(jiǎn)稱歸納法，此方法可規(guī)避傳統(tǒng)的不等式放縮方法證明數(shù)列不等式，思路明確，有一定的規(guī)律，適用性很廣，可以解決很多復(fù)雜的數(shù)列不等式證明題.

例2 設(shè)數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1=3，且an+1=an+（n+2）·2n，n∈ N *，求證：an≥2n2+2n+1.

證明 由已知條件，可得a2=9，a3=25，a4=65，

① n=4時(shí)，不等式左邊a3=65，右側(cè)=41，左邊>右邊，不等式成立.

假設(shè)n=k時(shí)不等式依舊成立，有ak≥2k2+2k+1.

② 當(dāng)n=k+1時(shí)，

n=k+1時(shí)原不等式依舊成立.

綜上所述，可得原不等式成立.

總結(jié) 數(shù)學(xué)歸納法解題過程是固定的，甚至連證明過程中的計(jì)算也都變得機(jī)械化，其固定的步驟是缺一不可的.數(shù)學(xué)歸納法中，用來證明當(dāng)n屬于自然數(shù)時(shí)某數(shù)列不等式在其范圍內(nèi)成立的類似命題，更容易被學(xué)生接受并熟練運(yùn)用，此方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常重要的一部分，也是高考中不可或缺的一種解題方法.

四、直接證明法

例3 設(shè)b>0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an= nban-1 an-1+2n-2 （n≥2）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，an≤ bn+1 2n+1 +1均成立.

綜合①②，可得原不等式成立.

總結(jié) 思路不清晰時(shí)，可利用分析法進(jìn)行證明，必要時(shí)可以進(jìn)行逆向分析.

五、結(jié) 語

實(shí)際上，數(shù)列不等式類型很多，但都是建立在以上幾類基本解題方法之上的，近三年高考數(shù)學(xué)中，數(shù)列不等式所占分值比例有所提高，相信它還會(huì)隨著高考新題型的出現(xiàn)演繹得更加精彩.

【參考文獻(xiàn)】

[1]章政權(quán).例說數(shù)列不等式的證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（4）：45-48.