數(shù)學(xué)與體育館的結(jié)合

尤建琴

【摘要】 本文在陶行知老先生的名言“教育中要防止兩種不同的傾向：一種是將教與學(xué)的界限完全泯除，否定了教師主導(dǎo)作用的錯(cuò)誤傾向；另一種是只管教，不問學(xué)生興趣，不注重學(xué)生所提出問題的錯(cuò)誤傾向.前一種傾向必然是無計(jì)劃，隨著生活打滾；后一種傾向必然把學(xué)生灌輸成燒鴨”的啟發(fā)下，聯(lián)系體育館中的一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生用反比例函數(shù)的知識給予解決.

【關(guān)鍵詞】 反比例函數(shù)；實(shí)際問題；函數(shù)關(guān)系

隨著社會的發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)滲透到生活的各個(gè)領(lǐng)域，函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心和主線，它的內(nèi)涵恰好能體現(xiàn)不斷變化的事物的本質(zhì)及事物間的內(nèi)在聯(lián)系.而反比例函數(shù)經(jīng)常作為主角出現(xiàn)在函數(shù)的應(yīng)用中，如通訊話費(fèi)、計(jì)程車計(jì)費(fèi)、銀行利率、郵資、個(gè)人所得稅等，所以，很有必要在這些方面開展研究性學(xué)習(xí).這樣既能使學(xué)生體悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，又能激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識.下面筆者以與學(xué)生息息相關(guān)的體育館中的一系列問題，用反比例函數(shù)給予解決，探討反比例函數(shù)的應(yīng)用.

問題1 蓮花學(xué)校要籌建新的體育館，其地基為長方形，占地面積為2 400平方米.（1）體育館的長與寬之間具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）如果體育館的寬為100米，那么長為多少？（3）由于場地的限制，長最多為60米，那么寬應(yīng)該滿足什么條件？

解析 （1）設(shè)長為x，寬為y，由長方形面積=長×寬，可得y= 2400 x ；

（2）將y=100代入y= 2400 x ，可得x=240；

（3）長最多為60米，即x≤60，這個(gè)很像是一道解不等式的題目，但學(xué)生很難用解不等式解決，這里通常有兩種方法：① 根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，因?yàn)閗>0，x>0，y隨x的增大而減小，所以考慮臨界值，當(dāng)x最大為60時(shí)，y最小值為400，即y≥400.② 根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，因?yàn)閗>0，x>0，圖像在第一象限，從左到右呈下降趨勢，根據(jù)x的取值范圍確定對應(yīng)的圖像，進(jìn)而得出y的取值范圍.

分析 此題是以蓮花體育館的籌建為背景引入的，讓學(xué)生來當(dāng)一回設(shè)計(jì)師，設(shè)計(jì)體育館的地基，就像陶行知老先生說的：“教育不能創(chuàng)造什么，但它能啟發(fā)兒童創(chuàng)造力以從事于創(chuàng)造工作.”這題的三小題分別用反比例函數(shù)的解析式、取值以及增減性解決.問題（1）的反比例函數(shù)關(guān)系式是由長方形面積公式直接得出的；對于問題（2）的解答，只要將y=100的數(shù)值代入關(guān)系式中，就可以求出相對應(yīng)的x數(shù)值；問題（3）是對反比例函數(shù)增減性的考查，也可結(jié)合圖像更直觀地感受當(dāng)長最多為60米時(shí)，寬應(yīng)該滿足的條件，這里還用到了臨界值，當(dāng)考慮某一變量的取值范圍時(shí)，往往會先分析臨界值，在下面的題目中我們還將涉及.

問題2 某建筑商出售一批進(jìn)價(jià)為2萬元/噸的鋼材，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此鋼材的銷售單價(jià)x萬元/噸與銷售量y（噸）之間有如下關(guān)系：

x（萬元/噸） 3 4 5 6

y（噸） 20 15 12 10

（1）猜測并確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)經(jīng)營此鋼材的銷售利潤為w萬元，試求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若物價(jià)局規(guī)定此鋼材的銷售價(jià)最高不能超過10萬元/噸，請你求出當(dāng)銷售單價(jià)x定為多少萬元時(shí)，才能獲得最大銷售利潤？

解析 （1）由四組數(shù)據(jù)積的不變性，可以得出xy=120，y= 120 x ；

（2）根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售量，得出w=（x-2）y，但題目要求是w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，這里將把第（1） 小題中的y= 120 x 直接代入，得到一個(gè)新函數(shù)w=- 240 x + 120；（3）對于函數(shù)w=- 240 x +120，已知x≤10時(shí)，確定w的取值范圍，應(yīng)把w看成兩項(xiàng)，一項(xiàng)為定值120，一項(xiàng)為變值- 240 x ，所以w的取值范圍由- 240 x 確定，也有兩種方法：① 根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，因?yàn)閗<0，x>0，y隨x的增大而增大，所以考慮臨界值，當(dāng)x最大=10時(shí)，w最大=96，即0≤w≤96.② 根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，因?yàn)閗<0，x>0，圖像在第四象限，從左到右呈上升趨勢，根據(jù)x的取值范圍確定對應(yīng)的圖像，得出- 240 x 的取值范圍，進(jìn)而得出w的取值范圍.

分析 這題是以蓮花體育館建造時(shí)，鋼材供應(yīng)商經(jīng)營策略為背景引入的，它在問題1的基礎(chǔ)上有所提高，體現(xiàn)了不同的求解析式的方法.這里的設(shè)計(jì)主要想體現(xiàn)陶行知老先生的名言：“好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué).”讓學(xué)生在已有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升.問題（1）的反比例函數(shù)關(guān)系式是由售價(jià)與銷售量乘積的不變性，直接得出的；問題（2）在確定了銷售量與銷售價(jià)之間的反比例函數(shù)關(guān)系之后，根據(jù)總利潤=單價(jià)利潤×銷售量或者總利潤=銷售額-成本的數(shù)量關(guān)系，列出w與x之間的關(guān)系式，這里銷售量y要用x來表示；問題（3）根據(jù)利潤的函數(shù)關(guān)系式w=- 240 x +120，由x的取值范圍來確定w的取值范圍，這里應(yīng)該把w的函數(shù)關(guān)系式看成由- 240 x 和120兩部分組成，而其中的120是不變的，所以w的值主要由- 240 x 來確定，也就是由反比例函數(shù)的增減性來確定，其實(shí)這一題和問題1的第三小題是考查的同一知識點(diǎn)，但卻比問題1要難.

問題3 如圖，體育館建成之后，學(xué)校對它進(jìn)行藥熏消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時(shí)間x（min）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例.現(xiàn)測得藥物8 min燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6 mg.請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：

（1）藥物燃燒時(shí)，y與x的關(guān)系式為 ；藥物燃燒完后，y與x的關(guān)系式為 ；

（2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6 mg時(shí)學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從消毒開始，至少經(jīng)過 min后，學(xué)生才能回到教室；

（3）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3 mg且持續(xù)時(shí)間不低于10 min時(shí)，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次藥熏是否有效？請說明理由.

解析 （1）由圖像可知，它有兩部分組成，一條經(jīng)過原點(diǎn)的線段和一條曲線，可知它對應(yīng)兩個(gè)函數(shù)：正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，所以當(dāng)08時(shí)，y= 48 x ；（2）含藥量即為y的值，相當(dāng)于已知y=1.6，代入反比例函數(shù)y= 48 x 求相應(yīng)的x；（3）已知y的取值范圍y≥3，求出x的取值范圍，主要用臨界值的方法，把y=3分別代入正比例函數(shù)y=0.75x和反比例函數(shù)y= 48 x ，求出相應(yīng)的x，即在圖像找出y=3相對應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)，再找出y≥3時(shí)相對應(yīng)的圖像，把兩個(gè)x相減，得出的差與10做比較，如果差大于或等于10則有效，如果差小于10則無效.

分析 問題（3）是以對體育館進(jìn)行消毒為背景引入的.相對于問題（1）、（2），它多了圖像，也就是說主要要結(jié)合圖像來解決此題.第（1）小題是根據(jù)圖像用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；第（2）小題是常規(guī)的已知y代入解析式求x，但此題有兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，學(xué)生要根據(jù)題目要求選擇適當(dāng)?shù)慕馕鍪剑驗(yàn)轭}目要求“學(xué)生進(jìn)入教室”，所以要選擇反比例函數(shù)；第（3）小題是第（2）小題的延伸，它是已知y的取值范圍確定x的取值范圍，主要體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

就像陶行知老先生說過的：“活的人才教育不是灌輸知識，而是將開發(fā)文化寶庫的鑰匙，盡我們知道的交給學(xué)生.”

所以，我在前面三個(gè)問題的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)的問題4，它只給出了圖像以及簡潔的提示，沒有給出任何問題，主要由學(xué)生自主提出問題并解決問題，以此提升學(xué)生的能力以及對知識點(diǎn)認(rèn)知的升華.

問題4 體育館建成之后，很多教師去參觀，體育教師就熱情地邀請他們喝茶.圖中是喝茶前，燒水和泡茶兩個(gè)工序中，水溫隨著時(shí)間的變化所呈現(xiàn)的圖像，其中BC=1，CD為反比例函數(shù)圖像的一部分.根據(jù)以上信息，你能設(shè)計(jì)出哪些與燒水、泡茶有關(guān)的問題.

解析 問題4是以燒水泡茶為背景引入的.這個(gè)題目拋出后，極大地調(diào)動了學(xué)生的參與性和積極性，他們結(jié)合前面三個(gè)問題所用到的知識點(diǎn)，想出了一系列的問題.（1）根據(jù)圖像求出函數(shù)關(guān)系式；解答：因?yàn)閳D像分為三段，所以它對應(yīng)三個(gè)函數(shù)關(guān)系式，但根據(jù)圖中給出的已知條件，只能先求出CD段的反比例函數(shù)y= 900 x （x>9），進(jìn)而求出點(diǎn)C坐標(biāo)（9，100），點(diǎn)B（8，100），并確定BC段的函數(shù)y=100（8

綜合以上問題，我們不難發(fā)現(xiàn)求解反比例函數(shù)應(yīng)用題的一般策略，即充分閱讀和理解題目的具體內(nèi)容，找出其中隱含的必要條件，從而確定相應(yīng)的反比例函數(shù)關(guān)系式，然后，結(jié)合圖像利用方程或不等式等方法解決相應(yīng)問題.