一類β型近于凸函數的推廣及其Fekete-Szeg?問題

鮑春梅

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

一類β型近于凸函數的推廣及其Fekete-Szeg?問題

鮑春梅

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

引進了一類新的β型近于凸函數N(β)，討論了該函數類的Fekete-Szeg?問題，并得到了對應的極值函數.

解析函數；N(β)函數；從屬于；Fekete-Szeg?不等式

設S表示在單位圓E={z:|z|＜1}內單葉解析函數f(z)=z+構成的函數類.V表示滿足條件＞0(g(z)∈S)的函數類，S*和C分別表示通常的星像函數類和近于凸函數類，它們都是S的子類.

設f(z)與g(z)在E內解析，若存在E內滿足|w(z)|≤|z|的解析函數w(z)（不必單葉），使得f(z)=g(w(z))，則稱f(z)從屬于g (z)，記為f(z)?g(z).

在文[1]中討論了某近于凸函數子類的Fekete-Szeg?問題.

定義1設0＜β≤1，若存在g(z)∈S*，使得f(z)∈S，且滿足條件

則稱f(z)∈K(β)，其中的冪函數取主值.

本文引進新的解析函數：

定義2設0＜β≤1，f(z)∈S，若存在g(z)∈V，使得

則稱f(z)∈N(β)，其中的冪函數取主值.

由文[2]中定理3.1可知：若g(z)∈V，則在|z|＜r內g(z)∈S*，其中r為方程1-2r-r2=0的最小正根.所以當|z|＜r時，N(β)?K(β)，因此函數類N(β)為K(β)的一個推廣.

下面將在函數類N(β)中建立Fekete-Szeg?不等式，為此需要如下3個引理：

引理1設w(z)=c1z+c2z2+…在E內解析且滿足|w(z)|≤|z|，則

引理2設p(z)=1+p1z+p2z2+…在E內解析且對任意z∈E，滿足Rep(z)＞0,則

引理3設0＜β≤1，則f(z)∈N(β)當且僅當存在g(z)∈V，使得

下面給出本文的主要結果及其證明.

定理設0＜β≤1，f(z)=anzn∈N(β)，則對任意實數μ，有準確的估計

證明因為f(z)∈N(β)，由引理3存在g(z)=z+b2z2+b3z3+…∈V和E內滿足條件|φ(z)|≤|z|的解析函數w(z)=c1z+c2z2+…,使得

因為e-iθf(eiθz)=z+a2eiθz2+a3e2iθz3+…仍屬于N(β)，所以不失一般性，可以假定a3-μa22≥0.下面估計Re(a3-μa22).

由于g(z)∈V，所以E內存在具有正實部的解析函數p(z)=1+p1z+p2z2+…，使得g(z)=zp(z)，比較系數可得b2=p1,b3=p2.

綜上所述，本定理得證.

〔1〕高純一.近于凸函數族的Fekete-Szeg?問題[J].數學年刊, 1994,15A（6）:650-656.

〔2〕李書海,木林.有關近于凸函數的一類解析函數[J].數學雜志，2005，25（4）：428-434.

〔3〕夏道明,張開明.從屬函數的一些不等式[J].數學學報，1958，8（3）：408-412.

〔4〕泊茂仁克CH.楊維奇,譯.單葉函數[M].北京：科學出版社，1987.

〔5〕鮑春梅，李書海.一類β級擴展的Bazilevic函數及其Fekete-Szeg?問題 [J].華南師范大學學報 （自然科學版），2010（3）：7-10.

〔6〕張洪光，李書海.關于Bazilevic函數族的一個擴展及其Fekete-Szeg?問題[J].粹數學與應用數學學報，2008，24 (1)：167-173.

O174.51

A

1673-260X（2017）02-0006-02

2016-09-10