雙正態正態區間估計和假設檢驗的拓廣

2017-03-29 06:57:55劉國祥

赤峰學院學報·自然科學版 2017年3期

劉國祥

（赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰 024000）

雙正態正態區間估計和假設檢驗的拓廣

劉國祥

（赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰 024000）

本文給出雙正態獨立總體下區間估計和假設檢驗的拓廣，主要推廣了總體均值的線性函數的區間估計和方差比不是1的假設檢驗方法.

正態分布；獨立性；區間估計；假設檢驗；數學期望；方差

一般的概率論與數理統計教材[2][3][4]，都給出兩個正態總體下，均值差和方差比的區間估計和假設檢驗.現在將它們拓廣為一個數學期望是另一個的線性函數和兩個方差比不是1的情況的，給出置信區間估計和顯著性假設檢驗的方法.

多數教材上給出的兩個正態總體下統計量的基本性質是：

引理1（兩正態總體下統計量的基本性質）假定X，Y是相互獨立的兩個總體,且

總體X～N(μ1,σ12),樣本為(X1,X2,…,Xn1),

總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn1).

那么：

其中（1）是在已知方差，估計和檢驗均值差時用的.（2）是在未知方差，估計和檢驗均值差時用的,但是已知σ1=σ2=σ.（3）[2]是在未知方差，估計和檢驗均值差時用的,但是已知σ12≠σ22.（4）是在已知均值，估計和檢驗方差比時用的.（5）是在未知均值，估計和檢驗方差比時用的.

定理1假定X,Y是相互獨立的兩個總體,且

總體X～N(μ1,σ12),樣本為(X1,X2,…,Xn1),

總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn1)，a,b∈R.

那么：在σ12，σ22已知時：

證明由于假定X,Y是相互獨立的兩個總體,且總體X～N(μ1,σ12)，樣本為(X1，X2，…，Xn1).總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn2).a,b∈R.

相應地，容易得到μ1-aμ2-b在1-α置信水平下的置信區間為

根據區間估計和假設檢驗之間的關系，可以得到原假設：

H0：μ1=aμ2+b的顯著性假設檢驗.

定理2假定X,Y是相互獨立的兩個總體,且

總體X～N(μ1,σ12)，樣本為(X1，X2，…，Xn1),

總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn2).a,b∈R.

那么：在σ12,σ22未知時，在σ12=σ22=σ2下，有

μ1-aμ2-b在1-α置信水平下的置信區間為

證明由于假定X,Y是相互獨立的兩個總體,且總體X～N(μ1,σ12)，樣本為(X1，X2，…，Xn1),總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn2).a,b∈R.

設Z=aY+b，那么，X,Z也獨立.

由于方差未知，那么：

根據引理1之（4）、（5），容易得到：

引理2假定X,Y是相互獨立的兩個總體,且總體X～N (μ1,σ12)，樣本為(X1，X2，…，Xn1),總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn2).那么：

在μ1,μ2已知時，方差比在1-α置信水平下的置信區間為：

在μ1,μ2未知時，方差比在1-α置信水平下的置信區間為：

關于假設檢驗，一般文獻都給出σ12=σ22，或者說的檢驗.那么我們如果要檢驗=a，未見文獻論述.下面拓廣假設檢驗的應用.

定理3假定X,Y是相互獨立的兩個總體,且總體X～N (μ1,σ12)，樣本為(X1，X2，…，Xn1),總體Y～N(μ2,σ22),樣本為(Y1,Y2,…,Yn2).a,b∈R+.那么：

關于原假設H0：σ12=aσ22，或者

在μ1,μ2已知時，如果1屬于置信區間（10），則，接受原假設，否則就拒絕.

在μ1,μ2未知時，如果a屬于置信區間（11），則，接受原假設，否則就拒絕.

根據區間估計和假設檢驗之間的關系，可以證明[3]，這里略去.

關于兩個正態總體的單側區間估計和單側假設檢驗的相應結論，容易列出.

例 1[5]甲種產品長度X～N(μ1,5),乙種產品長度Y～N (μ2,1),甲乙獨立.現在在甲種產品中抽取4只，測得長度分別是：4.0,4.2,4.6,5.0.在乙種產品中抽取5只，測得長度分別是：2.0,2.3,2.1,2.5,2.8.能否認為甲種產品長度是乙種產品長度的2倍？顯著水平α=0.05.

這是兩個正態總體均值的假設檢驗問題，已知方差σ12=5,σ22=1.

根據定理1，提出原假設和備選假設H0：μ1-2μ2=0,H1：μ1-2μ1≠0.