利用導數解決實際生活中的問題

烏仁其其格

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

利用導數解決實際生活中的問題

烏仁其其格

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

導數是高等數學中重要的基礎性內容，而且在實際生活中有著廣泛的應用，利用導數可以求出實際生活中的某些最值問題和經濟問題.如利潤最大、生產效率最大、用料最少、耗油量最少等問題.

導數；最值問題；經濟問題

1 最值問題

1.1 最大利潤問題

例1上海某公共汽車公司舉辦市內觀光旅游.若票價為每人40元，則一周游客約1000人；若票價為每人30元，則一周游客約1400人.假定游客人數x與票價p是線性關系，那么為了使一周的收益最大，票價應定為多少？又若舉辦此項觀光旅游的一周成本為C（x）=20000+10x(元)，問為使一周的利潤最大，票價應定為多少？

解首先列出需求方程，即票價p與人數x應滿足的線性方程.由直線的兩點式方程，即有

由此得到

從而收益為

邊際收益為

由于R(x)為開口向下的拋物線，所以當邊際收益為零時，收益達到最大值，即當x=1300時，R(x)有最大值.此時的票價即可以從x=1300代入（1）式得到：

當考慮利潤時，我們得到一周的利潤為

所以邊際利潤為

P(x)的圖形也是開口向下的拋物線，所以，當邊際利潤為零時，利潤達到最大值，即當x=1100時，P(x)有最大值.此時的票價以x=1100代入（1）式得到:

根據以上分析，結論是32.5元的票價極可能帶來最大的每周收益，但37.5元的票價極可能帶來最大的每周利潤. 1.2 費用最少問題

例2工廠A到鐵路線的垂直距離為20km，垂足為B.在鐵路線上距離B 100km處有一個原料供應站C，現要在鐵路B、C之間某處D修建一個原料中轉站，再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3：5，那么D應選在何處，才能使原料供應站C運貨到工廠A所需的運費最?。?/p>

解這樣的最值問題，首先要合理建模，使問題獲解.

解設B、D之間的距離為xkm，

則|AD|2=202+x2，|CD|=100-x

如果公路運費為a元/千米，那么鐵路運費為3a/5元/千米.

所以從原料供應站C途經中轉站D到工廠A所需的總運費

解得x1=15，x2=-15（不符合實際意義，故舍去），

于是x1=15是函數y在定義域內的唯一駐點，所以x1=15是函數y的極小值點，而且也是函數y的最小值點.由此可知，車站D建于B、C之間并且與B相距15km處最可省運費.

1.3 容積最大問題

例3在一塊邊長為2a的正方形鐵皮上，四角各截去一個邊長為x的小正方形，用剩下的部分做成一個無蓋的盒子（見圖2-9），試問當x取什么值時，它的容積最大，其值是多少？

解由于小正方形的邊長為x，故盒子底邊長為2a-2x，它的容積為

由

解V'(x)=0得駐點x1=a,x2=a/3.由于當x1=a時，表示鐵皮完全被截去，這是容積為零，不合題意，故V(x)在區間(0,a)內只有唯一的駐點x2=a/3，另一方面，根據此問題的特點可以判定V(x)一定有最大值.因此當x2=a/3時，V(x)取的最大值，其值為

例4用總長為14.8m的鋼條做一個長方體容器的框架，如果所做容器的底面的一邊比另一邊長0.5m.那么高是多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積.

解設容器底面矩形短邊長為xm，則另一邊長為(x+0. 5)m，高為=(3.2-2x)m.由(3.2-2x)＞0且x＞0，得0＜x＜1.6.設容器的容積為y m3,則y=x(x+0.5)(3.2-2x).令 y'=-6x2+4.4x+1.6=0，則x=1或x=（舍去）.

從而，在定義域（0,1.6）內只有在x=1處使得y'=0.由題意，若x過?。ń咏?）或過大（接近1.6）時，y的值很?。ń咏?），因此，當x=1時，y取得最大，y最大=-2+2.2+1.6=1.8.這時，高為3.2-2×1=1.2.

故當容器的高為l.2m時，容器的容積最大，最大值為1.8m3.

1.4 費用的節省

例5某種型號的小型客車在勻速行駛中每小時耗油量y（升）與行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：y=x+8(0＜x≤120)已知甲、乙兩城市相距100千米.試問：當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲城市到乙城市耗油最少？

解依據題意，得：

依題意得

令h'(x)=0,得x=80.

當x∈(0,80)時，h'(x)＜0,h(x)是減函數；

當x∈*80,120)時，h'(x)＞0,h(x)是增函數；

由導數的極值判別定理可知，當x=80時，h(x)取到極小值h(80)=11.25

由于h(x)在(0,120]上有且僅有一個極值，所以它是最小值.當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲城市到乙城市耗油最少.

1.5 速度問題

例6求自由落體在時刻t=1(秒)時的瞬時速度v.

解

當t=1時，v=g.

2 經濟問題

定義1設函數y=f(x)是一個經濟函數且在點x處可導，則稱導數f'(x)是f(x)的邊際函數，f'(x)在x0處的值f'(x0)是邊際函數值.

定義2總成本C=C(Q)的導數C'稱為邊際成本，平均成本的導數稱為邊際平均成本.

例7設某種產品的總成本函數C(Q)=2000+45Q+0. 02Q2，Q∈[0,1000]，試求：

（1）當產量為100噸時的總成本；

（2）當產量為100噸時的平均成本；

（3）當產量從100噸增加到200噸時，總成本的平均變化率；

（4）分別求當產量為100噸和200噸時的邊際成本.

解（1）當產量為100噸時的總成本

C(100)=2000+45×100+0.02×1002=6700.

（2）當產量為100噸時，平均成本

（3）當產量從100噸增加到200噸時，

所以總成本的平均變化率為

（4）邊際成本函數

所以

這說明當產量為100時，再增加一個單位產品的生產，總成本將增加49；當產量為200時，再增加一個單位產品，總成本將增加53.

3 結束語

上面的討論中我們可以得知，導數的應用滲透到社會領域的方方面面.本文通過舉例的方式利用導數解決很多的實際問題，最優化問題具有很強的應用性，如需求函數、供給函數、消費函數、生產函數、投資函數等等，在生活中均得到廣泛應用，通過運用數學方法解決生活問題，實現方法最優化、計劃最優化、過程最優化、結果最優化等等.最優化問題不管是在提高自身思維能力方面，還是在平時生活處理問題，都是大有益處的.它使我學到了如何運用數學方法解決生活問題，實現方法最優化，計劃最優化，過程最優化，結果最優化等.最優化問題不僅具有趣味性，而且由于解題方法靈活，技巧性強，因此對于開闊解題思路，增強數學能力，很有益處，但解決這類問題最優化，實踐或不可缺的.

〔1〕同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2006.

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2016-12-22