具有Ivlev型功能性反應函數的隨機恒化器模型的閾值

龔 馳, 許超群, 原三領

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

具有Ivlev型功能性反應函數的隨機恒化器模型的閾值

龔 馳, 許超群, 原三領

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

研究了一類具有Ivlev型功能性反應函數的隨機單種群恒化器模型.證明了模型全局正解的存在唯一性和有界性,分析了模型的動力學行為,得到了微生物在恒化器中平均持續和絕滅的閾值條件.

隨機恒化器模型; Ivlev型功能性反應函數; 平均持續;絕滅

1 問題的提出

恒化器是對微生物進行連續培養的一種實驗室裝置,由3個相連的容器組成.第一個容器稱之為營養容器,其中裝有供微生物生長所需要的幾乎所有的營養物質.第一個容器中的營養以一定的速率被抽入到第二個容器(培養容器)供微生物增長所需要,同時以同樣的速率將培養容器中的物質抽到第三個容器以使其容量保持不變.恒化器在微生物發酵、廢水處理工程等方面都有著非常重要的應用,它有許多優點:相關參數可以通過實驗測得,并且通過數學模型分析能得到與實驗結果相符的結論.基于其在理論研究和實際應用中的重要價值,近年來對恒化器的動力學建模和研究受到了國內外許多生物工作者、實驗技術人員和數學工作者的廣泛關注,相關研究成果大量出現.Smith等[1]詳細地綜述了恒化器動力學建模的基本原理和研究方法.

隨著營養物質濃度的增加,微生物對營養物質的攝取會達到某一飽和狀態,因此,微生物對營養的功能性反應函數應為單調增加且有界的函數.例如,文獻[2-3]分別研究了具有Monod型和Beddington-DeAngelis型反應函數的恒化器模型.在生態建模中,除Monod型和Beddington-DeAngelis型反應函數外,另一類經常用到的具有上述性態的功能性反應函數是具有下列形式的Ivlev型功能性反應函數[4]:

式中:h表示底物消耗的最大速率;c表示攝取動機減小的一個常數.

如果假設微生物對營養的攝取函數為Ivlev型功能性反應函數,則可以建立如下的單種群恒化器模型:

(1)

式中：S,x分別表示在t時刻營養物和微生物的濃度,且所有的參數都是正常數;S0表示輸入營養的濃度;D為稀釋率;t為時間;m為最大增長率;a為微生物對營養的攝取效率.

注意到微生物的培養過程不可避免地會受到一些環境噪聲的影響,如培養環境的溫度、pH值以及其他因素的異動等.最近,對考慮隨機環境干擾的微生物恒化培養過程的動力學建模研究成為一個備受人們關注的熱點[5-9].如果在模型(1)中假設隨機噪聲的影響表現在對微生物的最大增長率影響上,即

(2)

式中:B是標準布朗運動.

現分析模型(2)的動力學行為.首先，證明模型(2)正解的全局存在唯一性；然后,進一步研究微生物在恒化器中持續和絕滅的條件.

2 隨機模型(2)正解的全局存在唯一性與有界性

令N(t)=S(t)+x(t),由模型(2)可知

(3)

經過簡單計算,容易知道:對于?t<τe,有

(4)

令ε0>0,使得S0>ε0且x0>ε0,則對于任意的正數ε(ε≤ε0),定義如下停時:

定義函數

顯然V是正定的.使用伊藤公式可以得到

其中

結合式(4),可以得到

因此

對上式兩端從0到τε∧T積分,并取期望,得到

因此

式中,IΩε表示Ωε的示性函數.

令ε→0,可得如下矛盾:

于是,可以得到,τ0=,a.s.

由式(4)的證明過程可得定理2.

即隨機模型(2)的解是有界的.

3 隨機模型(2)的動力學行為

定義閾值

下面的定理3和定理4表明,在噪聲較小的情況下,微生物在恒化器中能夠持續與否完全由R0的大小唯一決定.

定理3 如果R0>1,那么,對于任意初值(S0,x0)∈Γ,隨機模型(2)的解滿足

即微生物在恒化器中以概率1平均持續.

證明 在式(3)兩端從0到t進行積分,得到

因為,(S0,x0)∈Γ,所以,對任意的t≥0,S(t)+x(t)=(S0+x0).因此,有

(5)

定義函數V(x)=lnx,使用伊藤公式可以得到

(6)

注意到S(t)≤S0,可以得到

注意到,當S∈[0,S0]時,有

所以

對式(6)兩端從0到t進行積分,得到

其中

對式(7)兩端同時除以t,可得

結合式(5)，可得

其中

由于M(t)是局部連續鞅,滿足M(0)=0,且

由強大數定理可以得到

(9)

定理3得證.

證明 對隨機模型(2)使用伊藤公式,可以得到

其中,f∶+→定義為

將式(10)兩邊從0到t進行積分,再同時除以t,得到

結合式(11),可得

由強大數定理可以得到

將上式兩邊取上極限,得到

下面的定理5表明,大的噪聲可以導致微生物在恒化器中整體溢出.

由式(11)可得

與定理4中證明方法相同,可以得到

4 數值模擬

現利用計算機模擬來驗證所得理論結果的正確性.固定初值(S0,x0)=(0.65,0.35)和參數S0=1,D=0.8,a=0.65,通過變化其他參數值得到仿真結果.其中,藍線和紅線分別表示確定性模型(1)和隨機模型(2)的解曲線.

首先,取參數m=2.5,α=0.05,模擬結果如圖1所示.此時,λ=0.593 31,滿足定理3的條件.從圖1中可以觀察到隨機模型(2)中的微生物是平均持續的,驗證了定理3的結論.

圖1 隨機模型(2)與確定性模型(1)的解曲線(R0>1)

圖3 噪聲強度較大時隨機模型(2)與確定性模型(1)的解曲線

5 討 論

研究了一類隨機環境中微生物恒化培養的動力學模型.利用停時理論證明了隨機模型正解的全局存在唯一性與有界性.在噪聲強度較小的情況下,通過對模型的研究得到了微生物在恒化器中平均持續和滅絕的閾值條件(定理3與定理4),同時還證明了強度較大的噪聲會導致微生物在恒化器中滅絕(定理5).

相對確定性模型而言,本文考慮的隨機恒化器模型得到的結論更加符合客觀實際,更有助于深入了解微生物培養的規律.然而,由于微生物在恒化器中的培養過程相對復雜,并且還會受到許多其他因素的影響,所建立的模型將更為復雜,對其動力學行為的研究將更為困難,這將是下一步的研究工作.

[1] SMITH H L,WALTMAN P.The theory of the chemostat:dynamics of microbial competition[M].Cambridge:Cambridge University Press,1995.

[2] SUN S L,CHEN L S.Dynamic behaviors of Monod type chemostatmodel with impulsive perturbation on the nutrient concentration[J].Journal of Mathematical Chemistry,2007,42(4):837-847.

[3] PANG G P,CHEN L S.Analysis of Beddington-DeAngelis food chain chemostat with periodically varying substrate[J].Journal of Mathematical Chemistry,2008,44(2):467-481.

[4] IVLEV V S.Experimental ecology of the feeding of fishes[M].New Haven:Yale University Press,1961.

[5] IMHOF L,WALCHER S.Exclusion and persistence in deterministic and stochastic chemostat models[J].Journal of Differential Equations,2005,217(1):26-53.

[6] XU C Q,YUAN S L.An analogue of break-even concentration in a simple stochastic chemostat model[J].Applied Mathematics Letters,2015,48:62-68.

[7] ZHAO D L,YUAN S L.Critical result on the break-even concentration in a single-species stochastic chemostatmodel[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2016,434(2):1336-1345.

[8] 李姣,孟琳琳,原三領.具有多個參數擾動的隨機恒化器模型研究[J].上海理工大學學報,2013,35(6):523-530.

[9] XU C Q,YUAN S L.Competition in the chemostat:a stochastic multi-species model and its asymptotic behavior[J].Mathematical Biosciences,2016,280:1-9.

[10] MAO X R.Stochastic differential equations and applications[M].2nd ed.Cambridge:Woodhead Publishing,2008.

[11] JI C Y,JIANG D Q.Threshold behaviour of a stochastic SIR model[J].Applied Mathematical Modelling,2014,38(21/22):5067-5079.

(編輯:石 瑛)

Threshold of a Stochastic Chemostat Model with the Ivlev Functional Response Function

GONG Chi, XU Chaoqun, YUAN Sanling

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

A stochastic single-species chemostat model with the Ivlev functional response function was studied.The global existence,uniqueness and boundedness of its positive solution were proved.Then the dynamics of the model was analyzed.The threshold conditions of the persistence in mean and the extinction of microorganisms in the chemostat were obtained.

stochasticchemostatmodel;Ivlevfunctionalresponsefunction;persistenceinmean;extinction

1007-6735(2017)01-0001-06

10.13255/j.cnki.jusst.2017.01.001

2016-10-12

國家自然科學基金資助項目(11271260,11671260);上海市一流學科建設資助項目(XTKX2012);滬江基金資助項目(B14005)

龔 馳(1991-),男,碩士研究生.研究方向:生物數學.E-mail:1475535549@qq.com

原三領(1966-),男,教授.研究方向:生物數學.E-mail:sanling@usst.edu.cn

O 211.6

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